專(zhuān)題15 排列組合（6大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專(zhuān)用）（原卷版）

專(zhuān)題15排列組合易錯(cuò)點(diǎn)一：相鄰與不相鄰問(wèn)題處理方法不當(dāng)致誤（相鄰問(wèn)題）相鄰問(wèn)題技巧總結(jié)相鄰問(wèn)題1、思路：對(duì)于相鄰問(wèn)題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個(gè)整體，在于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計(jì)到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問(wèn)題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計(jì)算.2、解題步驟：第一步：把相鄰元素看作一個(gè)整體（捆綁法），求出排列種數(shù)第二步：求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)易錯(cuò)提醒：排列組合實(shí)際問(wèn)題主要有相鄰問(wèn)題和不相鄰問(wèn)題。（1）相鄰問(wèn)題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）；（2）不相鄰（相間）問(wèn)題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；例、現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（）A．種B．種C．種D．種變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64變式2：中國(guó)航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國(guó)躋身世界航天大國(guó)的行列.

中國(guó)的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國(guó).它通過(guò)訪問(wèn)月球，發(fā)射火星探測(cè)器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計(jì)劃.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種變式3：為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專(zhuān)題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種1．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．144002．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種3．把二項(xiàng)式的所有展開(kāi)項(xiàng)重新排列，記有理項(xiàng)都相鄰的概率為，有理項(xiàng)兩兩不相鄰的概率為，則（

）A．5 B． C．4 D．4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．2885．2023年5月21日，中國(guó)羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國(guó)隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場(chǎng)合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種6．為配合垃圾分類(lèi)在學(xué)校的全面展開(kāi)，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類(lèi)知識(shí)比賽活動(dòng).高一?高二?高三年級(jí)分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng).若將上述獲一等獎(jiǎng)的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種7．甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門(mén)口站成一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．28808．某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和B不相鄰，則不同的排法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種9．某高鐵動(dòng)車(chē)檢修基地庫(kù)房?jī)?nèi)有共5條并行的停車(chē)軌道線，每條軌道線只能停一列車(chē)，現(xiàn)有動(dòng)車(chē)、高鐵共五列車(chē)入庫(kù)檢修，若已知兩列動(dòng)車(chē)安排在相鄰軌道，則動(dòng)車(chē)停放在道的概率為（

）A． B． C． D．10．班長(zhǎng)邀請(qǐng)四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班長(zhǎng)坐在⑤號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個(gè)座位，則兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

A． B．C． D．11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種12．5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（

）A．70種 B．72種 C．36種 D．12種13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則（

）A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊(duì)訓(xùn)練，則（

）A．甲乙不相鄰的不同排法有48種B．甲乙中間恰排一個(gè)人的不同排法有36種C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種16．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會(huì)對(duì)他們的出場(chǎng)順序進(jìn)行安排，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若3個(gè)女生不相鄰，則有144種不同的出場(chǎng)順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場(chǎng)順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場(chǎng)順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個(gè)教師節(jié)目，共有72種不同的出場(chǎng)順序17．某校高二年級(jí)安排甲?乙?丙三名同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，且多名同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種18．在樹(shù)人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種20．(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（

）A．A與B相鄰有48種擺法B．A與C相鄰有48種擺法C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法21．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．易錯(cuò)點(diǎn)二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”（不相鄰問(wèn)題）不相鄰問(wèn)題技巧總結(jié)1.思路：對(duì)于不相鄰問(wèn)題一般采用“插空法”解決，即先將無(wú)要求的元素進(jìn)行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計(jì)算即可2.解題步驟：①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法），求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)易錯(cuò)提醒：處理相鄰問(wèn)題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問(wèn)題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進(jìn)行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起．變式1：為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開(kāi)展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專(zhuān)題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺(tái)站位時(shí)男女間隔的不同排法共有（

）A．12種 B．24種 C．72種 D．120種1．4名男生和3名女生排隊(duì)（排成一排）照相，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若女生必須站在一起，那么一共有種排法B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法C．若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法2．某校文藝匯演共6個(gè)節(jié)目，其中歌唱類(lèi)節(jié)目3個(gè)，舞蹈類(lèi)節(jié)目2個(gè)，語(yǔ)言類(lèi)節(jié)目1個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若以歌唱類(lèi)節(jié)目開(kāi)場(chǎng)，則有360種不同的出場(chǎng)順序B．若舞蹈類(lèi)節(jié)目相鄰，則有120種出場(chǎng)順序C．若舞蹈類(lèi)節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場(chǎng)順序D．從中挑選2個(gè)不同類(lèi)型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．個(gè)空位全都相鄰的坐法有種B．個(gè)空位中只有個(gè)相鄰的坐法有種C．個(gè)空位均不相鄰的坐法有種D．4個(gè)空位中至多有個(gè)相鄰的坐法有種4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有36種5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．4個(gè)空位全都相鄰的坐法有720種B．4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有1800種C．4個(gè)空位均不相鄰的坐法有1800種D．4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有9000種6．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．7．為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門(mén)課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂(lè)”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法8．有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說(shuō)法正確的是（

）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個(gè)工廠都有人），則有90種不同的安排方法D．6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若五位同學(xué)排隊(duì)要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學(xué)排隊(duì)最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊(duì)，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個(gè)社區(qū)參加志愿活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有72種10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．14411．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬9月14日在浙江臺(tái)州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺(tái)州活力城市”為主題，全長(zhǎng)8公里．從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺(tái)州市圖書(shū)館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種12．，，，，五名學(xué)生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．36 C．18 D．6413．某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．14．現(xiàn)有4男3女共7個(gè)人排成一排照相，其中三個(gè)女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．15．黃金分割最早見(jiàn)于古希臘和古埃及.黃金分割又稱(chēng)黃金率、中外比，即把一條線段分成長(zhǎng)短不等的，兩段，使得長(zhǎng)線段與原線段的比等于短線段與長(zhǎng)線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛(ài)數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開(kāi)機(jī)密碼，如果兩個(gè)3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（

）A．180 B．210 C．240 D．360易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合）1．兩個(gè)重要公式(1)排列數(shù)公式．(2)組合數(shù)公式2、要點(diǎn)：一般用于計(jì)算，而和一般用于證明、解方程（不等式）.重點(diǎn)：三個(gè)重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性：；組合意義：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，則.從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素后只剩下個(gè)元素了，則從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素與從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素是等效的.則，故.等式特點(diǎn)：等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).應(yīng)用：①簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)時(shí)，通常將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，則.對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有，根據(jù)分類(lèi)加法原理：.等式特點(diǎn)：下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組合數(shù).應(yīng)用：恒等變形常見(jiàn)的組合恒等式：，，，.（3）.重點(diǎn)：三個(gè)重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性：；組合意義：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，則.從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素后只剩下個(gè)元素了，則從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素與從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素是等效的.則，故.等式特點(diǎn)：等號(hào)兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).應(yīng)用：①簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)時(shí)，通常將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，則.對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個(gè)元素中任取個(gè)元素，所以共有，根據(jù)分類(lèi)加法原理：.等式特點(diǎn)：下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個(gè)組合數(shù).應(yīng)用：恒等變形常見(jiàn)的組合恒等式：，，，.（3）.易錯(cuò)提醒：解排列、組合的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)（1）元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題，有序的問(wèn)題是排列問(wèn)題．（2）對(duì)于有限多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類(lèi)還是分步，這是處理排列、組合的綜合問(wèn)題的一般方法．例、解不等式.變式1．若，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10變式2．計(jì)算＋＋＋＋的值為（

）A． B．C．－1 D．－1變式3．若整數(shù)滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或31．可表示為（）A． B．C． D．2．已知，則（

）A．6 B．7 C．8 D．93．！除以2019的余數(shù)為（

）A．1 B．2018 C．2017 D．前三個(gè)答案都不對(duì)4．甲，乙，丙3位同學(xué)從即將開(kāi)設(shè)的4門(mén)校本課程中任選一門(mén)參加，則他們參加的校本課程各不相同的概率為（

）A． B． C． D．5．若，則n等（

）A．8 B．4 C．3或4 D．5或66．若，則正整數(shù)（

）A．7 B．8 C．9 D．107．一條鐵路有n個(gè)車(chē)站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了m個(gè)車(chē)站，且知，客運(yùn)車(chē)票增加了62種，則現(xiàn)在車(chē)站的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．16 C．17 D．188．不等式的解集為（

）A．{2，8} B．{2，6}C．{7，12} D．{8}9．若，則.10．已知，求x的值．11．解關(guān)于正整數(shù)x的不等式．12．解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．13．已知，且.求的值.14．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．15．（1）若，則x=.（2）不等式的解集為.易錯(cuò)點(diǎn)四：實(shí)際問(wèn)題不清楚導(dǎo)致計(jì)算重復(fù)或者遺漏致誤（加法與乘法原理）正難則反問(wèn)題技巧總結(jié)正難則反排除處理：對(duì)于正面不好解決的排列、組合問(wèn)題，考慮反面(取補(bǔ)集的思想)，一般在題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn)。正規(guī)方法：限制（定位）問(wèn)題優(yōu)先處理：某個(gè)（幾個(gè)）元素要排在指定位置，可先排這個(gè)（幾個(gè)）元素，再排其它元素，或某個(gè)（幾個(gè)）位置要求排指定元素，可先排這個(gè)（幾個(gè)）位置，再排其它位置。（即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。秒殺方法：對(duì)立事件處理+韋恩圖解釋模型：7個(gè)同學(xué)站隊(duì)，要求甲同學(xué)不站在排首，乙同學(xué)不站在排尾，求站隊(duì)的總方案數(shù).破解：①全部方案：,②其中不合理的方案則種方案.解釋?zhuān)阂族e(cuò)提醒：排列、組合問(wèn)題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以我們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時(shí)，解答組合問(wèn)題必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題．例、有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有多少種？變式1：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面點(diǎn)，不同取法有種。變式2：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()A.70種B.80種C.100種D.140種變式3：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1,且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)。若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個(gè)B.16C.14個(gè)D.12個(gè)1．高考期間，為保證考生能夠順利進(jìn)入考點(diǎn)，交管部門(mén)將5名交警分配到該考點(diǎn)周邊三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少1人，至多2人，則不同的分配方染共有（

）A．60種 B．90種 C．125種 D．150種2．某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（

）A． B． C． D．3．將3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（

）A． B．120 C．240 D．7204．用數(shù)字3，6，9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．81 B．48 C．36 D．245．從4名優(yōu)秀學(xué)生中選拔參加池州一中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三學(xué)科培優(yōu)研討會(huì)，要求每名學(xué)生至多被一學(xué)科選中，則每學(xué)科至少要選用一名學(xué)生的情況有（

）種A．24 B．36 C．48 D．606．將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種7．哈六中高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為A． B． C． D．8．下列說(shuō)法正確的是（

）A．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有81種報(bào)名方法B．4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有24種報(bào)名方法C．4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有64種可能的結(jié)果D．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為12個(gè)9．如圖，線路從到之間有五個(gè)連接點(diǎn)，若連接點(diǎn)斷開(kāi)，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通，則下列判斷正確的是（

）A．至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種 B．至多三個(gè)斷點(diǎn)的有種C．共有種 D．共有種10．某班有5名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的四個(gè)比賽項(xiàng)目，計(jì)算在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法.（1）每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，每項(xiàng)都有人報(bào)名，且每人至多參加一項(xiàng)；（3）每人限報(bào)一項(xiàng)，人人參加了項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目均有人參加.11．已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對(duì)它們一一進(jìn)行測(cè)試，直至找到所有次品．（1）若在第5次測(cè)試時(shí)找到最后一件次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？（2）若至多測(cè)試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？12．杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等6人報(bào)名參加了A、B、C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加A、B項(xiàng)目，乙不能參加B、C項(xiàng)目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）13．某校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)選修課，其中數(shù)學(xué)選修課開(kāi)四個(gè)班.選課結(jié)束后，有四名同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但每班至多可再接收2名同學(xué)，那么不同的分配方案有（用數(shù)字作答）14．某單位有A、B、C、D四個(gè)科室，為實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這8人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問(wèn)共有種不同的安排方法？易錯(cuò)點(diǎn)五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問(wèn)題）不同元素分組分配問(wèn)題技巧總結(jié)分組問(wèn)題與分配問(wèn)題Ⅰ：將個(gè)不同元素按照某些條件分成組，稱(chēng)為分組問(wèn)題.分組問(wèn)題共分為3類(lèi)：不平均分組、平均分組、部分平均分組.將個(gè)不同元素按照某些條件分配給個(gè)不同的對(duì)象，稱(chēng)為分配問(wèn)題.分配問(wèn)題共分為2類(lèi)：定額分配、隨機(jī)分配.區(qū)別：分組問(wèn)題是組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不區(qū)分的.而分配問(wèn)題即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌匀皇强蓞^(qū)分的，對(duì)于分配問(wèn)題必須先分組后分配.Ⅱ：分組問(wèn)題的常見(jiàn)形式及快速處理方法①非均勻不編號(hào)分組：個(gè)不同元素分成組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是否分完，其分法種數(shù)為：如：6個(gè)不同的球分為3組，且每組數(shù)目不同，有多少種情況？②均勻不編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成不編號(hào)的組，假定其中組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)）.如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以.除的原因?yàn)椋喝纾?23456平均分成3組，可能是也可能是或者是等，一共有種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以除以.如：兩兩一組，分兩組，若直接用種，但列舉出來(lái)的分別為、、再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了.如：、、.如：6個(gè)不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種情況？.③非均勻編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)）④均勻編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成組，各組元素?cái)?shù)目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號(hào)分組的分法種數(shù)）.易錯(cuò)提醒：均勻分組和部分均勻分組在計(jì)數(shù)過(guò)程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，注意計(jì)算公式的應(yīng)用．重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以．例、將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少一本的不同分法共有______種．（用數(shù)字作答）變式1：12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有()種。A.B.3C.D.變式2：將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種變式3：某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有種。（用數(shù)字作答）1．第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日在杭州開(kāi)幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報(bào)名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個(gè)場(chǎng)館的各一個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目．若甲不能參加“蓮花”場(chǎng)館的項(xiàng)目，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種2．從2個(gè)不同的紅球、2個(gè)不同的黃球、2個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（

）A．42種 B．36種 C．72種 D．46種3．陽(yáng)春三月，草長(zhǎng)鶯飛，三個(gè)家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見(jiàn)，他們排隊(duì)前進(jìn)，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每?jī)晌淮笕酥g至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（

）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（

）A．20種 B．30種 C．50種 D．60種5．杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲?乙等6人報(bào)名參加了??三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加?項(xiàng)目，乙不能參加?項(xiàng)目，那么共有（

）種不同的選拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．現(xiàn)有甲?乙?丙3位同學(xué)在周一至周五參加某項(xiàng)公益勞動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲同學(xué)安排在另外兩位前面，則不同的安排總數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．607．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種8．甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是A． B． C． D．9．從2個(gè)不同的紅球，2個(gè)不同的黃球，2個(gè)不同的藍(lán)球共6個(gè)球中任取2個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)色的三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入1個(gè)球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種．10．將2枚白棋和2枚黑棋放入一個(gè)的棋盤(pán)中，使得棋盤(pán)的每個(gè)方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種數(shù)為．11．現(xiàn)有紅、黃、白三種顏色的小球（形狀、大小完全相同）5個(gè)，每種顏色至多2個(gè)小球，若將這5個(gè)小球排成一排，要求中間位置不放白球，且同種顏色的小球不相鄰，則共有種排法．12．把座位編號(hào)為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為(用數(shù)字作答)．13．全運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等6人報(bào)名參加、、三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作．因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加1個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加、項(xiàng)目，乙不能參加、項(xiàng)目，那么共有多少種不同的選拔志愿者的方案？14．某電影院一排有10個(gè)座位，現(xiàn)有4名觀眾就座.（1）若4名觀眾必須相鄰，則不同的坐法有多少種？（2）若4名觀眾中恰有兩人相鄰，則不同的坐法有多少種？（3）若4名觀眾兩兩不相鄰，且要求每人左右兩邊至多只有2個(gè)空位，則不同的坐法有多少種？15．將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中.(1)有多少種放法?(2)若每盒至多一球,則有多少種放法?(3)若恰好有一個(gè)空盒,則有多少種放法?(4)若每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,則有多少種放法?易錯(cuò)點(diǎn)六：由于重復(fù)計(jì)數(shù)致錯(cuò)（可重復(fù)與限制問(wèn)題）可重復(fù)問(wèn)題總原則：可重復(fù)問(wèn)題方冪處理(乘法原理）Ⅰ：解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程（1）認(rèn)真審題，確定要做什么事；（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類(lèi)或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類(lèi)及多少步；（3）確定每一步或每一類(lèi)是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；（4）解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類(lèi)與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．Ⅱ：數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類(lèi)排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論．Ⅲ：定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱(chēng)為特殊元素，被限制的位置稱(chēng)為特殊位置．這一類(lèi)問(wèn)題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．易錯(cuò)提醒：解排列組合的應(yīng)用題，要注意：由于排列組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決問(wèn)題的方案是否完備，有無(wú)重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同．在對(duì)排列組合問(wèn)題分類(lèi)時(shí)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．例、從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到的不同值的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．10 C．18 D．20變式1.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A.B.C.D.變式2.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則