專題02 整式與因式分解（講義）（解析版）-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

專題02整式與因式分解的核心知識點精講1．能用冪的性質(zhì)解決簡單問題,會進行簡單的整式乘法與加法的混合運算．2．能用平方差公式、完全平方公式進行簡單計算．3．了解因式分解的意義及其與整式乘法之間的關(guān)系，會用提公因式法和公式法進行因式分解．4．能選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行相應(yīng)的代數(shù)式的變形，并通過代數(shù)式的適當(dāng)變形求代數(shù)式的值．5．會列代數(shù)式表示簡單的數(shù)量關(guān)系;能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義,會求代數(shù)式的值，并能根據(jù)代數(shù)式的值或特征推斷代數(shù)式反映的規(guī)律．考點1：代數(shù)式定義：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式?？键c2：整式的相關(guān)概念考點3：整式加減運算1.實質(zhì)：合并同類項2.合并同類項：同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。3.去括號（1）a+(b+c)=a+b+c；（2）a-(b+c)=a-b-c考點4：冪運算（1）冪的乘法運算口訣：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)（2）冪的乘方運算口訣：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即(m,n都為正整數(shù))（3）積的乘方運算口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。即（m,n為正整數(shù)）（4）冪的除法運算口訣：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)考點5：整式乘法運算（1）單項式乘單項式單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．（2）單項式乘多項式單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．（3）多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．（4）乘法公式①平方差公式：②完全平方公式：（5）除法運算①單項式的除法：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．②多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．考點6：因式分解【題型1：代數(shù)式及其求值】【典例1】（2023?南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（）A．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，∴a2﹣4a＝12，∴2a2﹣8a﹣8＝2（a2﹣4a）﹣8＝2×12﹣8＝24﹣8＝16，故選：D．1．（2023?雅安）若m2+2m﹣1＝0，則2m2+4m﹣3的值是（）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3【答案】A【解析】解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1．故選：A．2．（2023?常德）若a2+3a﹣4＝0，則2a2+6a﹣3＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．0【答案】A【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0，∴a2+3a＝4，∴2a2+6a﹣3＝2（a2+3a）﹣3＝2×4﹣3＝5，故選：A．3．（2023?巴中）若x滿足x2+3x﹣5＝0，則代數(shù)式2x2+6x﹣3的值為（）A．5 B．7 C．10 D．﹣13【答案】B【解析】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故選：B．【題型2：整式的相關(guān)概念及加減】【典例2】（2022?湘潭）下列整式與ab2為同類項的是（）A．a(chǎn)2b B．﹣2ab2 C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b2c【答案】B【解析】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四個整式中，與ab2為同類項的是：﹣2ab2，故選：B．1．（2021?河池）下列各式中，與2a2b為同類項的是（）A．﹣2a2b B．﹣2ab C．2ab2 D．2a2【答案】A【解析】解：2a2b中含有兩個字母：a、b，且a的指數(shù)是2，b的指數(shù)是1，觀察選項，與2a2b是同類項的是﹣2a2b．故選：A．2．（2022?泰州）下列計算正確的是（）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2【答案】A【解析】解：A、原式＝5ab，符合題意；B、原式＝3y2，不符合題意；C、原式＝8a，不符合題意；D、原式不能合并，不符合題意．故選：A．3．（2022?包頭）若一個多項式加上3xy+2y2﹣8，結(jié)果得2xy+3y2﹣5，則這個多項式為y2﹣xy+3．【答案】y2﹣xy+3．【解析】解：由題意得，這個多項式為：（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8＝y(tǒng)2﹣xy+3．故答案為：y2﹣xy+3．【題型3：冪運算】【典例3】（2023?株洲）計算：（3a）2＝（）A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2【答案】D【解析】解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2，故選：D．1．（2023?丹東）下列運算正確的是（）A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y(tǒng)5 C．x2?x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3【答案】A【解析】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此選項符合題意；B．（y3）2＝y(tǒng)6，故此選項不合題意；C．x2?x2＝x4，故此選項不合題意；D．x6÷x2＝x4，故此選項不合題意．故選：A．2．（2023?陜西）計算：＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：原式＝﹣x6y3，故選：C．3．（2023?溫州）化簡a4?（﹣a）3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)12 B．﹣a12 C．a(chǎn)7 D．﹣a7【答案】D【解析】解：a4?（﹣a）3＝﹣a7．故選：D．【題型4：整式的乘除及化簡求值】【典例4】（2023?鹽城）先化簡，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2＝2a2+6ab．當(dāng)a＝2，b＝﹣1時，原式＝2×22+6×2×（﹣1）＝8﹣12＝﹣4．1．（2023?長沙）先化簡，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【答案】4﹣6a，原式＝6．【解析】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2＝4﹣6a，當(dāng)a＝﹣時，原式＝4﹣6×（﹣）＝4+2＝6．2．（2023?常州）先化簡，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．【答案】x2﹣1，1．【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2＝x2﹣1，當(dāng)x＝時，原式＝2﹣1＝1．3．（2022?鹽城）先化簡，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【解析】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．【題型5：因式分解】【典例5】（2023?北京）分解因式：x2y﹣y3＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）．【解析】解：x2y﹣y3＝y(tǒng)（x2﹣y2）＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）．故答案為：y（x+y）（x﹣y）．1．（2023?鹽城）因式分解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．【答案】x（x﹣y）【解析】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．故答案為：x（x﹣y）．2．（2023?陜西）分解因式：3x2﹣12＝3（x﹣2）（x+2）．【答案】3（x+2）（x﹣2）．【解析】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案為：3（x+2）（x﹣2）．3．（2023?懷化）分解因式：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【答案】2（x﹣1）2【解析】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．1．單項式mxy3與xn+2y3的和是5xy3，則m﹣n＝（）A．﹣4 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：∵單項式mxy3與xn+2y3的和是5xy3，∴單項式mxy3與xn+2y3是同類項，∴n+2＝1，m+1＝5，解得n＝﹣1，m＝4，∴m﹣n＝4﹣（﹣1）＝5，故選：D．2．下列計算正確的是（）A．2ab+3ab＝5ab B．7y2﹣2y2＝5 C．4a+2a＝6a2 D．3m2n﹣2mn2＝mn2【答案】A【解析】解：A．2ab+3ab＝5ab，故本選項符合題意；B．7y2﹣2y2＝5y2，故本選項不符合題意；C．4a+2a＝6a，故本選項不符合題意；D．3m2n與﹣2mn2不是同類項，所以不能合并，故本選項不符合題意．故選：A．3．如圖是由連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，……排成的數(shù)陣，用如圖所示的T字框框住其中的四個數(shù)，設(shè)豎列中間的數(shù)為x，則這四個數(shù)的和為（）A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2【答案】B【解析】解：設(shè)豎列中間的數(shù)為x，則上面的數(shù)為：x﹣10，下面的數(shù)為：x+10，其右側(cè)的數(shù)為：x+2，則這四個數(shù)的和為：x﹣10+x+10+x+2＝3x+2，故選：B．4．某商品標(biāo)價為m元，商店以標(biāo)價7折的價格開展促銷活動，這時一件商品的售價為（）A．0.3m元 B．1.7m元 C．7m元 D．0.7m元【答案】D【解析】解：商店以標(biāo)價7折的價格開展促銷，售價為0.7m元；故選：D．5．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，…，照此規(guī)律，擺成第6個圖案需要的三角形個數(shù)是（）A．19個 B．22個 C．25個 D．26個【答案】A【解析】解：第1個圖案有4個三角形，即4＝3×1+1，第2個圖案有7個三角形，即7＝3×2+1，第3個圖案有10個三角形，即10＝3×3+1，…，按此規(guī)律擺下去，第n個圖案有（3n+1）個三角形．第6個圖案有（3×6+1）＝19個三角形．故選：A．6．若代數(shù)2x2+3x的值為5，則代數(shù)式4x2+6x﹣9的值是（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】解：∵2x2+3x的值為5，∴2x2+3x＝5，∴原式＝2（2x2+3x）﹣9＝2×5﹣9＝10﹣9＝1．故選：A．7．下列計算正確的是（）A．（a3）2＝a8 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（2ab2）3＝8a3b6 D．【答案】C【解析】解：（a3）2＝a6，則A不符合題意；a2?a3＝a5，則B不符合題意；（2ab2）3＝8a3b6，則C符合題意；3a2÷4a2＝，則D不符合題意；故選：C．8．多項式3x2﹣2x+5的各項分別是（）A．3x2，﹣2x，5 B．x2，x，5 C．3x2，2x，5 D．3，2，5【答案】A【解析】解：多項式3x2﹣2x+5的各項分別是3x2，﹣2x，5，故選：A．9．下列各整式中是三次單項式的是（）A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3 D．9a2+b3【答案】B【解析】解：5a3b的次數(shù)是3+1＝4，則A不符合題意；32a2b的次數(shù)是2+1＝3，則B符合題意；﹣a2b3的次數(shù)是2+3＝5，則C不符合題意；9a2+b3不是多項式，則D不符合題意；故選：B．10．如果二次三項式x2+ax﹣2可分解為（x﹣2）（x+b），那么a+b的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0【答案】D【解析】【詳解】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴x2+ax﹣2＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴a＝b﹣2，﹣2＝﹣2b，∴a＝﹣1，b＝1，∴a+b＝0，故選：D．11．將長、寬分別為x、y的四個完全一樣的長方形，拼成如圖所示的兩個正方形，則這個圖形可以用來解釋的代數(shù)恒等式是（）A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy【答案】D【解析】解：根據(jù)圖形可得：大正方形的面積為（x+y）2，陰影部分小正方形的面積為（x﹣y）2，一個小長方形的面積為xy，則大正方形的面積﹣小正方形的面積＝4個小長方形的面積，即（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，故選：D．12．（﹣x3）2的運算結(jié)果是（）A．﹣x5 B．﹣x6 C．x6 D．x9【答案】C【解析】解：（﹣x3）2＝x6．故選：C．13．單項式﹣的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A．﹣，4 B．﹣，5 C． D．【答案】C【解析】解：單項式﹣的系數(shù)是﹣，次數(shù)是4，故選：C．14．若M和N都是三次多項式，則M+N一定是（）A．次數(shù)低于三次的整式 B．六次多項式 C．三次多項式 D．次數(shù)不高于三次的整式【答案】D【解析】解：∵M和N都是三次多項式，∴M+N一定是次數(shù)不高于三次的整式，故選：D．15．多項式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10 B．20 C．±10 D．±20【答案】C【解析】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25∴m＝±10故選：C．16．要使多項式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化簡后不含x的二次項，則m的值是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣6【答案】D【解析】解：2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2＝2x2﹣14﹣6x+4x2+mx2＝（6+m）x2﹣6x﹣14．∵化簡后不含x的二次項．∴6+m＝0．∴m＝﹣6．故選：D．17．先化簡，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023．【答案】a﹣4，2019．【解析】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2＝a﹣4，當(dāng)a＝2023時，原式＝2023﹣4＝2019．18．甲、乙兩個長方形的邊長如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝2m﹣1（用含m的代數(shù)式表示）；（2）若一個正方形的周長等于甲、乙兩個長方形的周長之和．①設(shè)該正方形的邊長為x，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）；②設(shè)該正方形的面積為S3，試探究：S3與2（S1+S2）的差是否是常數(shù)？若是常數(shù)，求出這個常數(shù)，若不是常數(shù)，請說明理由．【答案】（1）2m﹣1；（2）①2m+7；②S3與2（S1+S2）的差是常數(shù)19．【解析】解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8＝2m﹣1，故答案為：2m﹣1；（2）①根據(jù)題意得：4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），解得：x＝2m+7，答：x的值為2m+7；②∵S1+S2＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8＝2m2+14m+15，∴S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30＝19，答：S3與2（S1+S2）的差是常數(shù)19．1．已知有2個完全相同的邊長為a、b的小長方形和1個邊長為m、n的大長方形，小明把這2個小長方形按如圖所示放置在大長方形中，小明經(jīng)過推理得知，要求出圖中陰影部分的周長之和，只需知道a、b、m、n中的一個量即可，則要知道的那個量是（）A．a(chǎn) B．b C．m D．n【答案】D【解析】解：由圖和已知可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．陰影部分的周長為：2（AB+AC）+2（GE+EF）＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b＝4n．∴求圖中陰影部分的周長之和，只需知道n一個量即可．故選：D．2．已知8m＝a，16n＝b，其中m，n為正整數(shù)，則23m+12n＝（）A．a(chǎn)b2 B．a(chǎn)+b2 C．a(chǎn)b3 D．a(chǎn)+b3【答案】C【解析】解：∵8＝23，16＝24，∴（23）m＝23m＝a，（24）n＝24n＝b，∴23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3，故選：C．3．比較344，433，522的大小正確的是（）A．344＜433＜522 B．522＜433＜344 C．522＜344＜433 D．433＜344＜522【答案】B【解析】解：344＝（34）11＝8111；433，＝（43）11＝6411；522的＝（52）11＝2511；∵2511＜6411＜8111，∴522＜433＜344．故選：B．4．若（a+2b）?_____＝a2﹣4b2，則橫線內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣a﹣2b B．a(chǎn)+2b C．a(chǎn)﹣2b D．2b﹣a【答案】C【解析】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），∴括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是a﹣2b．故選：C．5．同號兩實數(shù)a，b滿足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b為整數(shù)，則ab的值為（）A．1或 B．1或 C．2或 D．2或【答案】A【解析】解：∵a2+b2＝4﹣2ab，∴（a+b）2＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4ab≥0，∴ab≤1，∵ab＞0，∴0＜ab≤1．∴0≤4﹣4ab＜4．∵a﹣b為整數(shù)，∴4﹣4ab為平方數(shù)．∴4﹣4ab＝1或0，解得ab＝或1；故選：A．6．我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式（a+b）n的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”設(shè)（a+b）n的展開式中各項系數(shù)的和為an，若21010＝x，則a1+a2+a3+…+a2020的值為（）A．2x2 B．2x2﹣2 C．2020x﹣2 D．2020x【答案】B【解析】解：觀察所給數(shù)據(jù)可得，a1＝2，a2＝1+2+1＝4＝22，a3＝1+3+3+1＝8＝23，a4＝1+4+6+4+1＝16＝24，…，a2020＝22020，∵21010＝x，∴a2020＝22020＝x2，∵a1+a2＝2+4＝6＝2（22﹣1），a1+a2+a3＝2+4+8＝14＝2（23﹣1），…，∴a1+a2+a3+…+a2020＝2（22020﹣1）＝2（x2﹣1）＝2x2﹣2．故選：B．7．下列表格中的四個數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（）A．135 B．170 C．209 D．252【答案】C【解析】解：根據(jù)表格可得規(guī)律：第n個表格中，左上數(shù)字為n，左下數(shù)字為n+1，右上數(shù)字為2（n+1），右下數(shù)字為2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故選：C．8．定義運算“★”：a★b＝，關(guān)于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有兩個不相等的實數(shù)根，則t的取值范圍是t＞﹣．【答案】t＞﹣．【解析】解：由新定義的運算可得關(guān)于x的方程為：（1）當(dāng)2x+1≤2x﹣3成立時，即1≤﹣3，矛盾，所以a≤b時不成立；（2）當(dāng)2x+1＞2x﹣3成立時，即1＞﹣3時，所以a＞b時成立，則（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化簡得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0，解得：t＞﹣，故答案為：t＞﹣．9．計算：已知：a+b＝3，ab＝1，則a2+b2＝7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：∵a+b＝3，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．故答案為：710．如圖，邊長分別為a、b的兩個正方形并排放在一起，當(dāng)a+b＝8，ab＝10時，陰影部分的面積為17．【答案】17．【解析】解：根據(jù)題意得：S陰影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]，把a+b＝8，ab＝10代入得：S陰影部分＝17．故圖中陰影部分的面積為17．故答案為：17．11．因式分解：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【答案】2（x﹣1）2．【解析】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2故答案為2（x﹣1）2．12．已知xy＝2，x+y＝3，則x2y+xy2＝6．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：∵xy＝2，x+y＝3，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案為：6．13．如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝9，兩正方形的面積和S1+S2＝51，則圖中陰影部分面積為．【答案】．【解析】解：設(shè)AC＝m，CF＝n，∵AB＝9，∴m+n＝9，又∵S1+S2＝51，∴m2+n2＝51，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴92＝51+2mn，∴mn＝15，∴S陰影部分＝mn＝，即：陰影部分的面積為．故答案為：．14．若實數(shù)a，b滿足a﹣b＝1，則代數(shù)式a2﹣b2﹣2b+5的值為6．【答案】6．【解析】解：a2﹣b2﹣2b+5＝（a+b）（a﹣b）﹣2b+5，∵a﹣b＝1，∴原式＝a+b﹣2b+5＝a﹣b+5＝1+5＝6．故答案為：6．15．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”這個三角形給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展開式的系規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）．請根據(jù)規(guī)律，寫出（x+1）2022的展開式中含x2021項的系數(shù)是2022．【答案】2022．【解析】解：∵（a+b）1展開式中的第二項系數(shù)為1，（a+b）2展開式中的第二項系數(shù)為2，（a+b）3展開式中的第二項系數(shù)為3，（a+b）4展開式中的第二項系數(shù)為4，∴（a+b）n展開式中的第二項系數(shù)為n，由圖中規(guī)律可知：含x2021的項是（x+1）2022的展開式中的第二項，∴（x+1）2022的展開式中的第二項系數(shù)為2022，故答案為：2022．16．觀察下列一組數(shù)：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它們是按一定規(guī)律排列的，請利用其中規(guī)律，寫出第n個數(shù)an＝（用含n的式子表示）【解析】解：觀察分母，3，5，9，17，33，…，可知規(guī)律為2n+1，觀察分子的，1＝×1×2，3＝×2×3，6＝×3×4，10＝×4×5，15＝×5×6，…，可知規(guī)律為，∴an＝＝；故答案為；17．先化簡，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1．【解析】解：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）＝4a2﹣1﹣4a2+4a＝4a﹣1，當(dāng)a＝﹣1時，原式＝﹣4﹣1＝﹣5．18．已知多項式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2項和y項，求nm+mn的值．【解析】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，由結(jié)果不含有x2項和y項，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，解得：m＝2，n＝﹣1，則原式＝1﹣2＝﹣1．19．我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（a+b）5的展開式．（2）利用上面的規(guī)律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．【解析】解：（1）如圖，則（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．＝（2﹣1）5，＝1．20．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)字等式，例如圖1，可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值；（3）小明同學(xué)用2張邊長為a的正方形、3張邊長為b的正方形、5張邊長為a、b的長方形紙片拼出了一個長方形，那么該長方形較長一邊的邊長為多少？（4）小明同學(xué)又用x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個面積為（25a+7b）（2a+5b）長方形，求9x+10y+6．【解析】解：（1）正方形的面積可表示為＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29．（3）長方形的面積＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．所以長方形的邊長為2a+3b和a+b，所以較長的一邊長為2a+3b．（4）∵長方形的面積＝xa2+yb2+zab＝（25a+7b）（2a+5b）＝50a2+14ab+125ab+35b2＝50a2+139ab+35b2，∴x＝50，y＝35，z＝139．∴9x+10y+6＝450+350+6＝806．21．閱讀理解：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．遷移應(yīng)用：（1）若x滿足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如圖，點E，G分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點，滿足DE＝k，BG＝k+1（k為常數(shù)，且k＞0），長方形AEFG的面積是，分別以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求陰影部分的面積．【答案】（1）﹣3；（2）．【解析】解：（1）設(shè)a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，則：a+b＝﹣2，a2+b2＝10．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴10+2ab＝（﹣2）2．∴ab＝﹣3．∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝1．∵長方形AEFG的面積是，∴AE?AG＝．∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE?AG+AG2，∴AE2+AG2＝1+＝．∵（AE+AG）2＝AE2+2AE?AG+AG2，∴（AE+AG）2＝，∴AE+AG＝．∴S陰影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）＝×1＝．22．如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成相等的四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．（1）圖②中陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積：方法一：（m﹣n）2；方法二：（m+n）2﹣4mn；（3）根據(jù)（2）寫出（m﹣n）2，（m+n）2，mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系及推理過程．【答案】（1）m﹣n；（2）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，推理過程見解答．【解析】解：（1）圖②中的陰影部分的小正方形的邊長＝m﹣n，故答案為：m﹣n；（2）方法①（m﹣n）2；方法②（m+n）2﹣4mn；故答案為：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，由（2）得圖②中陰影部分的面積為：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn，所以：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，因此這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．1．（2023?西藏）下列計算正確的是（）A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a(chǎn)3?a4＝a12 C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 D．（a+b）2＝a2+b2【答案】A【解析】解：A、2a2b﹣3a2b＝﹣a2b，故此選項符合題意；B、a3?a4＝a7，故此選項不符合題意；C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此選項不符合題意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此選項不符合題意；故選：A．2．（2023?攀枝花）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：D．3．（202