13.2.1全等三角形講義華東師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

13.2.1全等三角形講義帶同步檢測2024年華東師大版八年級數(shù)學(xué)上冊情景目標導(dǎo)引情景導(dǎo)入小紅不小心把一塊三角形的玻璃打碎成如圖所示的三小塊，現(xiàn)在他要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃。媽媽認為他一人拿三塊玻璃去很不方便，于是叫來隔壁的小明幫忙，小明來后看了看，說：“不需要將三塊全部拿去，只需將其中一塊拿去就可以了”。于是小明讓小紅拿上其中一小塊到玻璃店去配，配好后，小紅拿回來讓媽媽看，果然和原來的完全一樣，這讓小紅媽媽非常驚訝。親愛的同學(xué)們，你知道為什么只拿一塊就可以配成完全一樣的玻璃嗎？你知道拿的是哪一塊嗎？在我們周圍經(jīng)常可以看到形狀、大小、完全相同的圖形。這一節(jié)我們將一起了解全等三角形的有關(guān)知識。基本目標1.全面了解三角形及全等三角形的概念。2.熟悉全等三角形的性質(zhì)，能正確表示兩個全等三角形。3.能熟練地找出兩個全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。重點難點1.了解全等形及全等三角形的性質(zhì)。（重點）2.掌握兩個全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的尋找規(guī)律，迅速正確地指出兩個全等三角形的對應(yīng)元素。（難點）基礎(chǔ)知識詳解知識點一全等形的概念內(nèi)容敘述能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。知識詳解全等形關(guān)注的是兩個圖形的形狀和大小，而不是圖形所在的位置，看兩個圖形是否全等，只要把它們疊合在一起，看是否能夠完全重合，能夠完全重合即為全等形。特別提醒判斷兩個圖形是不是全等形，可以將兩個圖形疊合起來觀察是否完全重合。例1．下圖中，全等的圖形有（

）A.2組

B.3組

C.4組

D.5組解析：根據(jù)全等圖形的定義：能夠完全重合的兩個圖形是全等形對各圖形進行判斷。結(jié)合圖形，兩個六邊形大小不一樣，不是全等圖形，正方形和長方形不是全等圖形，兩個笑臉是全等圖形，兩個箭頭是全等圖形，兩個五角星是全等圖形，則全等圖形有3對。故選C。答案：B點撥：對于全等形的識別，做題時一定要看是否完全重合。變式訓(xùn)練1.圖形中的全等圖形共有幾對？變式練習(xí)2.下列圖形中是全等圖形的有（）A.1對B.2對C.3對D.4對知識點二全等三角形的概念和表示方法內(nèi)容敘述全等三角形的相關(guān)概念：（1）完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。（2）把兩個全等三角形重合到一起。重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。重合的邊叫做對應(yīng)邊。重合的角叫做對應(yīng)角。全等三角形的表示方法，“全等”用符號“≌”表示，讀作“全等于”。知識詳解（1）全等三角形是特殊的全等形，全等三角形關(guān)注的是兩個三角形的形狀和大小是否完全一樣，疊合在一起是否完全重合，與它們的位置沒有關(guān)系。（2）在全等三角形應(yīng)用中，找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊，關(guān)鍵是找對應(yīng)頂點，然后按對應(yīng)頂點的字母順序記兩個三角形全等，全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。（3）尋找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的規(guī)律：①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩個對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；③有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；④有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角；⑤有對頂角的；對頂角是對應(yīng)角；⑥全等三角形中的最大邊(角)是對應(yīng)邊(角)；最小邊(角)是對應(yīng)邊(角)。特別提醒全等三角形與圖形的位置和方向無關(guān)。表示兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上所以在用幾何符號表述的全等三角形中，可以根據(jù)所給的字母順序來確定對應(yīng)關(guān)系。例2．如圖所示，若△ABC≌△DEF，則∠E等于（

）A.30°

B.50°

C.60°

D.100°解析：根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等及三角形內(nèi)角和即得結(jié)果。由圖可得∠∠∠，△ABC≌△DEF，∠∠，故選D。答案：D點撥：尋找對應(yīng)邊、對應(yīng)角通常有下面兩種方法：①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩個對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。變式訓(xùn)練3.如圖所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，則EC的長為（）A．2B．3C．5D．2.5變式練習(xí)4.已知△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，則AC的對應(yīng)邊是_______，∠ACB的對應(yīng)角是________.知識點三全等三角形的性質(zhì)（重點）內(nèi)容敘述全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等。知識詳解要正確區(qū)分對應(yīng)邊和對邊，對應(yīng)角和對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言。而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角。特別提醒由全等三角形的定義還容易知道，全等三角形的周長相等，面積相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)角的平分線相等，對應(yīng)邊上的高相等。例3.如圖，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，則對于結(jié)論：①AC=AF；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個B．3個C．2個D．1個解析：由題△ABC≌△AEF,∴AB=AE，AC=AF,EF=BC,∠B=∠E，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF∠BAF=∠BAC∠BAF,即∠EAB=∠FAC,而∠FAB和∠EAB不是對應(yīng)角,不一定相等,故正確的有①③④3個,選B。答案：B點撥：本題考查了三角形全等的性質(zhì)；用到的知識點為：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。應(yīng)注意各對應(yīng)頂點應(yīng)在同一位置。變式訓(xùn)練5.已知△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P,∠D=48o,∠E=52o,MN=12,求∠P的度數(shù)，DE的長。變式練習(xí)6.如圖，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求線段AB的長．思維誤區(qū)診斷誤區(qū)不能正確找出全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角例如圖，?ABE≌?ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出對應(yīng)邊和另外一組對應(yīng)角。錯解：對應(yīng)邊是AB與AD，AC與AE，BD與CE，另一組對應(yīng)角是∠BAD與∠CAE。正解：對應(yīng)邊是AB與AC，AE與AD，BE與CD，另一組對應(yīng)角是∠BAE與∠CAD。錯因分析：對全等三角形的表示理解不清，沒有根據(jù)對應(yīng)頂點確定對應(yīng)角和對應(yīng)邊。思路分析：在復(fù)雜的圖形中找全等三角形的對應(yīng)元素時，一定要注意將全等三角形分離.重疊，能夠重合的元素才是對應(yīng)元素。綜合題型展示題型一對全等三角形相關(guān)概念的理解例1.下列說法：①全等圖形的形狀相同、大小相等；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④全等三角形的周長、面積分別相等，其中正確的說法為（）A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④解析：由全等三角形的概念可知：全等的圖形是完全重合的，所以①全等圖形的形狀相同、大小相等是正確的；重合則對應(yīng)邊、對應(yīng)角是相等的，周長與面積也分別相等，所以①②③④都正確的。答案：A點撥：本題考查了全等形的概念和三角形全等的性質(zhì)：1、能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，2、全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等；全等三角形的周長、面積分別相等，做題時要細心體會．題型二全等三角形對應(yīng)元素的確定及運用例2.如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應(yīng)角，AB與AC是對應(yīng)邊，寫出其他對應(yīng)邊和對應(yīng)角．分析：全等三角形的對應(yīng)頂點在對應(yīng)位置，按順序找即可．關(guān)鍵要細心，找對對應(yīng)角和對應(yīng)邊．解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應(yīng)角，AB與AC是對應(yīng)邊，

∴對應(yīng)邊：AN與AM，BN與CM；對應(yīng)角：∠BAN=∠CAM，∠ANB=∠AMC．點撥：本題用到的知識點為：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．本題需注意只找其余的兩對角和兩對邊即可．要根據(jù)已知條件找對應(yīng)邊，對應(yīng)角．題型三利用全等三角形的性質(zhì)解決問題例3.邊長都為整數(shù)的△ABC≌△DEF，AB與DE是對應(yīng)邊，AB=2，BC=4，若△DEF的周長為偶數(shù)，則DF的取值為（）A．3 B．4 C．5 D．3或4或5解析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DE和EF長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出2＜DF＜6，求出符合條件的數(shù)即可．∵△ABC≌△DEF，AB=2，BC=4，∴DE=AB=2，BC=EF=4，∴42＜DF＜4+2，2＜DF＜6，

∵△DEF的周長為偶數(shù)，DE=2，EF=4，∴DF=4。答案：B點撥：本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，三角形的任意兩邊之和大于第三邊．例4．已知?ABC≌?DEF，且∠A=52o，∠B=71o31ˊ，DE=8.5cm，求∠F的大小與AB的長。分析：由三角形的內(nèi)角和可求出∠C的度數(shù)，根據(jù)兩個三角形全等，對應(yīng)角相等.對應(yīng)邊相等，即可求出∠F的大小和AB的長。解：在?ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180o（三角形的內(nèi)角和等于180o），∴∠C=180o（∠A＋∠B）=180o（52o＋71o31′）=56o29′∵?ABC≌?DEF，DE=8.5cm，∴∠F=∠C=56o29′，AB=DE=8.5cm點拔：本題是全等三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理的綜合題，要求∠F和AB，可先找∠F的對應(yīng)角∠C和AB的對應(yīng)邊DE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求值。題型四利用全等變換解決幾何問題例5.如圖，把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)25°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點D，若∠A′DC=90°，則∠A=.解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角得到∠ACA′=25°，而∠A′DC=90°，則∠A′=90°25°=65°，然后再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到∠A=65°。答案：65°點撥：實際上△ABC三角形旋轉(zhuǎn)所得另一個△A′B′C′與△ABC全等。題型五全等三角形的閱讀與探究例6.如圖（1）所示，把△ABC沿直線BC移動線段BC那樣長的距離可以變到△ECD的位置；如圖（2）所示，以BC為軸把△ABC翻折180°，可以變到△DBC的位置；如圖（3）所示，以點A為中心，把△ABC旋轉(zhuǎn)180°，可以變到△AED的位置，像這樣，只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換.在全等變換中可以清楚地識別全等三角形的對應(yīng)元素，以上的三種全等變換分別叫平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換。問題：如圖（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是對應(yīng)頂點，問通過怎樣的全等變換可以使它們重合，并指出它們相等的邊和角。解析：本題考查的是全等三角形的性質(zhì)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等即得判斷。解：把△DEF沿EF翻折180°，再將翻轉(zhuǎn)后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E與B點重合，則△ABC與△DEF重合。相等的邊為：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF。相等的角為：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE。點撥：根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等和三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論。本節(jié)鞏固訓(xùn)練基礎(chǔ)過關(guān)1．下列四個圖形是全等圖形的是（）（檢測知識點一）

A.（1）和（3）B.（2）和（3）C．（2）和（4）D．（3）和（4）2.已知：如圖，點D、E分別在AB、AC邊上，△ABE≌△ACD，AC=15，BD=9，則線段AD的長是（）（檢測知識點三）A．6B．9C．12D．153.如圖，已知，AB=6cm，BD=7cm，AD=5cm，則BC的長等于（）（檢測知識點三）A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm4.如圖所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，則EC的長為（）（檢測知識點三）A．2B．3C．5D．2.55.如圖，若△ABC≌△DEF，則∠E等于（）（檢測知識點三）

A.30°B.50oC.60oD.100o6.如圖，兩個全等的等邊三角形的邊長為1m，一個微型機器人由A點開始按ABCDBEA的順序沿等邊三角形的邊循環(huán)運動，行走2010m停下，則這個微型機器人停在（）（檢測知識點三）A．點A處 B．點B處 C．點C處 D．點E處7.下圖是由全等的圖形組成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，則AF＝__________。（檢測知識點三）8.如圖所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，則∠CAE＝__________°。（檢測知識點三）9.如圖所示，△ACB≌△DEF，其中A與D，C與E是對應(yīng)頂點，則CB的對應(yīng)邊是，∠ABC的對應(yīng)角是.（檢測知識點二）能力提升10.已知?ABC≌?DEF，?DEF的周長為32cm，DE=9cm，EF=12cm，求?ABC各邊的長。（檢測知識點三）11.如圖，△ABC≌△DEF，△ABC的周長是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求△DEF中，邊DF的長度．（檢測知識點三）12.如圖，點A，B，C，D在一條直線上，△ABF≌△DCE．你能得出哪些結(jié)論？（請寫出三個以上的結(jié)論）（檢測知識點三）13.如圖所示，?ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，若∠B=30o，∠C=40o，問：（檢測知識點三）（1）順時針旋轉(zhuǎn)多少度時，旋轉(zhuǎn)后的?AB′C′的頂點B′與原三角形的頂點C和A在同一直線上？（2）再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)多少度時，C.A.C′在同一直線上？參考答案：基礎(chǔ)知識詳解變式練習(xí)1．解：（1）與（10）；（5）與（9）；（4）與（8）；（2）與（12）能夠重合，圖形中的全等圖形共有4對。2.C3.B4.DF，∠DFE5.解：∵在△DEF中，∠D=48°，∠E=52°，∴∠F=180°48°52=80°，∵△DEF≌△MNP，MN=12，∴DE=MN=12，