2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破專題突破練9　三角恒等變換與解三角形（附答案）

專題突破練9三角恒等變換與解三角形一、單項(xiàng)選擇題1.在鈍角△ABC中,AB=2,sinB=32,且△ABC的面積是32,則AC=(A.3 B.2 C.7 D.32.若tanα2=13,則sinA.-13 B.-3 C.13 D3.已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中R為△ABC外接圓的半徑.若3asinA+3bsinB+4asinB=6Rsin2C,則sinAsinB-cosAcosB=()A.34 B.23 C.-23 D4.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割率,黃金分割率的值也可以用2sin18°表示.若實(shí)數(shù)n滿足4sin218°+n2=4,則1-sin18°8A.14 B.12 C.54 5.(2023·河南周口模擬)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,則該三角形的形狀一定是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形6.已知cosα+sin2β=32,sinα+sinβcosβ=13,則cos(α+2β)=(A.49 B.59 C.536 D7.小李在某大學(xué)測(cè)繪專業(yè)學(xué)習(xí),節(jié)日回家,來到一個(gè)池塘邊(如圖陰影部分),為了測(cè)量該池塘兩側(cè)C,D兩點(diǎn)間的距離,除了觀測(cè)點(diǎn)C,D外,他又選了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)P1,P2,且P1P2=a,已經(jīng)測(cè)得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于條件不足,需要再觀測(cè)新的角,則利用已知觀測(cè)數(shù)據(jù)和下面三組新觀測(cè)的角的其中一組,就可以求出C,D間距離的是()①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.(2023·河南鄭州二模)人臉識(shí)別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè),改變著人類的生活,而所謂人臉識(shí)別,就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖象,并從中提取出有效的識(shí)別信息,最終判別人臉對(duì)象的身份.在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試,常用的測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),余弦相似度similarity為向量OA,OB夾角的余弦值,記作cos(A,B),余弦距離為1-cos(A,B).已知點(diǎn)P(sinα,cosα),Q(sinβ,cosβ),R(sinα,-cosα),若點(diǎn)P,Q的余弦距離為13,點(diǎn)Q,R的余弦距離為12,則tanαtanβA.7 B.17 C.4 D.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·廣東金山中學(xué)等四校聯(lián)考)定義2×2行列式a1a3a2a4=a1a4-a2a3,若函數(shù)fA.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π6,0中心對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.f(x)在區(qū)間0,π6上單調(diào)遞增D.f(x)的最小正周期為π10.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足b-2a+4asin2A+B2=A.角C一定為銳角 B.a2+2b2-c2=0C.3tanA+tanC=0 D.tanB的最小值為311.(2023·廣東深圳模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=4,sinA=45,cosC=210,則下列說法正確的是(A.cosA=±3B.B=πC.b=5D.△ABC的面積為7212.(2023·廣東茂名模擬)東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”,根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明,后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過類比得到圖2,它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形A'B'C'拼成的一個(gè)大等邊三角形ABC.對(duì)于圖2,下列說法正確的是()圖1圖2A.這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,則C.若AB=2A'B',則AB'=5BB'D.若A'是AB'的中點(diǎn),則三角形ABC的面積是三角形A'B'C'面積的7倍三、填空題13.已知△ABC的面積為23,AB=2,B=π3,則sinBsinC14.已知tanθ,tan(π4-θ)是方程x2+ax-3=0的兩個(gè)根,則a=.15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足a=2,a2=2b2+c2,則△ABC的面積的最大值為.

16.現(xiàn)制作一批獎(jiǎng)杯,獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示,其中扇形OAB的半徑為10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,工藝制造廠發(fā)現(xiàn),若按此方案設(shè)計(jì),當(dāng)OP最長(zhǎng)時(shí),該獎(jiǎng)杯比較美觀,此時(shí)∠AOB=.

專題突破練9三角恒等變換與解三角形一、單項(xiàng)選擇題1.C解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.依題意,三角形ABC是鈍角三角形,c=2,sinB=32,S△ABC=12acsinB=32,解得a=1,a<c,所以A為銳角.當(dāng)C為鈍角時(shí),cosB=1-sin2B=12,b=a2+當(dāng)B為鈍角時(shí),cosB=-1-sin2B=-12,故b=a2+c2-2ac·cosB=2.A解析因?yàn)閟inα由于cosα=1-2sin2α2,sinα=2sinα2cos所以cosα-1sinα3.C解析由正弦定理asinA=b得sinA=a2R,sinB=b2R,sin代入3asinA+3bsinB+4asinB=6Rsin2C,得3a22R+化簡(jiǎn)得3a2+3b2+4ab=3c2,即a2+b2-c2=-43ab所以cosC=a2+故sinAsinB-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC=-24.A解析15.C解析因?yàn)閟in2A+csinA=sinAsinB+bsinC,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(2R為△ABC外接圓的直徑),可得a2R·sinA+a2R·c=b2R·sinA+b·c2R,所以a(sin6.C解析由cosα+sin2β=32知2cosα-cos2β=2①,因?yàn)閟inα+sinβcosβ=13,所以2sinα+sin2β=23②,將①②兩個(gè)等式平方相加得4+1-4cos(2β+α)=4+49,解得cos(α+7.D解析根據(jù)題意,△P1P2D的三個(gè)角和三條邊均可以求出,①中,CDsin∠DP1C=DP1sin∠DCP1,故CD=DP1sin∠DP1Csin∠DCP1,故①可以求出CD;③與①條件等價(jià).②中,8.A解析由OP=(sinα,cosα),OQ=(sinβ,cosβ),OR=(sinα,-cosα),cos(P,Q)=OP·OQ|OP||OQ|=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β),cos(Q,R)=OQ·OR|OQ||OR|=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos(α+β),所以二、多項(xiàng)選擇題9.CD解析由題意f(x)=cos2x-sin2x-3cos(π2+2x)=cos2x+3sin2x=2cos(2x-π3),對(duì)于A,將x=π6代入f(x)的解析式,得f(π6)=2cos0=2≠0,所以點(diǎn)(π6,0)不是中心對(duì)稱點(diǎn),錯(cuò)誤;對(duì)于B,令x=0,得f(0)=2cos(-π3)=1≠2,所以y軸不是對(duì)稱軸,錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)x∈[0,π6]時(shí),2x-π3∈[-π3,0],根據(jù)y=cosx的性質(zhì)知f(x)在區(qū)間[0,π6]上單調(diào)遞增,正確;對(duì)于D,由f(x)的解析式知ω=10.BC解析∵b-2a+4asin2A+B2=0,∴b-2a+4asin2π2-C2=0,∴b-2a+4acos2C2=0,∴∴b+2acosC=0,∴cosC<0,∴角C一定為鈍角,A錯(cuò)誤;b+2acosC=0?b+2a·a2+b2-c22ab=0?a2b+2acosC=0?sinB+2sinAcosC=0?3sinAcosC+cosAsinC=0?3tanA+tanC=0,C正確;tanB=-tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC-1=-2tan11.BC解析由題設(shè)sinC=1-cos2C=7210,則asinA=csinC,即c=72>a=4,故又a2+b2-2abcosC=c2,即16+b2-425b=整理得10b2-82b-85=(52b+17)(2b-5)=0,故b=52所以cosB=a2又角B為三角形的內(nèi)角,所以B=π綜上,△ABC的面積S=12bcsinA=12×故A,D錯(cuò)誤,B,C正確.故選BC.12.ABD解析對(duì)于A選項(xiàng),根據(jù)題意,題圖2,它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形A'B'C'拼成的一個(gè)大等邊三角形ABC,故AA'=BB',AB'>BB',所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形,故A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),由題知,在△ABB'中,BB'=3,sin∠ABB'=5314,∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1114,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=3314,所以由正弦定理得BB'sin∠BAB'=AB'sin∠ABB',解得AB'=5,因?yàn)锽B'=AA'=3,所以A'B'=2,故B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),不妨設(shè)AB=2A'B'=2,AA'=x,所以在△AB'B中,由余弦定理得AB2=AB'2+BB'2-2AB'·BB'cos∠AB'B,代入數(shù)據(jù)得AA'=x=5-12,所以AB'=AA'+A'B'=5-12+1=5+12,BB'=AA'=5-12,所以AB'BB'=5+15-1=3+52,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),若A'是AB'的中點(diǎn),則S△ABB'三、填空題13.3解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則AB=2=c,S△ABC=12acsinB=12×a×2×32=∴b2=a2+c2-2accosB=16+4-2×4×2×12∴b=23,∴14.-4解析因?yàn)閠anθ,tanπ4-θ是方程x2+ax-3=0的兩個(gè)根,所以tanθ+tanπ4-θ=-a,tanθtanπ4-θ=-3,Δ=a所以tanπ4=tanθ+π4-θ=tan15.23解析由余弦定理及題意可得a2=b2+c2-2bccosA=2b2+c2=4,所以cosA=-b2c,則sinA=4c2-b22c,16.π2解析由題意可知,四邊形ABPQ為等腰梯形.如圖,連接OP,過點(diǎn)O作OM⊥QP垂足為點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)C,則OC⊥AB,OM平分∠AOB,M為線段PQ設(shè)∠AOC=θ,則AB=20sinθ,OC=10cosθ,設(shè)AQ=QP=BP=x,過點(diǎn)Q作QE⊥AB垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PF⊥AB垂足為點(diǎn)F,因?yàn)椤螾BA=∠QAB=60°,所以AE=BF=12x,CM=P