角平分線（練習）（解析版）-八年級數(shù)學 下冊

第一章三角形的證明第四節(jié)角平分線精選練習基礎篇基礎篇一、單選題1．（2022秋·河北石家莊·八年級?？计谀┬←愅瑢W要找到到三角形三個頂點距離相等的點，根據(jù)下列各圖中圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的作圖，三角形的高的作圖，線段的垂直平分線的作圖，逐一分析各選項即可．【詳解】解：∵到三角形三個頂點距離相等的點是三角形三邊的垂直平分線的交點，∴選項B中的作圖是作的三角形的兩邊的垂直平分線，符合題意，選項A中的作圖，作的一個內角的平分線，作的一邊的垂直平分線，不符合題意；選項C中的作圖作的是兩個內角的平分線，不符合題意，選項D中的作圖作的一邊的垂直平分線，作的一邊上的高，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，根據(jù)垂直平分線的性質再判斷作圖是解本題的關鍵．2．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，是邊上的高線，平分交于點E，，則的面積等于（

）A．24 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】過點作交于點，根據(jù)角平分線的性質，得到，再根據(jù)三角形的面積公式，進行計算即可．【詳解】解：過點作交于點，∵是邊上的高線，∴，∵平分，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是解題的關鍵．3．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形的內角和定理可得，再利用角平分線的性質得到，最后利用三角形外角的性質得出結果．【詳解】解：，，平分，平分，故選A．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、角平分線的性質及三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和及三角形外角的性質．4．（2022秋·全國·八年級期末）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點應是三條角平分線的交點．把三條公路所圍成部分三角形，那么這個三角形兩個內角平分線的交點以及三個外角兩兩平分線的交點都滿足要求．由此即可求解．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個內角平分線的交點，共一處；（2）三個外角兩兩平分線的交點，共三處．故選D．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理的應用，熟練運用角平分線的性質定理是解決問題的關鍵．5．（2022秋·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，平分交于點P，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質，角平分線上的點到線段兩端的距離相等，可得，即可直接求得的面積．【詳解】解：過點P作于點H，平分，，，．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質，解決本題的關鍵是作出垂線求得的高．6．（2022秋·八年級單元測試）如圖，是的角平分線，于點F，且，，，則的面積為（）A．7 B．12 C．8 D．14【答案】A【分析】過點D作于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得，設面積為S，然后根據(jù)列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點D作于H，∵是的角平分線，，∴，在和中，，∴，∴，設面積為S，同理，∴，即，解得，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，證明．二、填空題7．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，點是的平分線上的一點，過點作交于點，，若，，則___________【答案】【分析】作，則，由等腰三角形的性質可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作，如下圖：∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，，在中，，，∴∴，由勾股定理得，，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了角平分線的性質，勾股定理，三角形外角的性質，二次根式的化簡，等腰三角形的判定與性質以及含直角三角形的性質等，解題的關鍵是靈活運用相關性質進行求解．8．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D、E；②分別以點D、E為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線交于點G．如果，，的面積為12，則的面積為________．【答案】16【分析】由作圖步驟可知：為的角平分線，過G作，可得，然后再結合已知條件和三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：由作圖作法可知：為的角平分線過G作，∴∴,故答案為16．【點睛】本題考查了角平分線定理和三角形面積公式的應用，通過作法發(fā)現(xiàn)角平分線并靈活應用角平分線的性質定理是解答本題的關鍵．9．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點D為OC上一點，過D作直線DE⊥OA，垂足為點E，且直線DE交OB于點F，如圖所示，若DE=3，則DF=_______．【答案】6【分析】過點作，垂足為，則，在中，利用三角形內角和定理可求出，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出的長，此題得解．【詳解】解：過點作，垂足為，如圖所示．是的平分線，．在中，，，，即．在中，，，．故答案為：6．【點睛】本題考查了角平分線的性質、三角形內角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質及角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出的長是解題的關鍵．10．（2021春·貴州貴陽·八年級貴陽市第十七中學?？计谥校┤鐖D，在中，，平分，，，則點到的距離為______．【答案】4【分析】過點D作于點E，再根據(jù)角平分線的性質，即可進行解答．【詳解】解：過點D作于點E，∵，，∴，∵平分，，，∴，即點到的距離為4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊的距離相等．三、解答題11．（2022秋·天津南開·八年級?？计谀┤鐖D，于，于，平分，若，，，求的長．【答案】，【分析】先證明與全等得，再證明與全等得，設，通過等量代換列方程即可求解．【詳解】解：，平分在與中在與中設，，，∴，即【點睛】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練掌握角平分線的性質和直角三角形全等的判定．12．（2022秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習）已知：如圖，為的角平分線，⊥于點，⊥于點，連接交于點，求證：垂直平分【答案】見解析【分析】根據(jù)平分，，，可得，，則可證，并得，可證得，根據(jù)，，得到點、點在的垂直平分線上，可證垂直平分．【詳解】證明∵平分，，，∴，，∴，∴，∴∴，∵，，∴點、點在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，角平分線的性質，熟悉相關性質是解題的關鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022秋·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，平分，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等可得兩個三角形的高一樣，再根據(jù)三角形面積公式即可求得．【詳解】∵平分，∴D到、的距離相等，又∵根據(jù)三角形面積等于底乘以高，∴，答案為∶．【點睛】此題考查了角平分線的性質和三角形面積，解題的關鍵是熟悉角平分線的性質和三角形面積公式．2．（2021秋·四川綿陽·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，E為的中點，平分，與相交于點O，若的面積比的面積大2，則的面積是_____【答案】20【分析】過點D作于M，于N，證明，設的面積為S，則，，結合的面積比的面積大2，可得的面積比的面積大2，再列方程求解即可得到答案．【詳解】解：過點D作于M，于N，∵平分，∴，∴，設的面積為S，則，為的中點，∴，∵的面積比的面積大2，∴的面積比的面積大2，∴，∴,∴，故答案為：20．【點睛】本題考查的是角平分線的性質定理，中線的性質，以及利用方程思想解決三角形的面積問題，掌握以上知識是解題的關鍵．3．（2022秋·八年級單元測試）如圖，是的角平分線，點B在射線上，是線段的中垂線交于，，若，，則___________．【答案】39°【分析】連接，過作于，交于，交于，根據(jù)角平分線性質和線段垂直平分線的性質得出，，根據(jù)全等求，求出，求出，求出的度數(shù)，再求出，求出，根據(jù)三角形的外角性質求出，再求出答案即可．【詳解】解：連接，過作于，交于，交于，∵是線段的中垂線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵∴，平分在和中，平分，故答案為：39°．【點睛】本題考查角平分線性質、中垂線性質、三角形內角和180°、三角形外角等于與它不相鄰內角和、全等三角形的性質與判定，掌握這些并正確添加輔助線才能解答正確．4．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在和中，，，，．連接，交于點，連接．下列結論：①，②，③平分，④平分．其中正確的結論有______．（填序號）【答案】①②④【分析】由證明得出，，②正確；由全等三角形的性質得出，由三角形的外角性質得：，得出，①正確；作于G，于H，如圖所示：則，利用全等三角形對應邊上的高相等，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；假設平分，則，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③錯誤；即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，故②正確；同時，由三角形的外角性質得：，∴，故①正確；作于G，于H，如圖所示，則，∵，∴，∴平分，故④正確；假設平分，則，在與中，，∴，∴，∵，∴，而，故③錯誤；正確的個數(shù)有3個，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．5．（2022秋·山東聊城·八年級?？计谀┤鐖D，的角平分線與線段的垂直平分線交于點，，，垂足分別為點E、F．若，，則______．【答案】1【分析】先根據(jù)角平分線性質定理得到，再利用中垂線性質得到．進而證明，通過線段之間的數(shù)量關系即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是的平分線，，，∴，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴故答案為：1【點睛】本題考查了三角形中垂線的性質，角平分線的性質定理，還有用證明兩三角形全等．綜合性較強，中等難度．合理的作出輔助線是解決這類圖形問題的有效方法和解題關鍵．二、解答題6．（2022秋·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的平分線上一點，于，、分別在、上，且．求證：．【答案】見解析【分析】作于,根據(jù)角平分線的性質可得，由，，等量代換可得，則，由全等的性質得，再由是平角，即可得證．【詳解】證明：作于，，，，．，，，，，，，，．【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．7．（2022秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，、分別平分、，交于點F，連接．(1)當時，求的度數(shù)．(2)請直接寫出與的數(shù)量關系，并給出證明．(3)求證：．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)見解析【分析】（1）利用等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出，再利用鄰補角的定義得到，然后根據(jù)角平分線的定義可計算出，，再利用三角形外角性質可計算出；（2）由外角的性質得到，，即可得出；（3）作于M，于N，于H，根據(jù)角平分線的定義以及平行線的判定即可得到結論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，分別平分，，∴，，∴；（2）解：．理由如下：∵、分別平分、，交于F，∴，，∴，∴；（3）證明：作于M，于N，于H，如圖所示，∵、分別平分、，∴，，∴，∴平分，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，三角形的外角的性質的應用，等腰三角形的性質，角平分線的定義與性質與判定，平行線的判定，熟練的利用角平分線的性質與判定進行證明是解本題的關鍵．8．（2022秋·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）己知為等邊三角形，取的邊中點，連接，如圖1，易證為等邊三角形，將繞點順時針旋轉，設旋轉的角度，其中．(1)如圖2，當時，連接，求證：；(2)在旋轉過程中，當超過一定角度時，如圖3，連接會交于一點，記交點為點，交于點，交于點，連接，求證：平分；(3)在第（2）問的條件下，試猜想線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質，利用兩個三角形全等的判定定理得到，利用全等性質即可得到答案；（2）過點作于，過點作于，如圖所示，根據(jù)等邊三角形性質，利用兩個三角形全等的判定定理得到，利用全等性質即可得到，，，利用等面積得到，再根據(jù)角平分線的判定定理