2022年湖南省郴州市致遠中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

2022年湖南省郴州市致遠中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.假設(shè)100件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取5件，至少有2件次品的抽法概率為（

）A． B．C． D．參考答案：B2.以下四個命題:①命題“若,則”的逆否命題為

“若,則”;②設(shè)函數(shù)，

則對于任意實數(shù)和，“＜0”是“)＜0”的充要條件；③命題“”,則命題的否定為“”;④在中,是的充分不必要條件;其中真命題為(

) A.①

B.①②

C.①②③ D.①②③④參考答案：C略3.設(shè)全集，集合，，則（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】利用補集的定義求出，再利用交集的定義得出集合.【詳解】，，，因此，，故選：B.【點睛】本題考查補集和交集的混合運算，要充分理解補集和交集的定義，在求解無限數(shù)集之間的運算時，可以利用數(shù)軸來理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知≥0，≤0，≥0，則的最小值是（

）A.9

B.4

C.3

D.2參考答案：A5.過雙曲線焦點且與實軸垂直的弦的長等于焦點到漸近線的距離，則雙曲線的離心率為A．

B．2

C.

D.參考答案：D6.下列命題是真命題的是

（

）A.“若，則”的逆命題；

B.“若，則”的否命題；C.“若，則”的逆否命題；

D.“若，則”的逆否命題參考答案：D略7.，則M，N兩個集合關(guān)系正確的是

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.有一個長方體容器,裝的水恰好占其容積的一半；表示水平的桌面,容器一邊緊貼桌面，沿將其翻轉(zhuǎn)使之傾斜，最后水面(陰影部分)與其各側(cè)棱的交點分別是（如圖），設(shè)翻轉(zhuǎn)后容器中的水形成的幾何體是，翻轉(zhuǎn)過程中水和容器接觸面積為,則下列說法正確的是

（

）A．是棱柱，逐漸增大

B．是棱柱，始終不變C．是棱臺，逐漸增大D．是棱臺，始終不變參考答案：B9.復(fù)數(shù)z=(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為(

)（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限參考答案：D10.復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()

A．第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果不等式的解集為A，且，那么實數(shù)a的取值范圍是____參考答案：【分析】將不等式兩邊分別畫出圖形，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】不等式的解集為，且畫出圖像知：故答案為：【點睛】本題考查了不等式的解法，將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像是解題的關(guān)鍵.12.已知空間向量=（2，－3，t），=（－3，1，－4），若·=，則實數(shù)=________.參考答案：－213.某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為___________萬元．參考答案：10略14.若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+a3+a5=．參考答案：122【考點】二項式定理的應(yīng)用．【分析】分別令x=1x=﹣1，得到兩個式子，再把這兩個式子相減并除以2，可得a1+a3+a5的值．【解答】解：∵（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x5，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35①，令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1②，把①﹣②并除以2，可得a1+a3+a5==122，故答案為：122．15.已知圓的方程式x2+y2=r2，經(jīng)過圓上一點M（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，類別上述方法可以得到橢圓類似的性質(zhì)為：經(jīng)過橢圓上一點M（x0，y0）的切線方程為．參考答案：【考點】K5：橢圓的應(yīng)用；F3：類比推理．【分析】由過圓x2+y2=r2上一點的切線方程x0x+y0y=r2，我們不難類比推斷出過橢圓上一點的切線方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．【解答】解：類比過圓上一點的切線方程，可合情推理：過橢圓（a＞b＞0），上一點P（x0，y0）處的切線方程為．故答案為：．16.已知圓M:(x+)2+y2=36，定點N:(，0)，點P為圓M上的動點，點G在MP上，點Q在NP上，且滿足，=0，則點G分軌跡方程為__________．參考答案：解：由為中點可得，，則，而點坐標為，則，則，且，，則軌跡方程為．17.在中，角的對邊分別為，若成等差數(shù)列，，的面積為，則

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（I）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則得出f′（x），通過對a分類討論，利用一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系即可判斷出其單調(diào)性；（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx﹣x2≤0，分當(dāng)0＜x≤1時，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，當(dāng)x＞1時，，令φ（x）=lnx+﹣1，利用其導(dǎo)數(shù)可得φ（x）＞0，即可得出（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=令g（x）=2ax2﹣x﹣1，x∈（0，+∞）（1）當(dāng)a≤0時，g（x）＜0，此時f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；（2）當(dāng)a＞0時，方程2ax2﹣x﹣1=0有兩根，且x1＞0，x2＜0，此時當(dāng)）時，f'（x）＜0，當(dāng)時，f'（x）＞0，故f（x）在（0，）為減函數(shù)，在（）為增函數(shù)；所以當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（），遞減區(qū)間為（0，）．（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=x2﹣x﹣lnx，x2lnx﹣f（x）=x2lnx+x+lnx﹣x2，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)，所以f（1）=0為f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx﹣x2≤0，故當(dāng)0＜x≤1時，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，當(dāng)x＞1時，，令φ（x）=lnx+﹣1，則φ'（x）=﹣，所以φ（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，可得出φ（x）＞0，又因lnx＞0，x2＞0，所以，故當(dāng)x＞1時，（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0，綜上所述，當(dāng)a=1時，（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．19.如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、 和、，為坐標原點．設(shè)直線、的斜率分別為、．（i）證明：；（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．參考答案：橢圓方程為，、設(shè)則，，…………2分（ii）記A、B、C、D坐標分別為、、、設(shè)直線：

：聯(lián)立可得

…………4分，代入，可得

…………6分同理，聯(lián)立和橢圓方程，可得

…………7分由及（由（i）得）可解得，或，所以直線方程為或所以點的坐標為或

…………10分20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為，已知，成等差數(shù)列，且，求邊的值.參考答案：（1）令的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由，得∵，∴，∴由b,a,c成等差數(shù)列得2a=b+c∵，∴，∴由余弦定理，得∴，∴21.已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2為f（x）的極值點，求實數(shù)a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）令f′（x）=0解得a，再驗證是否滿足取得極值的條件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．對a分類討論即可得出．解答： 解：（1）=．∵x=2為f（x）的極值點，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又當(dāng)a=0時，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2為f（x）的極值點成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①當(dāng)a=0時，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意．②當(dāng)a≠0時，由函數(shù)f（x）的定義域可知：必須2ax+1＞0對x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其對稱軸為．∵a＞0，，從而g（x）≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，