遼寧省丹東市東港菩薩廟中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

遼寧省丹東市東港菩薩廟中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)．從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】一一列舉出所有的基本事件，再找到勾股數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10種，其中只有（3，4，5）為勾股數(shù)，故這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為．故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型概率的問(wèn)題，關(guān)鍵是不重不漏的列舉出所有的基本事件，屬于基礎(chǔ)題．2.下列命題中正確的是（

）

A．的最小值是2

B．的最小值是2

C．的最小值是

D．的最大值是

參考答案：C3.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）溫馨提示：若X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%A．7614 B．6587 C．6359 D．3413參考答案：B【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為10000﹣10000×0.3413=10000﹣3413=6587，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．4.直線與函數(shù)的圖像有三個(gè)相異的交點(diǎn)，則a的取值范圍是A、

B、

C、

D、參考答案：A略5.設(shè)曲線y=x2﹣2x﹣4lnx的一條切線的斜率小于0，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是（） A．（﹣1，2） B． （﹣1，0）∪（2，+∞） C．（0，2） D．（0，+∞）參考答案：C略6.已知函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，則的值（

）

A．恒為正數(shù)

B．恒為負(fù)數(shù)

C．恒為0

D．可正可負(fù)參考答案：A略7.平面區(qū)域如圖所示，若使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則a的值是(

)A． B．1 C． D．4參考答案：A【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】對(duì)目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a＞0）變形為y=﹣x+，依題意可得﹣=kAB=﹣，于是可求得a的值．【解答】解：∵z=x+ay（a＞0），∴y=﹣x+，∵目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，∴﹣=kAB==﹣，∴a=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，依題意得到得﹣=kAB=﹣是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想．8.下表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是x45678910Y15171921232527

A

一次函數(shù)模型

B

二次函數(shù)模型

C

指數(shù)函數(shù)模型

D

對(duì)數(shù)函數(shù)模型參考答案：A略9.直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.從字母a，b，c，d，e，f中選出4個(gè)字母排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列方法（）種．A．36 B．72 C．90 D．144參考答案：A【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)字母中選取2個(gè)，方法有種，再將這2個(gè)字母和整體ab進(jìn)行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．【解答】解：由于ab已經(jīng)選出，故再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)字母中選取2個(gè)，方法有=6種，再將這2個(gè)字母和整體ab進(jìn)行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得所有的排列方法共有6×6=36種，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)A(-3,0)、B(3,0)兩點(diǎn)的所有圓中面積最小的圓的方程是___________________．參考答案：x2+y2=9；12.在（x－a）10的展開(kāi)式中，x7的系數(shù)是15，則實(shí)數(shù)a=_____參考答案：1/213.已知實(shí)數(shù)，且函數(shù)有最小值，則=__________。參考答案：14.向量在向量方向上的投影為

．參考答案：3【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先求向量，的夾角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影為：cos（，）=5×=3，故答案為3；【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平面向量數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，注意向量積公式，是一道基礎(chǔ)題；15.不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是．參考答案：（1，2）【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；一元二次不等式的解法．【分析】分析二次函數(shù)y=（x﹣1）（2﹣x）的圖象和性質(zhì)，可得不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集．【解答】解：二次函數(shù)y=（x﹣1）（2﹣x）的圖象是開(kāi)口朝上，且與x軸交于點(diǎn)（1，0），（2，0），故當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y=（x﹣1）（2﹣x）＞0，故不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（1，2），故答案為：（1，2）16.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)________.參考答案：設(shè)右焦點(diǎn)為F′，則

∵，

∴，

∴E是PF的中點(diǎn)，

∴PF′=2OE=a，

∴PF=3a，

∵OE⊥PF，

∴PF′⊥PF，

∴（3a）2+a2=4c2，

∴.

17.已知線段AB上有10個(gè)確定的點(diǎn)（包括端點(diǎn)A與B）．現(xiàn)對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行往返標(biāo)數(shù)（從A→B→A→B→…進(jìn)行標(biāo)數(shù)，遇到同方向點(diǎn)不夠數(shù)時(shí)就“調(diào)頭”往回?cái)?shù)）．如圖：在點(diǎn)A上標(biāo)1，稱(chēng)為點(diǎn)1，然后從點(diǎn)1開(kāi)始數(shù)到第二個(gè)數(shù)，標(biāo)上2，稱(chēng)為點(diǎn)2，再?gòu)狞c(diǎn)2開(kāi)始數(shù)到第三個(gè)數(shù)，標(biāo)上3，稱(chēng)為點(diǎn)3（標(biāo)上數(shù)n的點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)n），……，這樣一直繼續(xù)下去，直到1，2，3，…，2013都被標(biāo)記到點(diǎn)上．則點(diǎn)2013上的所有標(biāo)數(shù)中，最小的是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知A（﹣2，0）、B（2，0），點(diǎn)C、點(diǎn)D依次滿足．（1）求點(diǎn)D的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（x0，y0），D（x，y），欲求點(diǎn)D的軌跡方程，即尋找x，y之間的關(guān)系式，利用向量間的關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后代入距離公式即可得；（2）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)圓的切線性質(zhì)及中點(diǎn)條件，利用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)a，b即可．【解答】解：（1）設(shè)C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（x0，y0），D（x，y），則），，則，故．又代入中，整理得x2+y2=1，即為所求點(diǎn)D的軌跡方程．（2）易知直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），①又設(shè)橢圓方程為，②a2﹣b2=4，因?yàn)橹本€l：kx﹣y+2k=0與圓x2+y2=1相切．故，解得．將①代入②整理得，（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，③將代入上式，整理得，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，由線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，||=，解得a2=8，或a2=，經(jīng)檢驗(yàn)，a2=8，此時(shí)③的判別式大于0．故所求的橢圓方程為．19.設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（Ⅱ）求在上的最大值。參考答案：由條件

3分

4分

6分令

得到增區(qū)間為（

8分令

得到減區(qū)間為（

10分=-

12分當(dāng)時(shí)，的最大值為

當(dāng)時(shí)，的最大值為=a-1當(dāng)時(shí)，的最大值為=

16分略20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意，恒成立.參考答案：（1）（2）（3）見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí),求導(dǎo)數(shù)，將切點(diǎn)橫坐標(biāo)帶入導(dǎo)數(shù)得到斜率，再計(jì)算切線方程.（2）求導(dǎo)，取導(dǎo)數(shù)0，參數(shù)分離得到，設(shè)右邊為新函數(shù)，求出其單調(diào)性，求得取值范圍得到答案.（3）將導(dǎo)函數(shù)代入不等式，化簡(jiǎn)得到，設(shè)左邊為新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．∴

∴，又∵

∴，即

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，可得，?dāng)時(shí)，方程僅有一解，∴，∴令則由題可知直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．∵∴當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)．又∵，，且當(dāng)時(shí)，∴，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）∵∴要證對(duì)任意，恒成立即證成立即證成立設(shè)∴∵時(shí)，易知在上為減函數(shù)∴∴在上為減函數(shù)∴∴成立即對(duì)任意，恒成立．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線方程，極值點(diǎn)，參數(shù)分離法，恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.21.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx﹣1（a∈R）（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）正確求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，再求得導(dǎo)函數(shù)后，利用f'（x）＞0，解自變量的取值范圍時(shí)要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0來(lái)討論得解．（2）由f（x）≥0對(duì)x∈[2，+∞）上恒成立可分a≤2和a＞2來(lái)討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問(wèn)題來(lái)求解．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣=（x＞0），當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，在（0，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）==0，解得：x=a，f（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)；（2）f′（x）=1﹣=，當(dāng)a≤2時(shí)，f'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，則f（x）是單調(diào)遞增的，則f（x）＞f（2）＞f（1）=0恒成立，則a≤2，當(dāng)a＞2時(shí)，在（2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，所以x∈（2，a）時(shí)，f（x）＜f（2）＜f（1）=0這與f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立綜上：a≤2．22.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點(diǎn)．（I）求證：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BEC．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理易得，四邊形ABMN為平行四邊形，即BM∥AN，再由線面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；（II）由已知中正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，我們易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．【解答】證明：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)∴MN∥CD，且MN=CD，由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴MN∥AB，且MN=AB