2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點(diǎn)分類）正多邊形和圓

正多邊形和圓44．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)60°．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，即∠DCD'是旋轉(zhuǎn)角，∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則∠DCD'至少為60°，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)60°．故答案為：60°．【點(diǎn)評】本題考查多邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．正多邊形和圓44．（2023?河北）如圖，點(diǎn)P1～P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長分別為a，b，則下列正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)，b大小無法比較【答案】A【分析】利用三角形的三邊關(guān)系，正多邊形的性質(zhì)證明即可．【解答】解：連接P4P5，P5P6．∵點(diǎn)P1～P8是⊙O的八等分點(diǎn)，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b﹣a＞0，∴a＜b，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形于圓，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．正多邊形和圓48．（2023?山西）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q，M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(?23，3)，（0，﹣3），則點(diǎn)A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）【答案】A【分析】設(shè)中間正六邊形的中心為D，連接DB．判斷出OC，CM的長，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)中間正六邊形的中心為D，連接DB．∵點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(?23∴AB＝BC＝23，OQ＝3，∴OA＝OB=3∴OC＝33，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（33，﹣2），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．正多邊形和圓35．（2023?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q是DE的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．36° D．60°【答案】B【分析】先計(jì)算正六邊形的中心角，再利用同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，圓周角定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC，OD，OQ，OE，∵正六邊形ABCDEF，Q是DE的中點(diǎn)，∴∠COD＝∠DOE=360°6=60°，∠DOQ＝∠EOQ=∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ=12∠故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，熟練掌握正多邊形中心角計(jì)算，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．正多邊形和圓44．（2023?陜西）如圖，正八邊形的邊長為2，對角線AB、CD相交于點(diǎn)E．則線段BE的長為2+22．【答案】2+22．【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出AE，GE，BG即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，由題意可知，四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，∴AE＝CE=22AC同理BG=2∴AB＝AE+EG+BG＝2+22，故答案為：2+22．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．45．（2023?河北）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點(diǎn)在直線l上．兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點(diǎn)．則圖2中：（1）∠α＝30度；（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為23（結(jié)果保留根號）．?【答案】30；23．【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可得到結(jié)論；（2）把問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作出圖形，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求ON＝OM+BE，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，分別求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作圖如圖所示，∵多邊形是正六邊形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直線l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案為：30°；（2）取中間正六邊形的中心為O，作圖如圖所示，由題意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四邊形ABFG為矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE=3由圖1知AG＝BF＝2PE＝23，OM＝PE=3∵BC=1∴AB=BC∴BD=2?AB=3∵DE=1∴BE=BD+DE=3∴ON=OM+BE=23∴中間正六邊形的中心到直線l的距離為23，故答案為：23．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．正多邊形和圓41．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則S1S【答案】2．【分析】連接OA，OC，OE，首先證明出△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，然后證明出△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，進(jìn)而求解即可．【解答】解：如圖所示，連接OA，OC，OE．∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的內(nèi)接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），∴S△BAC＝S△AOC，圓和正六邊形的性質(zhì)可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圓和正三角形的性質(zhì)可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，∴S1故答案為：2【點(diǎn)評】此題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，正六邊形和正三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．正多邊形和圓43．（2023?福建）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為332，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得A．3 B．22 C．3 D．23【答案】C【分析】過A作AM⊥OB于M，求得∠AOB＝360°÷12＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM=12OA=12，根據(jù)三角形的面積公式得到S△AOB【解答】解：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)O是正十二邊形的中心，過A作AM⊥OB于M，在正十二邊形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM=12OA∴S△AOB=12OB?AM∴正十二邊形的面積為12×1∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值為3，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．正多邊形和圓41．（2023?菏澤）如圖，正八邊形ABCDEFGH的邊長為4，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓，則陰影部分的面積為6π（結(jié)果保留π）．【答案】6π．【分析】先根據(jù)正八邊形的性質(zhì)求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，∠HAB=(8?2)×180°8=135°，AH∴S陰影部分=135π×42故答案為：6π．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．正多邊形和圓40．（2023?自貢）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分