2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第2章 函數(shù)模型的應(yīng)用

§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用

【考試要求】1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異2理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)

數(shù)增長"''直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

-落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=a\a>\)y=\ogax(a>\)y=/>7>0)

性

在（0,+8）

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與V軸平行與X軸平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型./U)=or+6(a,b為常數(shù)，

二次函數(shù)模型fix)=ar2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aWO)

k

反比例函數(shù)模型fix)=~+b(kfb為常數(shù)，ZWO)

指數(shù)函數(shù)模型./U)=仄f+c(a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWQ)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型/(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且aWLbr0)

幕函數(shù)模型j(x)=a^+b(a,b,a為常數(shù)，aWO,aWO)

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）函數(shù)y=2,的函數(shù)值比的函數(shù)值大.（X）

（2）某商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若九折出售，則每

件還能獲利.（X）

（3）在（0,+°°）±,隨著x的增大，的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于）=尸①乂））和y=

10go%3>1）的增長速度.（J）

（4）在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.（X）

【教材改編題】

1.當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中增長速度最快的是（）

A.y=5xB.>?—logs%

C.y=^D.y=5"

答案D

解析結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知，幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快.

2.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.99-0.010.982.00

則對(duì)x,y最適合的函數(shù)模型是（）

A.y=2xB.y=^~1

C.y—2x—2D.y—\og2X

答案D

解析根據(jù)x=0.50,尸一0.99,代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,y=0.98,代入計(jì)算，

可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2X,可知滿足題意，故選D.

3.某超市的某種商品的日利潤），（單位：元）與該商品的當(dāng)日售價(jià)x（單位：元）之間的關(guān)系為y

=-^+12x-210,那么該商品的日利潤最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為_________元.

答案150

r21

解析因?yàn)閥=一京+12%—210=一石（%—150）2+690,所以當(dāng)x=150時(shí)，y取最大值，即該

商品的利潤最大時(shí)，當(dāng)日售價(jià)為150元.

■探究核心題型

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

例1（1）（多選）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí),

該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥

物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

血藥濃度（mg/mL）

?最低中毒濃度（MTC）

——祚濃度

安全范圍

■最低有效濃度（ME。

O345i678-9loll’12〃小'時(shí)

續(xù)一期--I殘留期

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，正確的是（）

A.首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用

B.每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒

C.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

D.首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒

答案ABC

解析從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；

根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后的血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)

兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等

于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一

次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低

中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤.

(2)根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的散點(diǎn)圖如圖所示.

y

4

3*?

2

1.

□Ii2345678-J

現(xiàn)有如下5個(gè)函數(shù)模型：①y=0.6x-0.12；②y=2■'—2.02；⑨=2，-5.n+6；④y=log”；

⑤>=(；>+1.84.請(qǐng)從中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選

.(填序號(hào))

答案④

解析由圖可知上述點(diǎn)大體分布在函數(shù)y=log2X的圖象上，

故選擇)，=lOg2X可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.

思維升華判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)

圖象.

(2)臉證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否

吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)尸在邊長為1的正方形A8CZ)的邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P

沿力一B-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程無與△/1月例的面積y的函數(shù)y=/(x)的圖象大致是

下圖中的()

答案A

解析當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，y=3XxXl=/,OWxWl；

當(dāng)點(diǎn)P在6C上時(shí)，y=S正方形ABC?！猄zMDM—S/MBp—SZ\PCM=—%+本1<X<2；

5155

X-1

一

-臥

當(dāng)點(diǎn)P在CM上時(shí),2+■中2

由函數(shù)可知，有三段直線，又當(dāng)點(diǎn)尸在8c上時(shí)是減函數(shù)，故選A.

題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

例2（1）（2021?全國甲卷）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通

常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿

足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約

為（即詁比1.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

~11

解析4.9=5+lgV=>lgV=—0.1=V=1010—心75而心。8，所以該同學(xué)視力的小數(shù)記

師

錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

（2）（2022.莆田質(zhì)檢）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（單

位：mg/L）與時(shí)間/（單位：h）間的關(guān)系為?=凡《3其中Po,%是正的常數(shù).如果2h后還剩

下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下%的污染物.

答案10

解析設(shè)初始污染物數(shù)量為尸,，

同門=知’,

則3

兩式相除得e3K=3.

131

所以8h后P=Pn-e&k=eik-Pn-e5k=^-^P'=y/，

即還剩下=X100%=10%的污染物.

思維升華已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵

⑴認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

跟蹤訓(xùn)練2（1）（多選）（2023?德州模擬）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染

的人數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為Ro,1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，

這N個(gè)人中有丫個(gè)人接種過疫苗色稱為接種率），那么1個(gè)感染者傳染人數(shù)為赍（N—V）.已

知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)Ro=4,為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1,則該地疫苗

的接種率不可能為（）

A.45%B.55%C.65%D.75%

答案ABC

解析為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1,只需歙N—V）W1,即島（1一丹4,

V1V3

因?yàn)镽o=4,故1-曷,可得力衿.

（2）牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型。=%+（仇一%）e"（f為時(shí)間，單位：分鐘，

%為環(huán)境溫度，仇為物體初始溫度，6為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度仇=100℃,環(huán)境

溫度捌=20℃,常數(shù)Z=0.2,大約經(jīng)過分鐘水溫降為40℃（參考數(shù)據(jù)：In2=0.7）

（）

A.10B.9C.8D.7

答案D

解析依題意知，40=20+（100—20＞屋°2,則屋°2=/

—0.2r=ln^=—21n2,所以f=年芋=101n2七7（分鐘）.

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題

例3智能輔助駕駛己開始得到初步應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車輛與障礙

物之間的距離，并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警，等于危

險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車.若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間力與人的反應(yīng)時(shí)間小系

統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間小制動(dòng)時(shí)間以相應(yīng)的距離分別為do,小,必，43,如圖所示.當(dāng)車速為。（米/

秒），且OCW33.3時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度

等路面情況而變化，且1WAW2).

報(bào)警距離

階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)

時(shí)間to八=0.8秒/2=0.2秒“

距離扇=嬴米

面=10米小d2

⑴請(qǐng)寫出報(bào)警距離4(米)與車速。(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)太=2時(shí)，當(dāng)汽車達(dá)到報(bào)

警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障

礙物的最短時(shí)間；

(2)若要求汽車在k=\的路面上行駛時(shí)報(bào)警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多

少以下(單位：米/秒)？

解(1)由題意知，4(0)=曲+&+"2+43=10+0.8。+0.2。+元即d(o)=10+。+而p

d(v)1()V1

當(dāng)％=2時(shí)，或。)=10+。+而，《。)=〒-=春+而+1>2X]+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=20時(shí)等號(hào)

成立，0<oW33.3,

即以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間為2秒.

(2)當(dāng)&=1時(shí)，d(v)<50,即10+。+加<50,

EPv2+2te-800<0,一40<。<20,又0<oW33.3,

故0<u<20,

所以汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下.

思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟

(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；

(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，然后返回到原來的實(shí)際

問題中去，得到實(shí)際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)

定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞?/p>

式返回彈道，實(shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示).現(xiàn)將

石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s,這是第一次“打水漂”，然后石

片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低

于60m/s,則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取In0.6心一0.511,In0.9^-0.105)

()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設(shè)石片第〃次“打水漂”時(shí)的速率為

則辦=100X09-1.

由100X0.9n-1<60,得0.9"r<0.6,

則("一l)ln0,9<ln0.6,

?In0.6—0.511.

即〃一心正麗公一0.105公437,則”>5.87,

故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

⑵網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方

向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的

銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x(單位：萬件)與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用

”單位：萬元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式x=3—甯?.已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬元，

產(chǎn)品每1萬件的進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每

件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是萬元.

答案37.5

解析由題意，產(chǎn)品的月銷量M單位：萬件)與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用/(單位：萬元)之

2

間滿足x=3—

2

即1(1<x<3),

所以月利潤為y=(32X1.5+(1-32x—3—f=16x—3=16x—^7^一。

=45.5—16(3-x)+y^]w45.5—2V^=37.5,

當(dāng)且僅當(dāng)16(3-x)=±,即》=弓■時(shí)取等號(hào)，

則最大月利潤為37.5萬元.

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

1.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.—1B.y—^

C.y=21og2XD.1

答案D

解析將各點(diǎn)（尤，y）分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y=/一l.

2.某校實(shí)行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準(zhǔn)進(jìn)校園，某學(xué)生早上上學(xué)騎自行車從家里

出發(fā)，離開家不久，發(fā)現(xiàn)出入證忘在家里了，于是回家取出入證，然后乘坐出租車以更快的

速度趕往學(xué)校，令x（單位：分鐘）表示離開家的時(shí)間，y（單位：千米）表示離開家的距離，其中

等待紅綠燈及在家取出入證的時(shí)間忽略不計(jì)，下列圖象中與上述事件吻合最好的是（）

答案C

解析中途回家取證件，因此中間有零點(diǎn)，排除A,B,第二次離開家速度更大，直線的斜

率更大，故只有C滿足題意.

3.農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布2022年農(nóng)區(qū)蝗蟲防控技術(shù)方案.為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案

演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為6%,最初有M只，則能達(dá)到最初的1200倍大約經(jīng)過（參

考數(shù)據(jù)：In1.06^0.0583,In1200K=7.090i）（）

A.122天B.124天C.130天D.136天

答案A

解析由題意可知，蝗蟲最初有No只且日增長率為6%.

設(shè)經(jīng)過〃天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的1200倍，

ENO（1+6%）”

則=1200,

A1.06"=1200,

logi.oel200=e]06g121.614,

?.?“GN*,.?.大約經(jīng)過122天能達(dá)到最初的1200倍.

4.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)

的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉

水越高.已知聽到的聲強(qiáng)與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)研）（，〃0約為10一%單位：霜之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲

強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L（貝爾），即L=1咪）,取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已

知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿足關(guān)系式y(tǒng)=2r,現(xiàn)知A同學(xué)大

喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于100個(gè)8同學(xué)同

時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則3同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（）

A.0.7米B.7米C.50米D.60米

答案D

解析設(shè)8同學(xué)的聲強(qiáng)為機(jī)，噴出的泉水高度為x,

則A同學(xué)的聲強(qiáng)為100,",噴出的泉水高度為70,

IT1100/77

101g-=2x=>lgm~\gmo=O.2x,101g7^=2X70=2+lgzw—1gmo=14,

相減得2=14—0.2x=>0.2x=12=x=60.

壓力

5.大氣壓強(qiáng)。=說向，它的單位是“帕斯卡”（Pa,lPa=lN/m，大氣壓強(qiáng)p（Pa）隨海拔

高度〃（m）的變化規(guī)律是p=pob"”=0.000126mr）,po是海平面大氣壓強(qiáng).已知在某高山4,

4兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為m，pi，片=；,那么4,A?兩處的海拔高度的差約為（）

（參考數(shù)據(jù)：In321.099）

A.660mB.2340m

C.6600mD.8722m

答案D

解析設(shè)4,A2兩處的海拔高度分別為加，歷，

1__-0.000126A.

」_A)e_^0.000126(712-/11)

——C

3n-0.000126/h

A0.000126(/12-〃。=In|=-In3?=-1.099,

得h2f產(chǎn)-0^55726^-8722（m）.

，Ai,4兩處的海拔高度的差約為8722m.

6.（多選）目前部分城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾正在

逐年攀升，有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，某城市從2018年到2021年產(chǎn)生的包裝垃圾量如下表：

年份X2018201920202021

包裝垃圾生產(chǎn)量y（萬噸）46913.5

有下列函數(shù)模型：①>=“〃-2。叫②尸sin,：喘

（參考數(shù)據(jù)：1g220.3010,lg3M）.4771）

則以下說法正確的是（）

A.選擇模型①，函數(shù)模型解析式為y=4X近似反映該城市近兒年包裝垃圾生產(chǎn)

量六萬噸）與年份x的函數(shù)關(guān)系

B.選擇模型②，函數(shù)模型解析式為），=sin七而一/十%近似反映該城市近幾年包裝垃圾

生產(chǎn)量y（萬噸）與年份x的函數(shù)關(guān)系

C.若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2023年開始，該城市的包裝垃圾將超過

40萬噸

D.若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2024年開始，該城市的包裝垃圾將超過

40萬噸

答案AD

解析若選尸4義（獷20%計(jì)算可得對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)近似值為4,6,9,13.5,

若選曠=0出殘喘普+4,計(jì)算可得對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)近似值不會(huì)大于5,

顯然A正確，B錯(cuò)誤；

令）>40,即4X（|戶°I8>40,

.?.（IK。9。，

.'.X—2018>log310,

...x-2018>電10-

3r-；_r^7^5.6786,

一1g3—lg2

?g2

.\x>2023.6786,

即從2024年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸，故C錯(cuò)誤，D正確.

7.“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)最大限

度地激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績?cè)谠瓉淼幕A(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人

滿意的成績，特別對(duì)于成績?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大.現(xiàn)有某班主

任老師根據(jù)歷年成績?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過

kP

時(shí)間100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)7(f)(單位：分)的函數(shù)模型：財(cái)=1+]。0+])，k

為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且人60)=看產(chǎn).現(xiàn)有某學(xué)生在高考

前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約

為.(保留到個(gè)位)(1g61^1.79)

答案462

解析由題意得，

…、kPkP1?

/60)=]+坨61公痂=石孔

279

???左2七=0.465,

o

.0465X400________186

,,為100)=1+lg101^l+lg100+lg1.01

...該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400+62=462.

8.里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：M=lgA—IgA。，其中4是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，

Ao是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000,此時(shí)標(biāo)

準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級(jí)為級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最

大振幅的倍.

答案610000

解析例=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.

設(shè)9級(jí)地震的最大振幅和5級(jí)地震的最大振幅分別為4,A2,則9=lg4—lgAo=lg,則2

=109,

5=lgA2TgAo=lg舞則*=10,所以[not

即9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的10000倍.

9.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)

魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度。(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度武單位:

尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí);o的值為2千克/年；當(dāng)4aW20時(shí)，。是x

的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，。的值為0千克/年.

⑴當(dāng)0<xW20時(shí)，求。關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值.

解（1）由題意得當(dāng)，0<xW4時(shí)，。=2；

當(dāng)4aW20時(shí)，設(shè)v—ax+b（a^0）,

顯然v—ax.-\-b在（4,20］內(nèi)單調(diào)遞減，

20a+b=0,

由已知得

4a+h=2,

所以u(píng)——|x+|,

2,0<xW4,xGN*,

故函數(shù)。=

一4<忘20,x《N*.

'2x,0aW4,xGN”,

（2）設(shè)年生長量為_/u）千克/立方米，依題意并由（I）可得1,5一*

一鏟7^+酒4<xW20,xSN,

當(dāng)0<xW4時(shí)，於）單調(diào)遞增，

故式X）max=A4）=4X2=8；

當(dāng)K20時(shí)，段）=—*+|工=-1（『-20x）=-；（x—10）2+W，y（x）max=y（l0）=125

所以當(dāng)0<xW20時(shí)，大x）的最大值為12.5.

即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米.

10.（2023?保定模擬）某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮（其覆蓋面積為4）,這些鳳眼

蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2,三月底測(cè)得鳳眼蓮

的覆蓋面積為36m2,鳳眼蓮的覆蓋面積y（單位：nf）與月份x（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模

型），=依（攵>0,〃>1）與y=p/+4p>0,Z>0）可供選擇.

⑴試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；

⑵求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù):1g2-0.3010,

1g3^0.4771）

解（1）由題設(shè)可知，兩個(gè)函數(shù)y=生?（fc>0,cA）,y=px^+k（p>0,fc>0）在（0,+8）上均為

增函數(shù)，

￡

隨著x的增大，函數(shù)y=hr”>0,白>1）的值增加得越來越快，而函數(shù)y=p%2+ZQ0,%>（））

的值增加得越來越慢,

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型y=Gf(Q0,〃>1)滿足要求.

叱=24,

由題意可得

履3=36,

解得人興“=|,故該函數(shù)模型的解析式為

y=y-(|)'(xGN)-

(2)當(dāng)x=0時(shí)，>=苧(1)°=苧，

故元旦放入鳳眼蓮的面積為差n?,

由竽⑨>iox苧，即?*>10,

le101

故X>log310=3

g2一1g37g2'

由于~“-T7I—C如45.7,又XGN，故x26.

1g3—lg20.4771—0.3010

因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份.

D綜合提升練

11.生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量P會(huì)按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死

亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為P=(g)(其中a為常數(shù))，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的

一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量

的75%,則可推斷該文物屬于()

參考數(shù)據(jù)：log20.75七一0.4

參考時(shí)間軸：

-475-221-20202206189079601279公元2021年

H——I——I~~I~~I1~~H~~I------------------------

戰(zhàn)國漢唐宋

A.宋B.唐C.漢D.戰(zhàn)國

答案D

1(1V

解析依題意，當(dāng)f=5730時(shí)，而P與死亡年數(shù)［之間的函數(shù)關(guān)系式為尸=不，

573011

1(1\~T~(1^5730(1^5730

則有菱=|向，解得〃=5730,于是得尸J,>0,當(dāng)尸=0.75時(shí)，［萬J=0.75,

所以5730=l°g?0.75=—log2().75^^.今

2

解得F730X0.4=2292,

由2021—2292=-271得，對(duì)應(yīng)時(shí)期為戰(zhàn)國，

所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國.

12.醫(yī)學(xué)家們?yōu)榱私沂舅幬镌谌梭w內(nèi)吸收、排出的規(guī)律，常借助恒速靜脈滴注一室模型來進(jìn)

行描述.在該模型中，人體內(nèi)藥物含量x(單位：mg)與給藥時(shí)間f