專題04實(shí)數(shù)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（11大題型15道拓展培優(yōu)題）（原卷版）

專題04實(shí)數(shù)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（11大題型+15道拓展培優(yōu)題）【題型目錄】題型一實(shí)數(shù)概念理解題型二實(shí)數(shù)的分類題型三實(shí)數(shù)的性質(zhì)題型四實(shí)數(shù)的大小比較題型五無理數(shù)的估算題型六無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算題型七實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算題型八程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算題型九新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算題型十實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型十一與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如.知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).知識(shí)點(diǎn)3：實(shí)數(shù)運(yùn)算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對(duì)值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)。2．運(yùn)算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的?！窘?jīng)典例題一實(shí)數(shù)概念理解】【例1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列命題：①無理數(shù)都是實(shí)數(shù)；②實(shí)數(shù)都是無理數(shù)；③無限小數(shù)都是無理數(shù)：④帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)；⑤不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)，其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．是16的一個(gè)平方根 B．兩個(gè)無理數(shù)的和一定是無理數(shù)C．無限小數(shù)是無理數(shù) D．0沒有算術(shù)平方根2．（2021下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列說法正確的有．①實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)；②是有理數(shù)；③不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；④是有理數(shù)；⑤數(shù)軸上任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)；⑥的相反數(shù)是．3．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的填寫“正確”，錯(cuò)的填寫“錯(cuò)誤”，并說明理由．(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)．（

）(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)．（

）(3)無限小數(shù)都是無理數(shù)．（

）(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù)．（

）(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)．（

）(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)．（

）(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．（

(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù)．（

）【經(jīng)典例題二實(shí)數(shù)的分類】【例2】（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）下列各數(shù)：，，，，，（每?jī)蓚€(gè)之間依次增加個(gè)），其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各數(shù)：，，，，，，0.585885888588885…（相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次加1）中，無理數(shù)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2023上·山東菏澤·七年級(jí)校考階段練習(xí)）給出下列說法：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)；④非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；⑤無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑥正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)．其中正確的說法是．3．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有五個(gè)實(shí)數(shù)：，，，，4．其中四個(gè)數(shù)已經(jīng)在數(shù)軸上分別用A，B，C，D表示．(1)點(diǎn)A表示數(shù)______；點(diǎn)B表示數(shù)______；點(diǎn)D表示數(shù)______．(2)①用圓規(guī)在數(shù)軸上精確地表示．（提示：注意觀察正方形的面積）②將上列五個(gè)數(shù)按從小到大的順序用“”連接．__________________(3)將上列各數(shù)分別填入相應(yīng)的橫線上：無理數(shù)：________________________；負(fù)數(shù)：________________________【經(jīng)典例題三實(shí)數(shù)的性質(zhì)】【例3】（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若的邊a，b滿足式子：，則第三邊的長可能是（

）．A．2 B．5 C．7 D．8【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)校考期中）下列說法：①無理數(shù)的倒數(shù)還是無理數(shù)；②若互為相反數(shù)，則；③若a為任意有理數(shù)，則；④兩個(gè)有理數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而?。渲姓_的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀?duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)定．如，那么，的最小值為．3．（2022上·八年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)求值：(1)已知a是的整數(shù)部分，，求的平方根．(2)已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：．【經(jīng)典例題四實(shí)數(shù)的大小比較】【例4】（2023春·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明和小亮比較與大小的過程，關(guān)于兩人的思路.A．小明對(duì)，小亮錯(cuò) B．小明錯(cuò)，小亮對(duì)C．兩人都錯(cuò) D．兩人都對(duì)【變式訓(xùn)練】1．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2023上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一組數(shù)，，3，，，……，按下面的方法進(jìn)行排列：，，3，，，，，，，，6……若的位置記為，的位置記為，則這組數(shù)中最大的無理數(shù)的位置記為．3、（2023上·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【綜合實(shí)踐】我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或整式的大小．而解決問題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所謂“作差法”：就是通過作差、變形、并利用差的符號(hào)來確定它們的大小，即要比較代數(shù)式、的大小，只要求出它們的差，若，則；若，則；若，則．請(qǐng)你用“作差法”解決以下問題：(1)用作差法比較和的大??；(2)制作某產(chǎn)品有兩種用料方案，方案一：用3塊型鋼板，用7塊型鋼板；方案二：用2塊型鋼板，用8塊型鋼板；型鋼板的面積比型鋼板的面積大，設(shè)每塊型鋼板的面積為，每塊型鋼板的面積為，從省料角度考慮，應(yīng)選哪種方案？(3)試比較圖1和圖2中兩個(gè)矩形周長的大小．【經(jīng)典例題五無理數(shù)的估算】【例5】（2023秋·福建漳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若（a，b為連續(xù)的整數(shù)），則的值為（）A．3 B．4 C．5 D．9【變式訓(xùn)練】1．（2024上·福建莆田·九年級(jí)莆田第二十五中學(xué)校考期末）已知實(shí)數(shù)，則以下對(duì)的估算正確的是（

）A． B． C． D．2、（2024上·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）大家知道的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是可以用來表示的小數(shù)部分（因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分）．（1）如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值．（2）已知：，其中x是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．3．（2023上·江西撫州·八年級(jí)校考期中）大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小欣用來表示的小數(shù)部分，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．請(qǐng)解答：(1)的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)已知，其中是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．【經(jīng)典例題六無理數(shù)整數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算】【例6】（2023春·山東濰坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1、（2023下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）大家知道，是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分．因?yàn)榈恼麛?shù)部分是．將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：，故的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．已知的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．2．（2024上·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）的整數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是．3．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問題．例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：(1)的整數(shù)部分是_________；小數(shù)部分是_________．(2)已知：的整數(shù)部分是m，的小數(shù)部分是n．①求m、n的值；②若，請(qǐng)求出滿足條件的x的值．【經(jīng)典例題七實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】【例7】（2023秋·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021下·上海靜安·七年級(jí)上海市市西初級(jí)中學(xué)校考期中）在算式中的□處填上運(yùn)算符號(hào)，使結(jié)果為負(fù)無理數(shù)，則填的運(yùn)算符號(hào)為（

）A．加 B．減 C．乘 D．除2．（2023上·四川遂寧·八年級(jí)射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，且，則．3．（2023上·河南周口·八年級(jí)校考期中）計(jì)算．(1)(2)【經(jīng)典例題八程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例8】（2023春·貴州黔西·七年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的x的值為81時(shí)，輸出的y值是（

）A． B．3 C．9 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）按如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，若輸入的值為6，則輸出的值為（

）A．2 B． C． D．2．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的的值為48，第一次輸出的結(jié)果為24，第二次輸出的結(jié)果為，則第2024次輸出的結(jié)果為．3．（2023上·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)(1)當(dāng)輸入的x為16時(shí)，輸出的y值是______．(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請(qǐng)寫出滿足要求的x的值______．(3)若輸入的值，且輸出的y是，請(qǐng)寫出滿足要求的x的值______．【經(jīng)典例題九新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例9】（2023春·福建莆田·七年級(jí)校聯(lián)考期中）設(shè)表示最接近x的整數(shù)（，n為整數(shù)），則（

）A．5151 B．5150 C．5050 D．5049【變式訓(xùn)練】1．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正整數(shù)n小于50，并且滿足等式，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，則滿足等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．6 D．82．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）任何實(shí)數(shù)，可用表示不超過的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，對(duì)2023只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?．3．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谥校┪覀冎?，任意一個(gè)有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中a、b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么，且，運(yùn)用上述知識(shí)解決下列問題：(1)如果，其中a、b為有理數(shù)，那么，；(2)如果，其中a、b為有理數(shù)，求的算術(shù)平方根；(3)若a、b都是有理數(shù)，且，試求的立方根．【經(jīng)典例題十實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（2023春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①，卡片的長為，寬為）不重疊地放在一個(gè)底面為長方形（長為，寬為4）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為2和4，則陰影部分的面積為（）A． B． C．2 D．2．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將長方形分成四個(gè)區(qū)域，其中，兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6，則剩余區(qū)域的面積是．3．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，將長方形分成四個(gè)區(qū)域，其中A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是3和9.(1)A，B兩正方形的邊長各是多少？(2)求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：）.【經(jīng)典例題十一與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題】【例11】（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將1、、三個(gè)數(shù)按圖中方式排列，若規(guī)定表示第排第列的數(shù)，則與表示的兩個(gè)數(shù)的積是（）1

第一排

第二排

1

第三排

1

1

第四排

…………第四列

第三列

第二列

第一列A． B． C． D．1【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┯^察下列各式：①；②；③．根據(jù)上面三個(gè)等式，猜想的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，，，…，，其中n為正整數(shù)．設(shè)，則值是．3．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)?？计谥校┓治鎏剿黝}：細(xì)心觀察如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.，；，；，(1)請(qǐng)用含有（為正整數(shù)）的等式___________；(2)推算出___________.(3)求出的值．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2024上·浙江紹興·七年級(jí)紹興市元培中學(xué)校考期末）實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，若為整數(shù)且，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·七年級(jí)競(jìng)賽）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為的值為（

）A．3 B． C． D．4．（2024上·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)表示最接近x的整數(shù)（，n為整數(shù)），則（

）A．32 B．46 C．64 D．655．（2024上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法：①當(dāng)輸出值y為3時(shí)，輸入值x為3或9；②當(dāng)輸入值x為16時(shí)，輸出值y為；③對(duì)于任意的正無理數(shù)y，都存在正整數(shù)x，使得輸入后能夠輸出y．④存在這樣的正整數(shù)x，輸入x之后，該生成器能夠一直運(yùn)行，但始終不能輸出y值．其中錯(cuò)誤的是（

）A．①② B．②④ C．①④ D．①③6．（2023上·遼寧朝陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示．化簡(jiǎn)：．7．（2024上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為1，點(diǎn)B，C分別位于點(diǎn)A的兩側(cè)，且到點(diǎn)A的距離相等．已知點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．8．（2024·全國·八年級(jí)競(jìng)賽）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則．9．（2024·全國·八年級(jí)競(jìng)賽）如果記，并且表示當(dāng)時(shí)的值，即表示當(dāng)時(shí)的值，即；那么