專題01勾股定理重難點題型專訓（12大題型15道拓展培優(yōu)）

專題01勾股定理重難點題型專訓（12大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一勾股定理的證明方法題型二以弦圖為背景的計算題題型三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題題型四勾股定理與無理數(shù)題型五勾股樹問題題型六用勾股定理解三角形題型七已知兩點坐標求兩點距離題型八以直角三角形三邊為邊長的圖形面積題型九利用勾股定理求兩條線段的平方和題型十利用勾股定理證明線段平方關(guān)系題型十一勾股定理與網(wǎng)格問題題型十二勾股定理與折疊問題【知識梳理】知識點1勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點2勾股定理證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.【經(jīng)典例題一勾股定理的證明方法】【例1】（2024上·河北石家莊·八年級?？计谀┰趯W習勾股定理時，甲、乙兩位同學給出了不同的方案，可以利用面積驗證勾股定理的是（

）甲：由四個全等的直角三角形按圖1所示的方式拼成一個大正方形乙：如圖2，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作三個正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的幾何證明，掌握數(shù)形集合思想是解題的關(guān)鍵．甲：分別用兩種方法表示大正方形的面積，然后化簡即可判斷；乙：先算出三個正方形的面積，看是否滿足即可判斷．【詳解】解：甲：大正方形的面積可以表示為：或，即；先根據(jù)正方形的面積計算出，即可；所以甲、乙均可驗證．故選A．【變式訓練】1．（2023上·山東淄博·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結(jié)論：①；②；③；④該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的證明；證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；梯形的面積直角三角形的面積兩個直角三角形的面積，，，，故③④正確故選：A．2．（2023下·全國·八年級階段練習）如圖所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面積為25，正方形的面積為1，若用、分別表示直角三角形的兩直角邊，下列三個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（填序號）．【答案】①②③【分析】用含有的代數(shù)式分別表示小正方形及大正方形的邊長，然后根據(jù)面積關(guān)系得出與的關(guān)系式，依次判斷所給關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意可得小正方形的邊長＝1，大正方形的邊長＝5，斜邊2＝大正方形的面積，故①正確；∵小正方形的邊長為1，，故②正確；∵小正方形的面積+四個直角三角形的面積等于大正方形的面積，，，故③正確；，故④不正確．綜上可得①②③正確．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的變形應用等知識，根據(jù)所給圖形，利用面積關(guān)系判斷與的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024上·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．(1)我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請你利用這個圖形說明．(2)業(yè)余數(shù)學愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，，連接，，用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，從而證明勾股定理．請你補充該證明過程．【答案】(1)說明見解析；(2)補充證明見解析．【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，全等三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；（2）先證明，然后分別表示出出梯形，四邊形，的面積，再根據(jù)四邊形的面積四邊形的面積的面積即可求解．【詳解】（1）∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵直角梯形的面積，四邊形的面積，的面積，∵四邊形的面積－四邊形的面積的面積∴，化簡得：．【經(jīng)典例題二以弦圖為背景的計算題】【例2】（2024上·湖北·九年級校考周測）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）所示）．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成的記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，則的值是（）A．32 B．38 C．48 D．108【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應用、全等三角形的性質(zhì)等知識點，準確找到圖中的等量關(guān)系并熟練使用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：八個直角三角形全等，四邊形是正方形，故選：D．【變式訓練】1．（2023上·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖是中國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，分別在，上取點，，使得，得四邊形．若大正方形的邊長為，且，設四邊形的面積為，正方形的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股定理，解方程組，面積的計算．設四個全等的直角三角形的兩直角邊長為，，則由大正方形的邊長為，且，可求出，，再求出，，即可解決問題．【詳解】解：設四個全等的直角三角形的兩直角邊長為，（不妨設，，，正方形的邊長為，，①，，②解①②得：，，或，（舍去），，，，，∴四邊形的面積為，正方形的面積為，∴，故選：D．2．（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中的較短直角邊長為2，中間小正方形的面積為9，則大正方形的邊長為．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】本題考查了以趙爽弦圖為背景的勾股定理，算術(shù)平方根．熟練掌握勾股定理，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．由題意知，小正方形的邊長為，則直角三角形的另外一條直角邊的長度為，根據(jù)大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，利用勾股定理計算求解即可．【詳解】解：由題意知，小正方形的邊長為，∴直角三角形的另外一條直角邊的長度為，由勾股定理得，直角三角形的斜邊長即大正方形的邊長為，故答案為：．3．（2023上·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，在中，，，，．將繞點O依次旋轉(zhuǎn)、和構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標設計的主要依據(jù)．(1)請利用圖1證明勾股定理；(2)請利用圖1說明，并說明等號成立的條件；(3)請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：如圖2，在四邊形中，，．若，則這個四邊形的最大面積為__________．【答案】(1)見解析(2)見解析，(3)【分析】本題考查了勾股定理的證明和以及非負數(shù)的性質(zhì)．（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；（2）利用非負數(shù)的性質(zhì)證明即可；（3）設依題意得，的面積為，利用（2）結(jié)論求得當x，y取何值時，該三角形面積最大以及四邊形最大面積．【詳解】（1）解：因為邊長為c的正方形面積為，它也可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為的小正方形組成的，它的面積為，所以；（2）解：∵，∴，∴，當且僅當時，等號成立；（3）解：設，依題意得，∴的面積為，由（2）的結(jié)論知，∴，∴，當且僅當時，四邊形的面積最大，最大面積是．故答案為：．【經(jīng)典例題三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例3】（2023上·山東青島·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的應用，設繩索的長是x，則，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】設繩索的長是，則，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即繩索的長是，故選：B．【變式訓練】1．（2023上·河南鄭州·八年級校考階段練習）已知是斜邊長為的等腰直角三角形，以的斜邊為直角邊，畫第二個等腰，再以的斜邊為直角邊，畫第三個等腰，，依此類推，第個等腰直角三角形的斜邊長是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在同一個等腰直角三角形中，斜邊長是直角邊長的倍，然后發(fā)現(xiàn)其規(guī)律即可求解．【詳解】解：在同一個等腰直角三角形中，斜邊長是直角邊長的倍，∵第一個等腰直角三角形的斜邊長為，∴第二個等腰直角三角形的斜邊長為，第三個等腰直角三角形的斜邊長為，第四個等腰直角三角形的斜邊長為，以此類推，第個等腰直角三角形的斜邊長為，故選：．【點睛】此題考查了等腰直角三角形的三邊長的數(shù)量關(guān)系，以及找規(guī)律型，解題的關(guān)鍵是熟練等腰直角三角形的直角邊與斜邊長的關(guān)系．2．（2023下·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學著作之一．其中記載了一道“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？譯為：如圖，中，，與的和為尺，為尺，求的長．在這個問題中，可求得的長為尺．【答案】【分析】設，可知，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：設，∵，∴，在中，，∴，即解得：，即，故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．3．（2023上·四川雅安·八年級四川省名山中學?？计谥校颈尘敖榻B】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．【知識運用】（1）如圖，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個村莊的距離為______千米．（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，現(xiàn)要在上建造一個供應站P，使得，請用尺規(guī)作圖在圖中作出P點的位置并求出的距離．（3）【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數(shù)式（其中）最小值為多少？畫圖并寫出解題過程．【答案】（1）50；（2）畫圖見解析，的距離為16千米；（3）畫圖見解析，【分析】本題考查了勾股定理的應用，線段垂直平分線的性質(zhì)與尺規(guī)作圖，軸對稱—最短路線問題等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，作于點E，根據(jù)，得到，，由平行線間的距離處處相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD兩地之間的距離；（2）連接，作的垂直平分線交于P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，點P即為所求；設千米，則千米，分別在和中，利用勾股定理表示出和，然后根據(jù)建立方程，解方程即可；（3）如圖3，，，，，，設，則，然后根據(jù)軸對稱求最短路線的方法求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接，作于點E，∵，，∴，，∴千米，千米，∴千米，∴（千米），即兩個村莊的距離為千米，故答案為：；（2）如圖2，連接，作的垂直平分線交于P，點P即為所求，設千米，則千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，即的距離為16千米；（3）如圖3，，，，，，設，則，由勾股定理得，∴作點C關(guān)于的對稱點F，連接，過點F作于E，則是的最小值，即代數(shù)式的最小值為，∵，，，∴代數(shù)式最小值為：.【經(jīng)典例題四勾股定理與無理數(shù)】【例4】（2023下·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，長方形中，，，在數(shù)軸上，若以點為圓心，的長為半徑作弧交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸上的點，掌握求法是解題的關(guān)鍵．由勾股定理可求，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，由作法得：，；表示的數(shù)為；故選：A．【變式訓練】1．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）如圖，△中，，，邊上的高長為，點在數(shù)軸上，且對應的數(shù)為．以點為圓心，長為半徑作圓弧，交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)是(

)A．1或 B．C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長，結(jié)合數(shù)軸，即可得到答案．【詳解】解：在中，，邊上的高長為，，，點表示的數(shù)為：或，故選：D．2．（2024上·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的，你能找到下面數(shù)軸上的兩個點表示的實數(shù)嗎？（1）如圖，半徑為1個單位長度的圓沿數(shù)軸從實數(shù)對應的點向右滾動一周，圓上的A點恰好與點B重合，則點B對應的實數(shù)是．（2）如圖，數(shù)軸上的點A表示原點，，垂足為D，且，以A為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點C，則點C表示的數(shù)為．【答案】/【分析】本題考查了數(shù)軸與實數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，勾股定理等知識．熟練掌握數(shù)軸與實數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，點A，點B之間的距離為，則點B對應的實數(shù)是；（2）由勾股定理得，，則，點C表示的數(shù)為，計算求解，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，點A，點B之間的距離為，∴點B對應的實數(shù)是，故答案為：；（2）解：由勾股定理得，，∴，∴點C表示的數(shù)為，故答案為：．3．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┤鐖D1，依次連接方格的各條邊中點，得到一個正方形（如圖中的陰影部分），(1)圖1中陰影部分的面積是______，陰影部分正方形的邊長是______；(2)請你利用圖2在的方格內(nèi)作出邊長為的正方形．(3)請在數(shù)軸上作出表示的點【答案】(1)8，(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查勾股定理與網(wǎng)格，勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）由勾股定理可直接求出正方形的邊長是，再根據(jù)正方形面積的計算公式求解即可；（2）根據(jù)直角邊分別為3和1的直角三角形的斜邊為，畫出正方形的四條邊即可；（3）根據(jù)直角邊分別為3和1的直角三角形的斜邊為，再在數(shù)軸負半軸畫出表示的點即可．【詳解】（1）解：陰影部分正方形的邊長是，∴圖1中陰影部分的面積是．故答案為：8，；（2）解：如圖所示正方形即為所作；（3）解：在數(shù)軸上作出表示的點，如圖．【經(jīng)典例題五勾股樹問題】【例5】（2023上·全國·八年級專題練習）如果正整數(shù)滿足等式，那么正整數(shù)叫做勾股數(shù)．某同學將自探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，，，進而得出的值．【詳解】解：由題可得：，，，∴當時，，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023下·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學將自探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（

）abc345861015817241026………x14yA．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，，，進而得出的值．【詳解】解：由題可得，，，，，，，（且n為正整數(shù)）當時，解得：，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．（2023上·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖1，一個邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，面積分別為6和8，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長”下去，第2024次“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．【答案】【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式求出第一個正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖：∵第一個正方形的邊長為a,∴第一個正方形的面積為，由勾股定理得，，∴，即經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和為，∴，即，“生長”第1次后所有正方形的面積和為，同理：“生長”第2次后所有正方形的面積和為，……則“生長”第2024次后所有正方形的面積和為，故答案為：，．3．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市僑誼實驗中學?？计谥校┱n堂上學習了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數(shù)時我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決．若兩直角邊為，斜邊為．(1)請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______；(2)當（為奇數(shù)，且）時，若______，______時可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；(3)當（為偶數(shù)，且）時，若______，______時可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請你尋找當時，______．【答案】(1)60，61(2)(3)，(4)25或52或101或29【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后計算驗證即可；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（3）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方的四分之一減一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后計算驗證即可；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（4）由勾股定理可得：，再根據(jù)勾股定理可得；然后根據(jù)列舉法即可解答；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案為：60，61．（2）解：觀察發(fā)現(xiàn)：當（為奇數(shù)，且）時，則股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為：；證明如下：∵，∴，又∵n為奇數(shù)，且，∴n,三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．（3）解：觀察發(fā)現(xiàn)：當（為偶數(shù)，且）時，則股是勾的平方的四分之一減一，弦是勾的平方的四分之一加一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為：，；證明如下：∵，∴，又∵n為偶數(shù)，且，∴n,，三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．（4）解：由勾股定理可得：，當，則有:，即，當，解得：；當，解得：；當，解得：；當，解得：．綜上，c的值為25或52或101或29．【經(jīng)典例題六用勾股定理解三角形】【例6】（2024上·四川宜賓·九年級統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，連接對角線、，過點作垂直于，且．若，求的面積（

）A．8 B．16 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點作于點，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進而證明為等腰直角三角形，利用勾股定理解得，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖，過點作于點，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴為等腰直角三角形，∵，∴，解得，∴，∴．故選：A．【變式訓練】1．（2024·全國·八年級競賽）如圖，在中，，點是的中點，點在射線上運動，，交直線于，連接．在點運動的過程中，下列結(jié)論：①；②長度的最小值為2；③當點在之間運動時，四邊形的周長和面積保持不變；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的性質(zhì)等知識，連接運用證明即可判斷①；設，則，由勾股定理得，當時，有最小值為，可判斷②；證明，得，因此，由得，所以，是等腰直角三角形，點E變化時，四邊形的周長會發(fā)生變化，故可判斷③；由知，在中，，可得，可判斷④．【詳解】解：①連接，如圖，∵是等腰直角三角形，，D為的中點，∴∴∵∴∵∴∴又∴又∴，∴，故①正確；②設，則，在中，，∴，∵∴當時，有最小值為，故②錯誤；③∵∴又∴,∴，∴，∵，∴，∴∵點E變化時，也會發(fā)生變化，∴四邊形的周長會發(fā)生變化，故③錯誤；④∵，∴在中，，∴，故④正確，∴正確的結(jié)論有2個，故選：B2．（2024上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，．以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點．若，則．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，由作圖得，，，，故答案為：．3．（2024上·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明經(jīng)過組內(nèi)合作交流，得到了如下的解決方法：延長至點，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：①由已知和作圖能得到，依據(jù)是______A．

B．

C．

D．②由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是______．（2）【初步運用】如圖②，是的中線，交于，交于，且，若，，求線段的長．（3）【靈活運用】如圖③，在中，，為中點，，交于點，交于點，連接．若，，求的長度．【答案】（1）①A；②；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)證明，即可求解；②根據(jù)得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，進而即可求解；（2）如圖，延長至，使，連接，證明，，，根據(jù)即可求解；（3）延長到點，使，連接，，證明，得出，，進而得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，等量代換即可求解．【詳解】解：（1）①∵是的中線，∴，在和中，，∴，故答案為：A；②∵，∴，在中，，即，∴；故答案為：；（2）如圖，延長至，使，連接，∵是的中線，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴；（3）延長到點，使，連接，，如圖所示：∵，，∴，∵是的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∵，，在中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，三角形的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七已知兩點坐標求兩點距離】【例7】（2023上·福建福州·八年級校考階段練習）在直角坐標系中，點A、B坐標分別為和，點C是y軸上一個動點，且A、B、C三點不在同一直線上，當?shù)闹荛L最小時，點C坐標可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作點關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點，連接，，過點作軸于點，從而可得的周長為，根據(jù)兩點之間線段最短可得當點與點重合時，的值最小，最小值為，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點，連接，，過點作軸于點，則，，，，的周長為，由兩點之間線段最短可知，當點與點重合時，的值最小，最小值為，，，，，又，，，，即當?shù)闹荛L最小時，點坐標是，故選：D．【點睛】本題考查了點坐標的軸對稱與最短問題、等腰三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間的距離公式等知識點，正確找出當?shù)闹荛L最小時，點的位置是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2021下·廣東廣州·八年級校考期中）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把配方得，得到y(tǒng)就是在x軸上的點到和的距離之和，求得點關(guān)于x軸的對稱點為，連接交x軸于P，則此時，點到和的距離之和最小，即為的長，根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結(jié)論．【詳解】

就是在x軸上的點到和的距離之和，點關(guān)于x軸的對稱點為連接交x軸于點P，則此時，點到和的距離之和最小，即為的長，根據(jù)兩點間的距離公式得：，故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)的最值，兩點間的距離公式，推理出函數(shù)的最值就是的長，是解題的關(guān)鍵．2．（2024上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限內(nèi)且點，連接，在y軸上找一點P，使得是等腰三角形，則符合條件的點P有個．【答案】4【分析】此題考查了等腰三角形的定義，兩點間的距離公式，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．先求出，設點P的坐標為，表示出的長，根據(jù)是等腰三角形分三種情況進行討論：①，②，③，根據(jù)每一種情況求出點P的坐標即可得出符合條件的點P的個數(shù)．【詳解】解：點，，點P在y軸上，設點P的坐標為，，又是等腰三角形，有三種情況：①當時，則，整理得：，，由，解得，此時點P與原點O重合，故不合題意，舍去，由，解得：，此時點P的坐標為；②當時，則，解得：，或，此時點P的坐標為或；③當時，則，整理得：，解得：，此時點P的坐標為．綜上所述：符合條件的點P有4個，其坐標分別是或或或．故答案為：4．3．（2024上·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下列一段文字，再回答問題．已知平面內(nèi)兩點，這兩點間的距離．同時，當兩點所在的直線在坐標軸上或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間的距離公式可簡化為或．(1)已知點，，試求A，B兩點間的距離；(2)已知點A，B所在的直線平行于y軸，點B的縱坐標為2，A，B兩點間的距離為4，求點A的縱坐標；(3)已知△ABC各頂點的坐標分別為，，，你能判斷的形狀嗎？說明理由．【答案】(1)A，B兩點間的距離為13(2)A的縱坐標為6或(3)為等腰直角三角形【分析】本題考查兩點間的距離公式及勾股定理，熟記以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用兩點間的距離公式計算；（2）由于橫坐標相同，所以、兩點間的距離等于縱坐標差的絕對值；（3）先根據(jù)兩點間的距離公式計算出、、，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷．【詳解】（1），即A，B兩點間的距離為13．（2）∵點A，B所在的直線平行于y軸，點B的縱坐標為2，A，B兩點間的距離為4，∴A的縱坐標為或者．即點A的縱坐標為6或．（3）為等腰直角三角形．理由如下：∵，，，∴，且∴為等腰直角三角形．【經(jīng)典例題八以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】【例8】（2024·全國·八年級競賽）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑的三個半圓的面積從小到大依次為，則之間的關(guān)系正確的是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應用、圓的面積等知識，由勾股定理表示出三邊的關(guān)系，表示出三個半圓的面積即可得出答案，熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設直角三角形的三邊分別為，則三個半圓的半徑分別為由勾股定理得：即故選：．【變式訓練】1．（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．若已知，則的值為（

）A．18 B．24 C．25 D．36【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．過F作于D，先證明得到，再證明，得到，進一步證明，，則可證明，由此求解即可．【詳解】解：過F作于D，連接，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可證，∴．由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，又，∴四邊形是長方形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∴．故選：A．2．（2023上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正三角形、、，圖中四塊陰影部分的面積分別為，，，，求．【答案】6【分析】本題考查勾股定理的知識，將勾股定理和等邊三角形的面積公式進行靈活的結(jié)合和應用是解題的關(guān)鍵．過點E作于點G，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可求，，，從而可得出，然后結(jié)合圖形把轉(zhuǎn)化為即可求解．【詳解】解：如圖，過點E作于點G，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，同理，，∵，∴，∴，由圖可知：．故答案為：6．3．（2023上·江西·八年級期末）如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點A停止，速度為，設運動時間為t．(1)如圖（1），當時，的面積等于面積的一半；(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點Q的運動速度．【答案】(1)或(2)或【分析】本題主要考查直角三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，（1）分兩種情況進行解答，①當點P在上時，②當點P在上時，分別畫出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點P移動的距離，從而求出時間即可；（2）由，可得對應頂點為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進行解答，①當點P在上；②當點P在上，，，分別求出P移動的距離和時間，進而求出Q的移動速度．【詳解】（1）解：①當點P在上時，如圖，若的面積等于面積的一半，則，此時，點P移動的距離為，移動的時間為：秒；②當點P在上時，如圖若的面積等于面積的一半，則，即點P為中點，此時，點P移動的距離為，移動的時間為：秒，故答案為：或；（2），即對應頂點為A與D，P與E，Q與F；①當點P在上，如圖所示：此時，，，∴點Q移動的速度為，②當點P在上，如圖所示：此時，，，即，點P移動的距離為，點Q移動的距離為，∴點Q移動的速度為，綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好，點Q的運動速度為或．【經(jīng)典例題九利用勾股定理求兩條線段的平方和】【例9】（2022上·福建福州·八年級校考期末）在中，，，，的對邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．【變式訓練】1．（2021上·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，，三個內(nèi)角的平分線交于點，則點到的距離為（）A．1cm B．2cm C．cm D．cm【答案】B【分析】由勾股定理解得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，過點，分別作三邊的垂線段，繼而證明，，，由全等三角形對應邊相等的性質(zhì)得到，，即可證明，最后利用三角形面積公式及等積法解題即可求得的值．【詳解】解：在中，，，，是中三個內(nèi)角的平分線的交點，過點，分別作三邊的垂線段，如圖，在與中，同理得，，又故選：B．【點睛】本題考查勾股定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式及等積法等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2022下·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，以AC、BC為直徑作半圓S1和S2，且，則AB的長為．【答案】4【分析】由勾股定理得，解得，結(jié)合計算解答即可．【詳解】解：由勾股定理得，∴故答案為：4．【點睛】本題考查勾股定理、半圓面積的求法等知識，是基礎考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2023上·廣東深圳·八年級深圳市高級中學?？计谥校?1)如圖1，四邊形的對角線于點．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，交點為．①判斷，的關(guān)系，并說明理由．②連接．若，，請直接寫出的長．【答案】(1)，理由見解析；(2)①，，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，同理求出即可求解；（2）①證明即可得到；進而得到，②在四邊形中，根據(jù)（1）求得的結(jié)論即可求出的長．【詳解】解：（1）∵，∴，∴在中，，在中，，在中，，在中，，∴，即；（2）①∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，綜上，，；②解析：在四邊形中，，由（1）知∵，，∴∴，∴，∴．圖2【點睛】本題考查勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】【例10】（2023上·浙江·八年級期末）如圖，在中，，，與相交于點P，于Q．則與的關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點的綜合運用能力，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴是等邊三角形．∴∵∴（SAS），∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴，∴∴故選：B．【變式訓練】1．（2023下·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點A在的斜邊上．下列結(jié)論：其中正確的有（

）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由和都是等腰直角三角形，可證，根據(jù)得證.①正確；由全等得，，，于是，可證，從而．故②正確；中，，于是；④正確；由的頂點A在的斜邊上，得，從而，故③錯誤．【詳解】解∵和都是等腰直角三角形，∴,，.∴.∴.①正確；∴，，．∴；∵，∴．∵，∴．故②正確；中，而∴；④正確；∵的頂點A在的斜邊上，∴．而∴，故③錯誤．故選：C【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短；由全等三角形得到線段相等，角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學校聯(lián)考期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則．【答案】17【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵，由勾股定理得，故答案為：17．【點睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）（1）如圖①，在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍是（提示：延長到點，使，連接）；（2）如圖②，在中，，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，求證；（3）如圖③，在中，點，分別是邊，的中點，連接，求證．（簡述解題思路即可）【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【分析】（1）如圖①所示，延長到點，使，連接，先證明，得到，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）如圖②所示，延長到點，使，連接，，先證明，得到，，進而證得，由勾股定理得，再證，即可證得結(jié)論；（3）如圖③所示，延長到點，使，連接，，證明，得到，，再證明，得到，即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①所示，延長到點，使，連接，在和中，，，，，即，，故答案為：．（2）證明：延長到點，使，連接，，如圖②，是邊上的中點，，又，，，，，，，，，，，垂直平分，，．（3）證明：延長到點，使，連接，，如圖③，，，，，，，，，，又，，，又，．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，合理添加輔助線，利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一勾股定理與網(wǎng)格問題】【例11】（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點，，均在格點上．若于點，則線段的長為（

）A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出的長，再利用等面積法得出的長．【詳解】解：由圖可知：，，∵，

∴，解得：．故選：D．【變式訓練】1．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┤鐖D，將放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么中邊上的高的長度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求得，由割補法求得，設中邊上的高的長度是，利用三角形面積公式列方程求解即可．【詳解】解：由題意可知，，，設中邊上的高的長度是，，，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，割補法求面積，一元一次方程的應用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇淮安·八年級?？茧A段練習）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個小正方形的邊長為1），點A、B、C、D均為格點，給出下列四個命題：①點B到點C的最短距離為；②點A到直線的距離為．③直線所交的銳角為；④四邊形的面積為11．其中，所有正確命題的序號為.

（填序號）【答案】①③/③①【分析】本題考查的是勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，利用網(wǎng)格求三角形面積，①利用勾股定理求解可得結(jié)論；②構(gòu)造，利用面積法求解即可；③平移線段到，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可；④利用分割法求面積，可得結(jié)論．【詳解】解：由圖可知點B到點C的最短距離為，故①正確；如圖，取格點E，連接，，則C，D，F(xiàn)，E共線，過點A作于點H，，，故②錯誤；取格點J，連接，，則，是等腰直角三角形，，直線，所交的銳角為，故③正確，，故④錯誤，故答案為：①③．3．（2024上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，請僅用無刻度直尺完成下列作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示．圖中的點A、B、C、P、Q在格點上，其中．(1)在圖1中先作線段且，然后作的高；(2)在圖2中作的角平分線；(3)在圖3中的直線上找一點，使．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）取格點D，連接，則且，取格點F，連接交于點E，則為的高；（2）取格點E，構(gòu)造等腰三角形求解即可；（3）取格點E，F(xiàn)，連接交于點M，連接，由方格紙的特點可知分別垂直平分，，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可知點M即為所求．【詳解】（1）如圖，（2）如圖，即為所求，（3）點M即為所求．【點睛】本體考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，對頂角相等知識，熟練掌握方格紙的特點是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十二勾股定理與折疊問題】【例12】（2024上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，三角形紙片中，．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與的交點為E，則的長是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，進而得到；設，則，根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊上的點D處，∴，∵折疊紙片，使點C與點D重合，，∵，∴，∴，即：，∴，設，∴，解得：，即．故選D．【變式訓練】1．（2023上·江蘇連云港·八年級期末）如圖，等腰直角三角形中，，點M，N在邊上，且，若，則的長為（）．A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，把沿翻折至，連接，則，，，，再證明得到，，接著證明，則，．【詳解】解：把沿翻折至，連接，∴，，，，又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，在中，，，故選：C．2．（2024上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長方形紙片中，，，如圖所示折疊紙片，使點落在邊上的處，折痕為，此時的長為【答案】/【分析】本題考查折疊的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)折疊前后對應邊相等可得，，利用勾股定理解求出，設，則，再利用勾股定理解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，，由長方形的性質(zhì)可得，，，在中，由勾股定理得，，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即的長為，故答案為：．3．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，點落在點處，交于點，重合部分是，，點是對角線上一點，于點，于點．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的值；(3)若．求的面積．【答案】(1)證明詳見解析；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，即可證明出是等腰三角形；（2）連接，根據(jù)代數(shù)求解即可；（3）設，則，，在中根據(jù)勾股定理求出，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：把一張長方形紙片沿對角線折疊，點落在點處，又長方形，，，是等腰三角形（2）如圖所示，連接，，（3）設，則，在中，由勾股定理可知：，，．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定定理．【拓展培優(yōu)】1．（2024上·重慶大渡口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將長方形放置于平面直角坐標系中，點與原點重合，點分別在軸和軸上，點，連接，并將沿翻折至長方形所在平面，點的對稱點為點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查軸對稱，勾股定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)．設與交點為點D，過點E作軸于點F，由可得，，由長方形與折疊的性質(zhì)可得，從而，設，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，代入即可解得，根據(jù)的面積可求得，進而在中，根據(jù)勾股定理可求得，結(jié)合點E的位置可得點E的坐標．【詳解】設與交點為點D，過點E作軸于點F，∵，∴，，∵在長方形中，，∴，∵由折疊有，∴，∴，設，則，，∵在長方形中，，∴在中，，即，解得，∴，由折疊可得，∴，∵或，∴，即，∴，∵軸，∴在中，，∴點E的坐標為．故選：A．2．（2024上·河北衡水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點是上一動點（D與點不重合），連接，作關(guān)于直線的對稱點，當點在的下方時，連接、，則面積的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查軸對稱性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理，根據(jù)軸對稱性質(zhì)和勾股定理得，，當時，點A到的距離最小，則E到的距離最大，此時面積的最大，如圖，過A作于H，先根據(jù)三角形的等面積求得，進而求得即可求解．【詳解】解：連接，∵關(guān)于直線的對稱點，，∴，在中，，，，∴，∵點在的下方，∴當時，點A到的距離最小，則E到的距離最大，此時面積的最大，如圖，過A作于H，∵，∴，∴，∴面積的最大值為，故選：B．3．（2024上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，以的各邊為邊作三個正方形，點落在上，若，空白部分面積為10，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，完全平方公式，關(guān)鍵是由，得到四邊形的面積的面積．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，的面積的面積，四邊形的面積的面積，空白部分的面積正方形的面積的面積，①，，，，，②，由①和②得，（舍去負值）．故選：A．4．（2024上·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，，，與交于點P，則點B到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了點到直線的距離，勾股定理，等腰三角形的判定．設點B到的距離為h，證，得，再由勾股定理得，然后由三角形面積求出即可．【詳解】設點B到的距離為h，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即點B到的距離為，故選：C．5．（2024上·四川宜賓·九年級統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，連接對角線、，過點作垂直于，且．若，求的面積（

）A．8 B．16 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點作于點，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進而證明為等腰直角三角形，利用勾股定理解得，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖，過點作于點，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴為等腰直角三角形，∵，∴，解得，∴，∴．故選：A．6．（2024上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，以Rt的兩邊為邊向外所作正方形的面積分別是，則以另一邊為直徑向外作半圓的面積為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，正方形的面積公式，根據(jù)題意得出的值，再根據(jù)半圓面積公式求解即可．【詳解】解：以的兩邊，為邊向外所作正方形的面積分別是，，，，以另一邊為直徑向外作半圓的面積為，故答案為：．7．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長方形中，．在上找一點E，把沿折疊，使D點恰好落在上，設這一點為F，則．【答案】3【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)解答；由長方形的性質(zhì)推出，，由折疊的性質(zhì)得到：，，由勾股定理求出，得到．【詳解】解：∵四邊形是長方形，由折疊的性質(zhì)得到：，故答案為：3．8．（2024·全國·八年級競賽）已知實數(shù)，且，則代數(shù)式的最小值為．【答案】5【分析】本題考查利用軸對稱求最短路線的問題，解題關(guān)鍵是將求代數(shù)式的最小值巧妙地轉(zhuǎn)化成幾何問題．根據(jù)題意構(gòu)造三角形，然后利用軸對稱的性質(zhì)求最短距離．【詳解】作圖如下所示，作，，，設，，，在上取一點F，將分為和，設，，，，，過C作關(guān)于對稱點E，使得，連交于F，，最短，代數(shù)式的最小值的最小值，過E作交延長線于G,四邊形為矩形，，，，在中，故答案為：59．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校考期末）如圖，中，，點在邊上，，若，則長為．【答案】【分析】將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，、，過點F作于點G，證明，得出，，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，，證明，得出．【詳解】解：將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，、，過點F作于點G，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，證明，．10．（2024上·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學附屬初中?？计谀┤鐖D，在中，，，P是邊上的動點，過點P畫直線截，使截得的一個三角形是等腰三角形，且A，P是其頂點．若過點P可畫出滿足條件的直線恰有3條，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定，解答的關(guān)鍵是根據(jù)條件分三種