人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步壓軸題專題04相似三角形的四種基本模型（原卷版+解析）

專題04相似三角形的四種基本模型模型一、A字型(8字型)例1．(基本模型)如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．例2．(培優(yōu))如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．

(1)求證：；(2)點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，且，，求的度數(shù)．(3)在(2)的條件下，若，的周長等于30，求的長．【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，且＝m，＝n．(1)若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；(2)若＝k(k≠0)求m，n之間的關(guān)系(用含k的代數(shù)式表示)．【變式訓(xùn)練2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．(1)如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；(2)如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長．模型二、X(8)字型X字型(平行)反X字型(不平行)例1．(基本模型)已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．(1)求證：DF?AB=BC?DG；(2)當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．例2．(培優(yōu))如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．(1)求證：∠BDE=∠ACD；(2)若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；(3)將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【變式訓(xùn)練1】

如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長，交射線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

(1)當(dāng)時(shí)，如圖，延長，交于點(diǎn)，①的長為________；②求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上時(shí)，如圖，此時(shí)的長為________；________；(3)當(dāng)時(shí)，求的正弦值．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分別是AB，BC上一點(diǎn)，AD＝2，CE＝3，OE與CD相交于點(diǎn)F．(1)求證：OE⊥CD；(2)如圖2，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，延長OG交BC于H，求CH的長．【變式訓(xùn)練3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P是線段AD上一點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，∠CPE＝∠ACB，PE的延長線與BC交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)AP＝2時(shí)，求CF的長；(2)如圖2，當(dāng)PF⊥BC時(shí)，求AP的長；(3)當(dāng)△PFC是等腰三角形時(shí)，求AP的長．模型三、子母型已知：∠1=∠2；結(jié)論：△ACD∽△ABC例1．(基本模型)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．(1)求證：△AED∽△ADC；(2)若AE＝1，EC＝3，求AB的長．例2.(培優(yōu))在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；(2)如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；(3)如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【變式訓(xùn)練1】在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長．(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．(3)連接，當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長．【變式訓(xùn)練2】如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．(1)求證：△ACD∽△ABE；(2)若將點(diǎn)D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．【變式訓(xùn)練3】已知正方形的邊長為4，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，和交于點(diǎn)．(1)如圖，求證：①②(2)連接并延長交于點(diǎn)，①若點(diǎn)為的中點(diǎn)(如圖)，求的長．②若點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(不與點(diǎn)重合)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長．模型四、旋轉(zhuǎn)型例1．(基本模型)在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．例2．(培優(yōu))【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為(0°＜＜360°)，當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．【變式訓(xùn)練1】如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【變式訓(xùn)練2】［問題發(fā)現(xiàn)］(1)如圖1，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，點(diǎn)與點(diǎn)重合，已知．請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；［實(shí)驗(yàn)研究］(2)在(1)的條件下，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接，，．請猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；［結(jié)論運(yùn)用］(3)在(1)(2)的條件下，若的面積為8，當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到，，三點(diǎn)共線時(shí)，請求出線段的長．模型五、一線三垂直型例1．(模型探究)【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，．易證．(不需要證明)【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長．例2．(培優(yōu))問題提出(1)如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問題探究(2)如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長度；若不存在，請說明理由．問題解決(3)某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．【變式訓(xùn)練1】問題提出：(1)如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：(2)如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：(3)某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？(≈1.73)【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，AE的垂線AF交CD的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段EF上，滿足FG∶GE＝1∶2，設(shè)BE＝x．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)G在△ADF的內(nèi)部時(shí)，用x的代數(shù)式表示∠ADG的余切；(3)當(dāng)∠FGD＝∠AFE時(shí)，求線段BE的長．【變式訓(xùn)練3】如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于點(diǎn)E．設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．(1)求證：△AOC∽△BEA；(2)若m=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(3)若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時(shí)，S=6？(4)是否存在m，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．專題04相似三角形的四種基本模型模型一、A字型(8字型)例1．(基本模型)如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．【答案】【詳解】如圖，過點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H．在中，因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，，所以N為AH的中點(diǎn)，即．在中，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，，所以H為CN的中點(diǎn)，即，所以．所以．例2．(培優(yōu))如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．

(1)求證：；(2)點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，且，，求的度數(shù)．(3)在(2)的條件下，若，的周長等于30，求的長．【答案】(1)見解析；(2)＝60°；(3)AF＝11【詳解】(1)證明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：(2)如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由(1)知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．(3)如圖2，過點(diǎn)A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設(shè)AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴．∴，．∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得(舍去)．∴AC＝．∴AF＝11．【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，且＝m，＝n．(1)若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；(2)若＝k(k≠0)求m，n之間的關(guān)系(用含k的代數(shù)式表示)．【答案】(1)①證明見解析；②mn有最大值1；(2)n＝k﹣km+1．【詳解】解：設(shè)AM＝a，AN＝b.∵＝m，＝n，∴AB＝am，AC＝bn，∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝(1﹣m)a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝(n﹣1)b.(1)①若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)，如圖1，過點(diǎn)B作BH∥AC交MN于H，∴∠OBH＝∠OCN.在△OBH與△OCN中，，∴△OBH≌△OCN(ASA)，∴BH＝CN＝(n﹣1)b.∵BH∥AN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2；②由①知，m+n＝2，∴m＝2﹣n，∴mn＝(2﹣n)n＝﹣n2+2n＝﹣(n﹣1)2+1，∴當(dāng)n＝1時(shí)，mn有最大值1；(2)若＝k(k≠0)，如圖2，過點(diǎn)B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN.在△OBG與△OCN中，，∴△OBG∽△OCN，∴＝，即＝k，∴BG＝b.∵BG∥AN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝，∴n＝k﹣km+1.【變式訓(xùn)練2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．(1)如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；(2)如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)F，求BF的長．【答案】(1)；(2)BF＝3．【詳解】解：(1)如圖①中，取DE的中點(diǎn)M，連接PM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．(2)如圖②中，過點(diǎn)P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴(3x)2+(4+x)2＝122，解得：x＝(負(fù)值已經(jīng)舍棄)，∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．模型二、X(8)字型X字型(平行)反X字型(不平行)例1．(基本模型)已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．(1)求證：DF?AB=BC?DG；(2)當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【詳解】證明：(1)∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；(2)作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，為的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF?EG=AF?DG．例2．(培優(yōu))如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．(1)求證：∠BDE=∠ACD；(2)若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；(3)將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)①見解析；②．【詳解】(1)證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；(2)證明：如圖1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由(1)知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG(AAS)，∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；(3)解：①如圖2，過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG(AAS)．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過A作AH⊥BC于H，過D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，設(shè)PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設(shè)BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH===8yh，S△DCE=CE?PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【變式訓(xùn)練1】

如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長，交射線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

(1)當(dāng)時(shí)，如圖，延長，交于點(diǎn)，①的長為________；②求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上時(shí)，如圖，此時(shí)的長為________；________；(3)當(dāng)時(shí)，求的正弦值．【答案】(1)①12；②見解析；(2)，；(3)或．【詳解】解：①如圖，由可得：，∴，即，∴的長為．故答案為：．②證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，由折疊可知：，∴，∴．(2)如圖2，由折疊可得，∠BAE＝∠CAE，由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，∴CF＝12，即CF的長為12，由折疊可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，∴；故答案為：；；①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3，的延長線交于點(diǎn)，由可得：，∴，即，∴，由②可知．設(shè)，則，則，在中，，即，解得：，則，∴．②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖4由可得：，∴，即，∴，則，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的正弦值為或．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分別是AB，BC上一點(diǎn)，AD＝2，CE＝3，OE與CD相交于點(diǎn)F．(1)求證：OE⊥CD；(2)如圖2，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，延長OG交BC于H，求CH的長．【答案】(1)見解析；(2)CH的長為6．【詳解】(1)∵四邊形ABCO是矩形，∴OA=BC=8，OC=AB=6，在Rt△OCE中，CE=3，∴OE=，∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，∴，∴，∴PA=4，∴PO=PA+OA=12，∴在Rt△OPC中，OC=6，∴CP=，∵OA∥BC，即OP∥CE，∴，∴，∴EF=OE=，CF=CP=，∵()2+()2==9，∴EF2+CF2=CE2，∴△CEF是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；(2)在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，根據(jù)勾股定理，得CD=，∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，∴CG=DG=2，由(1)知：CP=6，∴DP=CP﹣CD=2，∴點(diǎn)G是CP的三等分點(diǎn)，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴，∴，∴CH=6．答：CH的長為6．【變式訓(xùn)練3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P是線段AD上一點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，∠CPE＝∠ACB，PE的延長線與BC交于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)AP＝2時(shí)，求CF的長；(2)如圖2，當(dāng)PF⊥BC時(shí)，求AP的長；(3)當(dāng)△PFC是等腰三角形時(shí)，求AP的長．【答案】(1)CF＝；(2)AP＝；(3)AP的長為6．【詳解】(1)如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，Rt△PDC中，∵AP＝2，∴PD＝CD＝6，∴PC＝＝6，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠CPE＝∠ACB，∴∠DAC＝∠CPE，∵∠PCE＝∠PCA，∴△CEP∽△CPA，∴，即，∴CE＝7.2，∴AE＝10﹣7.2＝2.8，∵AP∥CF，∴，即，∴CF＝；(2)如圖2，∵AD∥BC，PF⊥BC，∴AD⊥PF，∴∠APE＝90°，tan∠DAC＝設(shè)EP＝3x，AP＝4x，則AE＝5x，BF＝AP＝4x，∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，由(1)知：CP2＝CE?AC，Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，∴PD2+CD2＝CE?AC，∴62+(8﹣4x)2＝10(10﹣5x)，解得：x＝0(舍)或x＝，∴AP＝4x＝；(3)分三種情況：①當(dāng)PF＝PC時(shí)，如圖3，設(shè)AP＝x，則PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，∵AP∥CF，∴，即，∴，∴，由(2)知：用CE?CA＝CP2＝CD2+DP2，∴＝62+(8﹣x)2，∵x≠0，∴x2﹣32x+156＝0，(x﹣6)(x﹣26)＝0，x＝6或26(舍)，∴AP＝6；②當(dāng)FC＝PC，如圖4，連接AF，∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，∴AE＝EP，EF＝CE，∵∠AEF＝∠PEC，∴△AEF≌△PEC(SAS)，∴AF＝PC＝CF，設(shè)CF＝AF＝a，則BF＝8﹣a，Rt△ABF中，由勾股定理得：62+(8﹣a)2＝a2，解得：a＝，∴CF＝CP＝，設(shè)AP＝x，則PD＝8﹣x，∵CP2＝CD2+DP2，∴，解得：x＝(舍)或；當(dāng)x＝時(shí)，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF∴四邊形AFCP是正方形，此種情況不存在；③當(dāng)FC＝FP，如圖5，P與A重合，該情況不符合題意；綜上：AP的長為6．模型三、子母型已知：∠1=∠2；結(jié)論：△ACD∽△ABC例1．(基本模型)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．(1)求證：△AED∽△ADC；(2)若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【答案】(1)見解析；(2)2【詳解】解：(1)證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．(2)∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2(舍去)．又∵AD＝AB，∴AB＝2例2.(培優(yōu))在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；(2)如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；(3)如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【詳解】(1)證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；(2)解：∵，∴設(shè)，則()，∵，，同(1)得：，∴，在中，，過作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；(3)解：過點(diǎn)作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則()，∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．【變式訓(xùn)練1】在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長．(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．(3)連接，當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長．【答案】(1)3；(2)；(3)或1【詳解】(1)∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．(2)過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴2x-y=4,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，∴．(3)∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)與相似時(shí)，①若，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵設(shè)，，，∴．②若，設(shè)與交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵AB=4，BC=3，則AC=5，設(shè)，由EO∥BC∴△AEO∽△ABC∴即則，，∴，∴，∴，，∴，綜上所述，線段的長為或1時(shí)與相似．【變式訓(xùn)練2】如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．(1)求證：△ACD∽△ABE；(2)若將點(diǎn)D，E連接起來，則△AED和△ABC能相似嗎？說說你的理由．【答案】(1)見詳解；(2)相似，理由見詳解；【詳解】證明：(1)∵CD，BE分別是AB，AC邊上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE(2)連接DE，∵△ACD∽△ABE,∴AD：AE＝AC：AB．∴AD：AC＝AE：AB．∵∠A＝∠A．∴△AED∽△ABC，【變式訓(xùn)練3】已知正方形的邊長為4，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，和交于點(diǎn)．(1)如圖，求證：①②(2)連接并延長交于點(diǎn)，①若點(diǎn)為的中點(diǎn)(如圖)，求的長．②若點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(不與點(diǎn)重合)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)①；②【詳解】(1)證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE=BF；②由①得：△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AGB=90°，∴AE⊥BF；(2)解：①如圖2所示：∵E為BC的中點(diǎn)，∴CF=BE=BC=2，∴BF=，由(1)得：AE⊥BF，∴∠BGE=∠ABE=90°，∵∠BEG=∠AEB，∴△BEG∽△AEB，∴，設(shè)GE=x，則BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+(2x)2=22，解得：x=，∴BG=2×=，∵AB∥CD，∴，即，解得：BH=；②由(1)得：∠AGB=90°，∴點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由圖形可知：當(dāng)C、G、M在同一直線上時(shí)，CG為最小值，如圖3所示：∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴GM=AB=BM=2，∵AB∥CD，∴=1，∴CF=CG，∵CF=BE，∴CF=CG=BE，設(shè)CF=CG=BE=a，則CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=(a+2)2，解得：a=2-2，即當(dāng)CG取得最小值時(shí)，BE的長為2-2．模型四、旋轉(zhuǎn)型例1．(基本模型)在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4．(1)的值為______．(2)若，則MN的長為______．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；【應(yīng)用】(1)首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由，得，則；(2)由，得，由(1)知，得，從而得出答案．(1)∵△ABC為等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；(2)(1)∵等腰直角三角形的斜邊長為4，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：8；(2)∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．例2．(培優(yōu))【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為(0°＜＜360°)，當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．【答案】BD＝CE，BD⊥CE；BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，【詳解】解：(1)BD＝CE，BD⊥CE；(2)BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．(3)如圖所示，過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)題意可知，Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD，∴，∴．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．在旋轉(zhuǎn)前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，∴，∴．∴，在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉(zhuǎn)后，得，，∴．【變式訓(xùn)練1】如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝______；(2)如圖2，連接CD、BE，延長ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；(3)如圖3，延長DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延長ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請寫出∠ADM、∠DAE它們之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】(1)22.5°；(2)見解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，詳見解析【解析】(1)解：∵△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性質(zhì)知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案為：22.5°．(2)解：連接AF，過A作AH⊥EF于H，如圖所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，故∠ADC=90°，即AD⊥CD．(3)解：將AN繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，交MD延長線于Q，∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，∵AD=AE，∴∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+2∠ADM=180°．【變式訓(xùn)練2】［問題發(fā)現(xiàn)］(1)如圖1，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，點(diǎn)與點(diǎn)重合，已知．請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；［實(shí)驗(yàn)研究］(2)在(1)的條件下，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接，，．請猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；［結(jié)論運(yùn)用］(3)在(1)(2)的條件下，若的面積為8，當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到，，三點(diǎn)共線時(shí)，請求出線段的長．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)線段的長為或【解析】(1)解：，，，四邊形是正方形，，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，；，，，；(2)解：．證明：由(1)得，，四邊形是正方形，，，，，，，，，；(3)解：如圖1，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，的面積為8，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，四邊形是正方形，；如圖2，、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上，，，，．，；如圖3，、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上，則，．，，綜上所述，線段的長為或．模型五、一線三垂直型例1．(模型探究)【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，．易證．(不需要證明)【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時(shí)，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時(shí)，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時(shí)，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時(shí)，AP的長為4或．例2．(培優(yōu))問題提出(1)如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G．若，則的面積為_________．問題探究(2)如圖2，在矩形中，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)將．沿著折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的長度；若不存在，請說明理由．問題解決(3)某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)，部件要求：如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)D到的距離為，且．若過點(diǎn)D作，過點(diǎn)A作的垂線，交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．設(shè)的長為，四邊形的面積為．①根據(jù)題意求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低．已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)60元，請你幫忙求出這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用．【答案】(1)；(2)存在，或；(3)①；②963.3元．【詳解】解：(1)∵四邊形是矩形，∴．∵，∴．∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴故答案為：；(2)存在，理由如下：∵四邊形是矩形，∴．∵Q是的中點(diǎn)，∴．由折疊的性質(zhì)得：，當(dāng)點(diǎn)P、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，∴．∵，∴．∵∵，∴，∴，即，解得：或；(3)①根據(jù)題意做出輔助線，如圖所示．由題意得：．∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．由，則．∵，∴，∴，∴；②由①知，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為，∴最低造價(jià)為(元)，∴四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低費(fèi)用約為963.3元．【變式訓(xùn)練1】問題提出：(1)如圖①，矩形ABCD中，AD＝6．點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)F在AB上，過點(diǎn)E作EGAB交FC于點(diǎn)G．若EG＝7．則S△EFC＝．問題探究：(2)如圖②．已知矩形ABCD紙片中．AB＝9，AD＝6，點(diǎn)P是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)．將△ADP沿著AP折疊，在紙片上點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，將△QCP沿著PQ折疊．在紙片上點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請問是否存在這樣的點(diǎn)P．使得點(diǎn)P、、在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)DP的長度．若不存在，請說明理由．問題解決：(3)某精密儀器廠接到生產(chǎn)一種特殊四邊形金屬部件的任務(wù)．部件要求：如圖③，四邊形ABCD中，AB＝4厘米，點(diǎn)C到AB的距離為5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，已知這種金屬材料每平方厘米造價(jià)50元．請問這種四邊形金屬部件每個(gè)的造價(jià)最低是多少元？(≈1.73)【答案】(1)21；(2)存在，6或3；(3)802.75元【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，BC＝AD＝6，∵EG∥AB，∴CD∥EG∥AB，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，故答案為：21；(2)存在，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，A