專題01勾股定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（12大題型15道拓展培優(yōu)）

專題01勾股定理重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（12大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一勾股定理的證明方法題型二以弦圖為背景的計(jì)算題題型三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題題型四勾股定理與無理數(shù)題型五勾股樹問題題型六用勾股定理解三角形題型七已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離題型八以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積題型九利用勾股定理求兩條線段的平方和題型十利用勾股定理證明線段平方關(guān)系題型十一勾股定理與網(wǎng)格問題題型十二勾股定理與折疊問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段知識(shí)點(diǎn)2勾股定理證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【經(jīng)典例題一勾股定理的證明方法】【例1】（2024上·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┰趯W(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出了不同的方案，可以利用面積驗(yàn)證勾股定理的是（

）甲：由四個(gè)全等的直角三角形按圖1所示的方式拼成一個(gè)大正方形乙：如圖2，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作三個(gè)正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的幾何證明，掌握數(shù)形集合思想是解題的關(guān)鍵．甲：分別用兩種方法表示大正方形的面積，然后化簡(jiǎn)即可判斷；乙：先算出三個(gè)正方形的面積，看是否滿足即可判斷．【詳解】解：甲：大正方形的面積可以表示為：或，即；先根據(jù)正方形的面積計(jì)算出，即可；所以甲、乙均可驗(yàn)證．故選A．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東淄博·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③；④該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的證明；證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，．再由圖形的面積逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；梯形的面積直角三角形的面積兩個(gè)直角三角形的面積，，，，故③④正確故選：A．2．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面積為25，正方形的面積為1，若用、分別表示直角三角形的兩直角邊，下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】用含有的代數(shù)式分別表示小正方形及大正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積關(guān)系得出與的關(guān)系式，依次判斷所給關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意可得小正方形的邊長(zhǎng)＝1，大正方形的邊長(zhǎng)＝5，斜邊2＝大正方形的面積，故①正確；∵小正方形的邊長(zhǎng)為1，，故②正確；∵小正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積，，，故③正確；，故④不正確．綜上可得①②③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的變形應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)所給圖形，利用面積關(guān)系判斷與的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．(1)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，，，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說明．(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的和按如圖2所示的方式放置，，，，，連接，，用a，b，c分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，從而證明勾股定理．請(qǐng)你補(bǔ)充該證明過程．【答案】(1)說明見解析；(2)補(bǔ)充證明見解析．【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，全等三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式；（2）先證明，然后分別表示出出梯形，四邊形，的面積，再根據(jù)四邊形的面積四邊形的面積的面積即可求解．【詳解】（1）∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵直角梯形的面積，四邊形的面積，的面積，∵四邊形的面積－四邊形的面積的面積∴，化簡(jiǎn)得：．【經(jīng)典例題二以弦圖為背景的計(jì)算題】【例2】（2024上·湖北·九年級(jí)?？贾軠y(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）所示）．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，則的值是（）A．32 B．38 C．48 D．108【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確找到圖中的等量關(guān)系并熟練使用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：八個(gè)直角三角形全等，四邊形是正方形，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，分別在，上取點(diǎn)，，使得，得四邊形．若大正方形的邊長(zhǎng)為，且，設(shè)四邊形的面積為，正方形的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股定理，解方程組，面積的計(jì)算．設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為，，則由大正方形的邊長(zhǎng)為，且，可求出，，再求出，，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為，（不妨設(shè)，，，正方形的邊長(zhǎng)為，，①，，②解①②得：，，或，（舍去），，，，，∴四邊形的面積為，正方形的面積為，∴，故選：D．2．（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中的較短直角邊長(zhǎng)為2，中間小正方形的面積為9，則大正方形的邊長(zhǎng)為．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查了以趙爽弦圖為背景的勾股定理，算術(shù)平方根．熟練掌握勾股定理，算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．由題意知，小正方形的邊長(zhǎng)為，則直角三角形的另外一條直角邊的長(zhǎng)度為，根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)為直角三角形的斜邊長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，小正方形的邊長(zhǎng)為，∴直角三角形的另外一條直角邊的長(zhǎng)度為，由勾股定理得，直角三角形的斜邊長(zhǎng)即大正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．3．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在中，，，，．將繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)、和構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．(1)請(qǐng)利用圖1證明勾股定理；(2)請(qǐng)利用圖1說明，并說明等號(hào)成立的條件；(3)請(qǐng)根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：如圖2，在四邊形中，，．若，則這個(gè)四邊形的最大面積為__________．【答案】(1)見解析(2)見解析，(3)【分析】本題考查了勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式；（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可；（3）設(shè)依題意得，的面積為，利用（2）結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時(shí)，該三角形面積最大以及四邊形最大面積．【詳解】（1）解：因?yàn)檫呴L(zhǎng)為c的正方形面積為，它也可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形組成的，它的面積為，所以；（2）解：∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；（3）解：設(shè)，依題意得，∴的面積為，由（2）的結(jié)論知，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大面積是．故答案為：．【經(jīng)典例題三用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例3】（2023上·山東青島·八年級(jí)校考期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)繩索的長(zhǎng)是x，則，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】設(shè)繩索的長(zhǎng)是，則，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即繩索的長(zhǎng)是，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，以的斜邊為直角邊，畫第二個(gè)等腰，再以的斜邊為直角邊，畫第三個(gè)等腰，，依此類推，第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在同一個(gè)等腰直角三角形中，斜邊長(zhǎng)是直角邊長(zhǎng)的倍，然后發(fā)現(xiàn)其規(guī)律即可求解．【詳解】解：在同一個(gè)等腰直角三角形中，斜邊長(zhǎng)是直角邊長(zhǎng)的倍，∵第一個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，∴第二個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，第三個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，第四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，以此類推，第個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，以及找規(guī)律型，解題的關(guān)鍵是熟練等腰直角三角形的直角邊與斜邊長(zhǎng)的關(guān)系．2．（2023下·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作之一．其中記載了一道“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？譯為：如圖，中，，與的和為尺，為尺，求的長(zhǎng)．在這個(gè)問題中，可求得的長(zhǎng)為尺．【答案】【分析】設(shè)，可知，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，在中，，∴，即解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3．（2023上·四川雅安·八年級(jí)四川省名山中學(xué)?？计谥校颈尘敖榻B】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為______千米．（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，現(xiàn)要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖中作出P點(diǎn)的位置并求出的距離．（3）【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數(shù)式（其中）最小值為多少？畫圖并寫出解題過程．【答案】（1）50；（2）畫圖見解析，的距離為16千米；（3）畫圖見解析，【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，線段垂直平分線的性質(zhì)與尺規(guī)作圖，軸對(duì)稱—最短路線問題等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，作于點(diǎn)E，根據(jù)，得到，，由平行線間的距離處處相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD兩地之間的距離；（2）連接，作的垂直平分線交于P，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)P即為所求；設(shè)千米，則千米，分別在和中，利用勾股定理表示出和，然后根據(jù)建立方程，解方程即可；（3）如圖3，，，，，，設(shè)，則，然后根據(jù)軸對(duì)稱求最短路線的方法求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接，作于點(diǎn)E，∵，，∴，，∴千米，千米，∴千米，∴（千米），即兩個(gè)村莊的距離為千米，故答案為：；（2）如圖2，連接，作的垂直平分線交于P，點(diǎn)P即為所求，設(shè)千米，則千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，即的距離為16千米；（3）如圖3，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得，∴作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)F作于E，則是的最小值，即代數(shù)式的最小值為，∵，，，∴代數(shù)式最小值為：.【經(jīng)典例題四勾股定理與無理數(shù)】【例4】（2023下·廣東廣州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)，掌握求法是解題的關(guān)鍵．由勾股定理可求，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，由作法得：，；表示的數(shù)為；故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△中，，，邊上的高長(zhǎng)為，點(diǎn)在數(shù)軸上，且對(duì)應(yīng)的數(shù)為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是(

)A．1或 B．C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，結(jié)合數(shù)軸，即可得到答案．【詳解】解：在中，，邊上的高長(zhǎng)為，，，點(diǎn)表示的數(shù)為：或，故選：D．2．（2024上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，你能找到下面數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)嗎？（1）如圖，半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓沿?cái)?shù)軸從實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右滾動(dòng)一周，圓上的A點(diǎn)恰好與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是．（2）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示原點(diǎn)，，垂足為D，且，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C表示的數(shù)為．【答案】/【分析】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握數(shù)軸與實(shí)數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，點(diǎn)A，點(diǎn)B之間的距離為，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是；（2）由勾股定理得，，則，點(diǎn)C表示的數(shù)為，計(jì)算求解，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，點(diǎn)A，點(diǎn)B之間的距離為，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是，故答案為：；（2）解：由勾股定理得，，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為，故答案為：．3．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，依次連接方格的各條邊中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形（如圖中的陰影部分），(1)圖1中陰影部分的面積是______，陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是______；(2)請(qǐng)你利用圖2在的方格內(nèi)作出邊長(zhǎng)為的正方形．(3)請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上作出表示的點(diǎn)【答案】(1)8，(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查勾股定理與網(wǎng)格，勾股定理與無理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）由勾股定理可直接求出正方形的邊長(zhǎng)是，再根據(jù)正方形面積的計(jì)算公式求解即可；（2）根據(jù)直角邊分別為3和1的直角三角形的斜邊為，畫出正方形的四條邊即可；（3）根據(jù)直角邊分別為3和1的直角三角形的斜邊為，再在數(shù)軸負(fù)半軸畫出表示的點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是，∴圖1中陰影部分的面積是．故答案為：8，；（2）解：如圖所示正方形即為所作；（3）解：在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)，如圖．【經(jīng)典例題五勾股樹問題】【例5】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如果正整數(shù)滿足等式，那么正整數(shù)叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，，，進(jìn)而得出的值．【詳解】解：由題可得：，，，∴當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（

）abc345861015817241026………x14yA．67 B．34 C．98 D．73【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，，，進(jìn)而得出的值．【詳解】解：由題可得，，，，，，，（且n為正整數(shù)）當(dāng)時(shí)，解得：，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．（2023上·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長(zhǎng)”過程：如圖1，一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，面積分別為6和8，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，第2024次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．【答案】【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識(shí)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積公式求出第一個(gè)正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可．【詳解】解：如圖：∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a,∴第一個(gè)正方形的面積為，由勾股定理得，，∴，即經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和為，∴，即，“生長(zhǎng)”第1次后所有正方形的面積和為，同理：“生長(zhǎng)”第2次后所有正方形的面積和為，……則“生長(zhǎng)”第2024次后所有正方形的面積和為，故答案為：，．3．（2023上·江蘇無錫·八年級(jí)無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┱n堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長(zhǎng)是整數(shù)時(shí)我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決．若兩直角邊為，斜邊為．(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______；(2)當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；(3)當(dāng)（為偶數(shù)，且）時(shí)，若______，______時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(4)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)時(shí)，______．【答案】(1)60，61(2)(3)，(4)25或52或101或29【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后計(jì)算驗(yàn)證即可；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（3）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方的四分之一減一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后計(jì)算驗(yàn)證即可；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵；（4）由勾股定理可得：，再根據(jù)勾股定理可得；然后根據(jù)列舉法即可解答；發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案為：60，61．（2）解：觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（為奇數(shù)，且）時(shí)，則股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)分別為：；證明如下：∵，∴，又∵n為奇數(shù)，且，∴n,三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．（3）解：觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（為偶數(shù)，且）時(shí)，則股是勾的平方的四分之一減一，弦是勾的平方的四分之一加一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)分別為：，；證明如下：∵，∴，又∵n為偶數(shù)，且，∴n,，三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．（4）解：由勾股定理可得：，當(dāng)，則有:，即，當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：．綜上，c的值為25或52或101或29．【經(jīng)典例題六用勾股定理解三角形】【例6】（2024上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，連接對(duì)角線、，過點(diǎn)作垂直于，且．若，求的面積（

）A．8 B．16 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明為等腰直角三角形，利用勾股定理解得，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴為等腰直角三角形，∵，∴，解得，∴，∴．故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，交直線于，連接．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論：①；②長(zhǎng)度的最小值為2；③當(dāng)點(diǎn)在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)和面積保持不變；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，連接運(yùn)用證明即可判斷①；設(shè)，則，由勾股定理得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，可判斷②；證明，得，因此，由得，所以，是等腰直角三角形，點(diǎn)E變化時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化，故可判斷③；由知，在中，，可得，可判斷④．【詳解】解：①連接，如圖，∵是等腰直角三角形，，D為的中點(diǎn)，∴∴∵∴∵∴∴又∴又∴，∴，故①正確；②設(shè)，則，在中，，∴，∵∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，故②錯(cuò)誤；③∵∴又∴,∴，∴，∵，∴，∴∵點(diǎn)E變化時(shí)，也會(huì)發(fā)生變化，∴四邊形的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化，故③錯(cuò)誤；④∵，∴在中，，∴，故④正確，∴正確的結(jié)論有2個(gè)，故選：B2．（2024上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，由作圖得，，，，故答案為：．3．（2024上·四川樂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）【問題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明經(jīng)過組內(nèi)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：①由已知和作圖能得到，依據(jù)是______A．

B．

C．

D．②由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是______．（2）【初步運(yùn)用】如圖②，是的中線，交于，交于，且，若，，求線段的長(zhǎng)．（3）【靈活運(yùn)用】如圖③，在中，，為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）①A；②；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)證明，即可求解；②根據(jù)得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，進(jìn)而即可求解；（2）如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，證明，，，根據(jù)即可求解；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，證明，得出，，進(jìn)而得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，等量代換即可求解．【詳解】解：（1）①∵是的中線，∴，在和中，，∴，故答案為：A；②∵，∴，在中，，即，∴；故答案為：；（2）如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵是的中線，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，如圖所示：∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∵，，在中，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，三角形的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離】【例7】（2023上·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為和，點(diǎn)C是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，從而可得的周長(zhǎng)為，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，的周長(zhǎng)為，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值為，，，，，又，，，，即當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的軸對(duì)稱與最短問題、等腰三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，正確找出當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021下·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把配方得，得到y(tǒng)就是在x軸上的點(diǎn)到和的距離之和，求得點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交x軸于P，則此時(shí)，點(diǎn)到和的距離之和最小，即為的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論．【詳解】

就是在x軸上的點(diǎn)到和的距離之和，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為連接交x軸于點(diǎn)P，則此時(shí)，點(diǎn)到和的距離之和最小，即為的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值，兩點(diǎn)間的距離公式，推理出函數(shù)的最值就是的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．2．（2024上·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)且點(diǎn)，連接，在y軸上找一點(diǎn)P，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有個(gè)．【答案】4【分析】此題考查了等腰三角形的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．先求出，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)是等腰三角形分三種情況進(jìn)行討論：①，②，③，根據(jù)每一種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．【詳解】解：點(diǎn)，，點(diǎn)P在y軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，又是等腰三角形，有三種情況：①當(dāng)時(shí)，則，整理得：，，由，解得，此時(shí)點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合，故不合題意，舍去，由，解得：，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，則，解得：，或，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；③當(dāng)時(shí)，則，整理得：，解得：，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述：符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，其坐標(biāo)分別是或或或．故答案為：4．3．（2024上·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列一段文字，再回答問題．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離．同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為或．(1)已知點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)A，B所在的直線平行于y軸，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，A，B兩點(diǎn)間的距離為4，求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；(3)已知△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，你能判斷的形狀嗎？說明理由．【答案】(1)A，B兩點(diǎn)間的距離為13(2)A的縱坐標(biāo)為6或(3)為等腰直角三角形【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式及勾股定理，熟記以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算；（2）由于橫坐標(biāo)相同，所以、兩點(diǎn)間的距離等于縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值；（3）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出、、，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【詳解】（1），即A，B兩點(diǎn)間的距離為13．（2）∵點(diǎn)A，B所在的直線平行于y軸，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，A，B兩點(diǎn)間的距離為4，∴A的縱坐標(biāo)為或者．即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6或．（3）為等腰直角三角形．理由如下：∵，，，∴，且∴為等腰直角三角形．【經(jīng)典例題八以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】【例8】（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑的三個(gè)半圓的面積從小到大依次為，則之間的關(guān)系正確的是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、圓的面積等知識(shí)，由勾股定理表示出三邊的關(guān)系，表示出三個(gè)半圓的面積即可得出答案，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)直角三角形的三邊分別為，則三個(gè)半圓的半徑分別為由勾股定理得：即故選：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．若已知，則的值為（

）A．18 B．24 C．25 D．36【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．過F作于D，先證明得到，再證明，得到，進(jìn)一步證明，，則可證明，由此求解即可．【詳解】解：過F作于D，連接，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可證，∴．由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，又，∴四邊形是長(zhǎng)方形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，，∴，∵，∴，∴．故選：A．2．（2023上·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正三角形、、，圖中四塊陰影部分的面積分別為，，，，求．【答案】6【分析】本題考查勾股定理的知識(shí)，將勾股定理和等邊三角形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可求，，，從而可得出，然后結(jié)合圖形把轉(zhuǎn)化為即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，同理，，∵，∴，∴，由圖可知：．故答案為：6．3．（2023上·江西·八年級(jí)期末）如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)如圖（1），當(dāng)時(shí)，的面積等于面積的一半；(2)如圖（2），在中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】(1)或(2)或【分析】本題主要考查直角三角形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，（1）分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，分別畫出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，從而求出時(shí)間即可；（2）由，可得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在上；②當(dāng)點(diǎn)P在上，，，分別求出P移動(dòng)的距離和時(shí)間，進(jìn)而求出Q的移動(dòng)速度．【詳解】（1）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，如圖，若的面積等于面積的一半，則，此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為，移動(dòng)的時(shí)間為：秒；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，如圖若的面積等于面積的一半，則，即點(diǎn)P為中點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為，移動(dòng)的時(shí)間為：秒，故答案為：或；（2），即對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；①當(dāng)點(diǎn)P在上，如圖所示：此時(shí)，，，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為，②當(dāng)點(diǎn)P在上，如圖所示：此時(shí)，，，即，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為，點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為，綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為或．【經(jīng)典例題九利用勾股定理求兩條線段的平方和】【例9】（2022上·福建福州·八年級(jí)?？计谀┰谥校?，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．【變式訓(xùn)練】1．（2021上·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為（）A．1cm B．2cm C．cm D．cm【答案】B【分析】由勾股定理解得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，過點(diǎn)，分別作三邊的垂線段，繼而證明，，，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到，，即可證明，最后利用三角形面積公式及等積法解題即可求得的值．【詳解】解：在中，，，，是中三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作三邊的垂線段，如圖，在與中，同理得，，又故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式及等積法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2022下·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，以AC、BC為直徑作半圓S1和S2，且，則AB的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】由勾股定理得，解得，結(jié)合計(jì)算解答即可．【詳解】解：由勾股定理得，∴故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、半圓面積的求法等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谥校?1)如圖1，四邊形的對(duì)角線于點(diǎn)．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，交點(diǎn)為．①判斷，的關(guān)系，并說明理由．②連接．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見解析；(2)①，，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，同理求出即可求解；（2）①證明即可得到；進(jìn)而得到，②在四邊形中，根據(jù)（1）求得的結(jié)論即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，∴，∴在中，，在中，，在中，，在中，，∴，即；（2）①∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，綜上，，；②解析：在四邊形中，，由（1）知∵，，∴∴，∴，∴．圖2【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】【例10】（2023上·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)P，于Q．則與的關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴是等邊三角形．∴∵∴（SAS），∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴，∴∴故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點(diǎn)A在的斜邊上．下列結(jié)論：其中正確的有（

）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由和都是等腰直角三角形，可證，根據(jù)得證.①正確；由全等得，，，于是，可證，從而．故②正確；中，，于是；④正確；由的頂點(diǎn)A在的斜邊上，得，從而，故③錯(cuò)誤．【詳解】解∵和都是等腰直角三角形，∴,，.∴.∴.①正確；∴，，．∴；∵，∴．∵，∴．故②正確；中，而∴；④正確；∵的頂點(diǎn)A在的斜邊上，∴．而∴，故③錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短；由全等三角形得到線段相等，角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校聯(lián)考期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則．【答案】17【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵，由勾股定理得，故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖①，在中，，，為邊上的中線，則的取值范圍是（提示：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接）；（2）如圖②，在中，，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證；（3）如圖③，在中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接，求證．（簡(jiǎn)述解題思路即可）【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【分析】（1）如圖①所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，得到，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證得結(jié)論；（2）如圖②所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，先證明，得到，，進(jìn)而證得，由勾股定理得，再證，即可證得結(jié)論；（3）如圖③所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，證明，得到，，再證明，得到，即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，即，，故答案為：．（2）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，如圖②，是邊上的中點(diǎn)，，又，，，，，，，，，，，垂直平分，，．（3）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，如圖③，，，，，，，，，，又，，，又，．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，合理添加輔助線，利用“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十一勾股定理與網(wǎng)格問題】【例11】（2023上·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用等面積法得出的長(zhǎng)．【詳解】解：由圖可知：，，∵，

∴，解得：．故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，將放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么中邊上的高的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由勾股定理求得，由割補(bǔ)法求得，設(shè)中邊上的高的長(zhǎng)度是，利用三角形面積公式列方程求解即可．【詳解】解：由題意可知，，，設(shè)中邊上的高的長(zhǎng)度是，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，割補(bǔ)法求面積，一元一次方程的應(yīng)用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），點(diǎn)A、B、C、D均為格點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①點(diǎn)B到點(diǎn)C的最短距離為；②點(diǎn)A到直線的距離為．③直線所交的銳角為；④四邊形的面積為11．其中，所有正確命題的序號(hào)為.

（填序號(hào)）【答案】①③/③①【分析】本題考查的是勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，利用網(wǎng)格求三角形面積，①利用勾股定理求解可得結(jié)論；②構(gòu)造，利用面積法求解即可；③平移線段到，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可；④利用分割法求面積，可得結(jié)論．【詳解】解：由圖可知點(diǎn)B到點(diǎn)C的最短距離為，故①正確；如圖，取格點(diǎn)E，連接，，則C，D，F(xiàn)，E共線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，，，故②錯(cuò)誤；取格點(diǎn)J，連接，，則，是等腰直角三角形，，直線，所交的銳角為，故③正確，，故④錯(cuò)誤，故答案為：①③．3．（2024上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度直尺完成下列作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示．圖中的點(diǎn)A、B、C、P、Q在格點(diǎn)上，其中．(1)在圖1中先作線段且，然后作的高；(2)在圖2中作的角平分線；(3)在圖3中的直線上找一點(diǎn)，使．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）取格點(diǎn)D，連接，則且，取格點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)E，則為的高；（2）取格點(diǎn)E，構(gòu)造等腰三角形求解即可；（3）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接交于點(diǎn)M，連接，由方格紙的特點(diǎn)可知分別垂直平分，，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可知點(diǎn)M即為所求．【詳解】（1）如圖，（2）如圖，即為所求，（3）點(diǎn)M即為所求．【點(diǎn)睛】本體考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等知識(shí)，熟練掌握方格紙的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十二勾股定理與折疊問題】【例12】（2024上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，三角形紙片中，．沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與的交點(diǎn)為E，則的長(zhǎng)是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，進(jìn)而得到；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：∵沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，∴，∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，，∵，∴，∴，即：，∴，設(shè)，∴，解得：，即．故選D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)期末）如圖，等腰直角三角形中，，點(diǎn)M，N在邊上，且，若，則的長(zhǎng)為（）．A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，把沿翻折至，連接，則，，，，再證明得到，，接著證明，則，．【詳解】解：把沿翻折至，連接，∴，，，，又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，在中，，，故選：C．2．（2024上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，，如圖所示折疊紙片，使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，此時(shí)的長(zhǎng)為【答案】/【分析】本題考查折疊的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等可得，，利用勾股定理解求出，設(shè)，則，再利用勾股定理解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，，由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得，，，在中，由勾股定理得，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即的長(zhǎng)為，故答案為：．3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，重合部分是，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的值；(3)若．求的面積．【答案】(1)證明詳見解析；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，即可證明出是等腰三角形；（2）連接，根據(jù)代數(shù)求解即可；（3）設(shè)，則，，在中根據(jù)勾股定理求出，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，又長(zhǎng)方形，，，是等腰三角形（2）如圖所示，連接，，（3）設(shè)，則，在中，由勾股定理可知：，，．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定定理．【拓展培優(yōu)】1．（2024上·重慶大渡口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在軸和軸上，點(diǎn)，連接，并將沿翻折至長(zhǎng)方形所在平面，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查軸對(duì)稱，勾股定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)．設(shè)與交點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，由可得，，由長(zhǎng)方形與折疊的性質(zhì)可得，從而，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，代入即可解得，根據(jù)的面積可求得，進(jìn)而在中，根據(jù)勾股定理可求得，結(jié)合點(diǎn)E的位置可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)與交點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，∵，∴，，∵在長(zhǎng)方形中，，∴，∵由折疊有，∴，∴，設(shè)，則，，∵在長(zhǎng)方形中，，∴在中，，即，解得，∴，由折疊可得，∴，∵或，∴，即，∴，∵軸，∴在中，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．故選：A．2．（2024上·河北衡水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（D與點(diǎn)不重合），連接，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，連接、，則面積的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理得，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到的距離最小，則E到的距離最大，此時(shí)面積的最大，如圖，過A作于H，先根據(jù)三角形的等面積求得，進(jìn)而求得即可求解．【詳解】解：連接，∵關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，∴，在中，，，，∴，∵點(diǎn)在的下方，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到的距離最小，則E到的距離最大，此時(shí)面積的最大，如圖，過A作于H，∵，∴，∴，∴面積的最大值為，故選：B．3．（2024上·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，以的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)落在上，若，空白部分面積為10，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，完全平方公式，關(guān)鍵是由，得到四邊形的面積的面積．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，的面積的面積，四邊形的面積的面積，空白部分的面積正方形的面積的面積，①，，，，，②，由①和②得，（舍去負(fù)值）．故選：A．4．（2024上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，，，，與交于點(diǎn)P，則點(diǎn)B到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，勾股定理，等腰三角形的判定．設(shè)點(diǎn)B到的距離為h，證，得，再由勾股定理得，然后由三角形面積求出即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)B到的距離為h，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即點(diǎn)B到的距離為，故選：C．5．（2024上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，，，連接對(duì)角線、，過點(diǎn)作垂直于，且．若，求的面積（

）A．8 B．16 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明為等腰直角三角形，利用勾股定理解得，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴為等腰直角三角形，∵，∴，解得，∴，∴．故選：A．6．（2024上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以Rt的兩邊為邊向外所作正方形的面積分別是，則以另一邊為直徑向外作半圓的面積為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，正方形的面積公式，根據(jù)題意得出的值，再根據(jù)半圓面積公式求解即可．【詳解】解：以的兩邊，為邊向外所作正方形的面積分別是，，，，以另一邊為直徑向外作半圓的面積為，故答案為：．7．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，．在上找一點(diǎn)E，把沿折疊，使D點(diǎn)恰好落在上，設(shè)這一點(diǎn)為F，則．【答案】3【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)解答；由長(zhǎng)方形的性質(zhì)推出，，由折疊的性質(zhì)得到：，，由勾股定理求出，得到．【詳解】解：∵四邊形是長(zhǎng)方形，由折疊的性質(zhì)得到：，故答案為：3．8．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)，且，則代數(shù)式的最小值為．【答案】5【分析】本題考查利用軸對(duì)稱求最短路線的問題，解題關(guān)鍵是將求代數(shù)式的最小值巧妙地轉(zhuǎn)化成幾何問題．根據(jù)題意構(gòu)造三角形，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最短距離．【詳解】作圖如下所示，作，，，設(shè)，，，在上取一點(diǎn)F，將分為和，設(shè)，，，，，過C作關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)E，使得，連交于F，，最短，代數(shù)式的最小值的最小值，過E作交延長(zhǎng)線于G,四邊形為矩形，，，，在中，故答案為：59．（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，點(diǎn)在邊上，，若，則長(zhǎng)為．【答案】【分析】將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，、，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，證明，得出，，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，，證明，得出．【詳解】解：將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，、，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，證明，．10．（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？计谀┤鐖D，在中，，，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P畫直線截，使截得的一個(gè)三角形是等腰三角形，且A，P是其頂點(diǎn)．若過點(diǎn)P可畫出滿足條件的直線恰有3條，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定，解答的關(guān)鍵是根據(jù)條件分三種