中考數(shù)學(xué)解題技巧 75二倍角、半角問(wèn)題

二倍角、半角問(wèn)題一、方法突破既有構(gòu)造相等角的，也有在這個(gè)問(wèn)題上再進(jìn)行加工的，比如，在坐標(biāo)系中構(gòu)造已知角的半角或二倍角，角可以單獨(dú)出現(xiàn)，也可以存在于某個(gè)幾何圖形中，因此，構(gòu)造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下：思路1：構(gòu)造半角三角函數(shù)．構(gòu)造二倍角三角函數(shù)：思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．二、典例精析例一：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ABD=2∠BAC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）思路：轉(zhuǎn)化為等角本題中的∠BAC和∠ABD是內(nèi)錯(cuò)角，若是構(gòu)造∠ABD=∠BAC，作平行線即可．兩倍角亦可以作平行構(gòu)造出，過(guò)B作x軸的平行線，作BA關(guān)于平行線對(duì)稱(chēng)的直線，與拋物線交點(diǎn)即為D點(diǎn)．考慮到，故，可得直線BD解析式為：，與拋物線聯(lián)立方程：，解得：，，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．

例二：如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)題：當(dāng)t=1時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線的頂點(diǎn)為K，如圖2所示，問(wèn)該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】思路：三角函數(shù)構(gòu)造相等角t=1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），代入拋物線解析式，可求得拋物線：，故頂點(diǎn)K的坐標(biāo)為．考慮要構(gòu)造，過(guò)點(diǎn)K作KH⊥MQ交MQ于H點(diǎn)，則．根據(jù)圖形可求得，故若，則，故，分別解得直線DQ解析式為或，與拋物線聯(lián)立方程：，解得：，，則對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為；，解得：，，則對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為或．三、中考真題對(duì)決1.如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB=2∠ACO．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【分析】（1）拋物線：；（2）思路：利用特殊角的三角函數(shù)值考慮到A點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3），故，若∠PAB=2∠ACO，則，轉(zhuǎn)化角的正切值為直線的k，即．當(dāng)時(shí)，直線PA解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，，故P點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，直線PA解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，，故P點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．2．（2021?南充）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線．（1）求拋物線的解析式；（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且．在軸上是否存在點(diǎn)，得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為①；（3）是的中點(diǎn)，則點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)，同理可得，直線的表達(dá)式為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，故，而．，則直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得，故直線的表達(dá)式為②，聯(lián)立①②并解得（不合題意的值已舍去），故點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得：，同理可得，當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，即，解得；故點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．3．（2021?泰安）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接，當(dāng)時(shí)，求直線的表達(dá)式；解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得：，該二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，軸，，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，，解得：，，設(shè)所在直線表達(dá)式為，，解得：，直線的表達(dá)式為；4．（2021?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，，且時(shí)，①求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)，，且直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接．若，求證：射線平分．解（1）①點(diǎn)在拋物線上，（Ⅰ），（Ⅱ），聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，；（2）拋物線，，令，則，或，，軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，由圖知，，，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于，是梯形的中位線，的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，點(diǎn)，直線的解析式為，令，則，，，，，令，則，記直線與軸的交點(diǎn)為，，，，，，根據(jù)勾股定理得，，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，平分，即射線平分．5．（2021?綏化）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連接．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（3）點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)與線段交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），當(dāng)且時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）將，代入拋物線得：，解得：，拋物線的解析式為：；（3）如圖1，在上取一點(diǎn)，作的垂