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文檔簡(jiǎn)介
等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
1.等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差
數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示,定義表達(dá)式為q-a,i=d(常數(shù))(〃€%",n>2).
(2)等差中項(xiàng)
若三個(gè)數(shù)A,〃成等差數(shù)列,則A叫做。與b的等差中項(xiàng),且有A=*.
2
2.等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列{q}的首項(xiàng)為4,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是q=q+(〃-1)4.
(2)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,其前〃項(xiàng)和5?=nat=幽詈2.
3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知{%}為等差數(shù)列,4為公差,5.為該數(shù)列的前八項(xiàng)和.
(1)通項(xiàng)公式的推廣:an-am+(n-m)d(n,mwN*).
(2)在等差數(shù)列{?!ǎ?,當(dāng)=p+q時(shí),。加+0=〃p+4。小幾,p,qeN").
特別地,若m+〃=2f,貝!j。加+?!?24?!?,n,teN").
(3)%,以+m,%+2加,…仍是等差數(shù)列,公差為md(k,meN").
(4)S〃,S2n-Sn9S3“一S2”,…也成等差數(shù)列,公差為n2d.
(5)若{〃“},{%}是等差數(shù)歹U,則{p%+物J也是等差數(shù)列.
(6)若{〃“}是等差數(shù)列,則{%q}也成等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{4}首項(xiàng)相同,公差是{可}公差的1L
n2
(7)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2〃,則§2“=〃(《+%)=〃(%+4+1);S偶一S^=〃4;—=-^-.
S偶〃“+i
q?
(8)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2〃-1,則§21=(2〃-1)4;S奇一5偶二為;^=—.
S偶n-\
(9)在等差數(shù)列僅“}中,若4>0,d<0,則滿足F"20的項(xiàng)數(shù)加使得S,取得最大值S”;若4<0,">0,
則滿足1%"°A的項(xiàng)數(shù)m使得5?取得最小值5,,,.
4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
S“=,+(a「g〃.數(shù)列{%}是等差數(shù)列OS,,=A/+8〃(A8為常數(shù)).
5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
在等差數(shù)列{見}中,4>0,d<0,則S“存在最大值;若q<0,d>(),則S“存在最小值.
考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算
1、記S“為等差數(shù)列{4,}的前”項(xiàng)和.已知邑=0,%=5,則()
2C=1non
A.an=2n-5B.atl=3z?-10C.Sfl=2n-SnD.Slt~^~^
2、記S“為等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和.若3s3=S2+S「q=2,則%=()
A.-12B.-10C.10D.12
3、記S〃為等差數(shù)列{《J的前〃項(xiàng)和.若%+6=24,S6=48,則{%}的公差為()
A.1B.2C.4D.8
4、在等差數(shù)列{〃〃}中,q=0,公差dwO,若。m=4+%+…+%,則用的值為.
5、記S“為等差數(shù)列{q}的前"項(xiàng)和,若430,%=3q,則呼=.
6、北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),
環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多
9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不
含天心石)()
A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊
考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明
1、若數(shù)列{〃“}的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足q+25£_尸0(〃22),
(1)求證:{g}成等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式.
2、己知數(shù)列{〃〃}滿足:4=6,“一6c*+9=0,鹿wN?且〃22,
求證:{」一}為等差數(shù)列.
%一3
3、己知數(shù)列{〃"}滿足q=1,且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)相,均有:am+n+am_n+m-n-\=^(t?,,,,+aln)
(1)求%,a2;
(2)求證:數(shù)列{%”-《“}是等差數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式.
n+,n
4、已知數(shù)列{4}滿足:a,=2,a?+l=3an+3-2,設(shè)2=巴齊.
求證:數(shù)列{2}為等差數(shù)列,并求{a,,}的通項(xiàng)公式.
5、已知數(shù)列{凡}滿足=一%|),4=2,令么=」^.
an-l
(1)求證:數(shù)列{4}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列伍,}的通項(xiàng)公式.
6、若數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為5,,且滿足£,(5“一4,)+24=0(〃22),a,=2,
(1)求證:{1}成等差數(shù)列:
3”
(2)求數(shù)列{a,J的通項(xiàng)公式.
7、(拓展提升)設(shè)數(shù)列q,%,,4,中的每一項(xiàng)都不為0,
求證:{”“}是等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)V〃eN*都有」一+—匚++」—=」-
4a2a2a3a?an¥}aAa,^
考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用
1、設(shè)S“,7;分別是等差數(shù)列{%},依}的前"項(xiàng)和,若為=2&,則去=()
A.2B,3C.4D.6
2、若5”是等差數(shù)列{〃〃}的前〃項(xiàng)和,且為+%+《9=6,則即)=,兀=.
3、設(shè)等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“,若邑=9,§6=36,則%+%+%等于()
A.63B.45C.36D.27
4、己知S,是等差數(shù)列伍“}的前”項(xiàng)和,若q=-2016,黑一就=6,則$2021=.
5、在等差數(shù)列{%}中,4=29,SIO=S2O,則數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和S”的最大值為()
A.S15B.S16C.九或九D.S17
6、在等差數(shù)列{a“}中,若4=—5,4=-9,則%=()
A.-12B.-13C.12D.13
7、(多選)已知無窮等差數(shù)列{”,}的前〃項(xiàng)和為S“,S6<S7,且S7>Sg,則()
A.在數(shù)列
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