等差數(shù)列及其前n項和+講義 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習

等差數(shù)列及其前n項和

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差

數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為q-a,i=d(常數(shù))(〃€%",n>2).

(2)等差中項

若三個數(shù)A,〃成等差數(shù)列，則A叫做。與b的等差中項，且有A=*.

2

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列｛q｝的首項為4,公差為d,那么它的通項公式是q=q+(〃-1)4.

(2)等差數(shù)列的前〃項和公式

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,其前〃項和5?=nat=幽詈2.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知｛%｝為等差數(shù)列，4為公差，5.為該數(shù)列的前八項和.

(1)通項公式的推廣：an-am+(n-m)d(n,mwN*).

(2)在等差數(shù)列｛?！ǎ?，當=p+q時，。加+0=〃p+4。小幾,p,qeN").

特別地，若m+〃=2f,貝!j。加+?！?24?！?，n,teN").

(3)%,以+m，%+2加，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k,meN").

(4)S〃,S2n-Sn9S3“一S2”，…也成等差數(shù)列，公差為n2d.

(5)若｛〃“｝,｛%｝是等差數(shù)歹U,則｛p%+物J也是等差數(shù)列.

(6)若｛〃“｝是等差數(shù)列，則｛%q｝也成等差數(shù)列,其首項與｛4｝首項相同,公差是｛可｝公差的1L

n2

（7）若項數(shù)為偶數(shù)2〃，則§2“=〃（《+%）=〃（%+4+1）；S偶一S^=〃4；—=-^-.

S偶〃“+i

q?

（8）若項數(shù)為奇數(shù)2〃-1,則§21=（2〃-1）4；S奇一5偶二為；^=—.

S偶n-\

（9）在等差數(shù)列僅“｝中，若4>0,d<0,則滿足F"20的項數(shù)加使得S,取得最大值S”；若4<0,">0,

則滿足1%"°A的項數(shù)m使得5?取得最小值5,,,.

4.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系

S“=,+（a「g〃.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列OS,,=A/+8〃（A8為常數(shù)）.

5.等差數(shù)列的前n項和的最值

在等差數(shù)列｛見｝中，4>0,d<0,則S“存在最大值；若q<0,d>（）,則S“存在最小值.

考點一等差數(shù)列的基本運算

1、記S“為等差數(shù)列｛4,｝的前”項和.已知邑=0，%=5，則（）

2C=1non

A.an=2n-5B.atl=3z?-10C.Sfl=2n-SnD.Slt~^~^

2、記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若3s3=S2+S「q=2,則%=（）

A.-12B.-10C.10D.12

3、記S〃為等差數(shù)列｛《J的前〃項和.若%+6=24,S6=48,則｛%｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

4、在等差數(shù)列｛〃〃｝中，q=0,公差dwO,若。m=4+%+…+%,則用的值為.

5、記S“為等差數(shù)列｛q｝的前"項和，若430,%=3q,則呼=.

6、北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石）,

環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多

9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不

含天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

考點二等差數(shù)列的判定與證明

1、若數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S,,,且滿足q+25￡_尸0(〃22),

(1)求證：｛g｝成等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

2、己知數(shù)列｛〃〃｝滿足：4=6,“一6c*+9=0,鹿wN?且〃22,

求證：｛」一｝為等差數(shù)列.

%一3

3、己知數(shù)列｛〃"｝滿足q=1,且對任意非負整數(shù)相，均有：am+n+am_n+m-n-\=^(t?,,,,+aln)

(1)求％,a2；

(2)求證：數(shù)列｛%”-《“｝是等差數(shù)列，并求出的通項公式.

n+,n

4、已知數(shù)列｛4｝滿足:a,=2,a?+l=3an+3-2,設(shè)2=巴齊.

求證：數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列，并求｛a,,｝的通項公式.

5、已知數(shù)列｛凡｝滿足=一%|),4=2,令么=」^.

an-l

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列伍,｝的通項公式.

6、若數(shù)列｛4｝的前〃項和為5,,且滿足￡,(5“一4,)+24=0(〃22),a,=2,

(1)求證：｛1｝成等差數(shù)列：

3”

(2)求數(shù)列｛a,J的通項公式.

7、（拓展提升）設(shè)數(shù)列q,%，，4，中的每一項都不為0,

求證：｛”“｝是等差數(shù)列的充分必要條件是：對V〃eN*都有」一+—匚++」—=」-

4a2a2a3a?an￥｝aAa,^

考點三等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

1、設(shè)S“，7；分別是等差數(shù)列｛%｝,依｝的前"項和，若為=2&，則去=（）

A.2B,3C.4D.6

2、若5”是等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，且為+%+《9=6,則即）=，兀=.

3、設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若邑=9,§6=36,則%+%+%等于（）

A.63B.45C.36D.27

4、己知S,是等差數(shù)列伍“｝的前”項和，若q=-2016,黑一就=6,則$2021=.

5、在等差數(shù)列｛%｝中，4=29,SIO=S2O,則數(shù)列｛4｝的前〃項和S”的最大值為（)

A.S15B.S16C.九或九D.S17

6、在等差數(shù)列｛a“｝中，若4=—5,4=-9,則%=()

A.-12B.-13C.12D.13

7、(多選)已知無窮等差數(shù)列｛”,｝的前〃項和為S“，S6<S7,且S7>Sg,則()

A.在數(shù)列