初中數(shù)學(xué)120大招-38 幾何模型平行四邊形的存在性問題

平行四邊形存在性問題一、方法突破考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點也是BD的中點．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個點A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}．三定一動已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時，，可得；（2）AC為對角線時，，解得；（3）AB為對角線時，，解得．當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點的橫縱坐標(biāo)相加減）兩定兩動已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（m，0），D點坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動點綜述】“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標(biāo)，稱為“半動點”．從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點坐標(biāo)．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式：，兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點設(shè)計，由動點設(shè)計可化解問題．二、典例精析例一：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點，該拋物線的頂點為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【分析】（1）拋物線：，直線AB：；（2）考慮EC∥MN，故若使點M、N、C、E是平行四邊形，則EC=MN即可，∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2，設(shè)M點坐標(biāo)為（m，m-3）（m>1），則N點坐標(biāo)為，則MN=由題意得：，，解得：，（舍），對應(yīng)P點坐標(biāo)為；，解得：，（舍）．對應(yīng)P點坐標(biāo)為（2，-1）．綜上，P點坐標(biāo)為或（2，-1）．例二：【兩定兩動：x軸+拋物線】如圖，已知拋物線經(jīng)過點，，．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）列方程組求：設(shè)P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），若BC為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應(yīng)的P（2，-3）；若BP為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應(yīng)的P（2，-3）；若BQ為對角線，由題意得：，解得：或，故對應(yīng)的P、．綜上所述，P點坐標(biāo)為（2，-3）、、．

例三：【兩定兩動：對稱軸+拋物線】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；（2）若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：，對稱軸：直線x=1；（2）設(shè)M點坐標(biāo)為，N點坐標(biāo)為，又B（3，0）、C（0，2）若BC為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標(biāo)為（2，2）；若BN為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標(biāo)為；若BM為對角線，由題意得：，解得：，故M點坐標(biāo)為．綜上所述，M點坐標(biāo)為（2，2）、、．

例四：【兩定兩動：斜線+拋物線】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過，兩點且與軸的負(fù)半軸交于點．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知，分別是直線和拋物線上的動點，當(dāng)，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）設(shè)E點坐標(biāo)為，F(xiàn)點坐標(biāo)為，又B（0，2）、O（0，0），①若OB為對角線，由題意得：，解得：或，故E點坐標(biāo)為或；②若OE為對角線，由題意得：，解得：或，故E點坐標(biāo)為或；③若OF為對角線，由題意得：，解得：，故E點坐標(biāo)為（2，1）．

例五：【兩定兩動：拋物線+拋物線】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點，與拋物線的一個交點為，且點的橫坐標(biāo)為2，點、分別是拋物線、上的動點．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若以點、、、為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點的坐標(biāo)．

【分析】（1）解析式：；（2）雖然兩個動點均在拋物線上，仍可用設(shè)點坐標(biāo)的方法求解．設(shè)P點坐標(biāo)為，Q點坐標(biāo)為，又C（0，-3）、A（2，-3），①若CA為對角線，由題意得;，解得：或（舍），故P點坐標(biāo)為（-3，12）；②若CP為對角線，由題意得：，解得：或，故P點坐標(biāo)為（3，0）或；③若CQ為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故P點坐標(biāo)為（-1，0）．綜上所述，P點坐標(biāo)為（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．例六：【三定一動】如圖，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點坐標(biāo)為，，，點為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D①若BC為對角線，由題意得：，解得：，故的坐標(biāo)為；②若BD為對角線，由題意得：，解得：，故坐標(biāo)為；③若BP為對角線，由題意得：，解得：，故坐標(biāo)為．綜上所述，P點坐標(biāo)為、、．三、中考真題對決1．（2021?西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點．與軸交于點．且點的坐標(biāo)為，點的坐為．（1）求該拋物線的解析式；（3）圖（乙中，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）將的坐標(biāo)，點的坐代入得：，解得，拋物線的解析式為；（3）存在，理由如下：拋物線對稱軸為直線，設(shè)，，而，，①以、為對角線，則、的中點重合，如圖：，解得，，②以、為對角線，則、的中點重合，如圖：，解得，，③以、為對角線，則、中點重合，如圖：，解得，；綜上所述，的坐標(biāo)為：或或．2．（2021?郴州）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線．拋物線與軸交于點，，與軸交于點．已知，點是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，在拋物線上，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為，拋物線，將代入，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為；（3）①當(dāng)為平行四邊形的邊時，則有，且，如圖2，過點作對稱軸的垂線，垂足為，設(shè)交對稱軸于點，則，在和中，，，，點到對稱軸的距離為3，又，拋物線對稱軸為直線，設(shè)點，則，解得：或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點坐標(biāo)為或；②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，如圖3，設(shè)的中點為，，，，，點在對稱軸上，點的橫坐標(biāo)為，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，根據(jù)中點公式得：，，此時，；綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．3．（2021?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，，頂點為．平移此拋物線，得到一條新的拋物線，且新拋物線上的點為原拋物線上點的對應(yīng)點，新拋物線頂點為，它與軸交于點，連接，，．（1）求原拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在原拋物線或新拋物線上找一點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，并求出點的坐標(biāo)；解：（1）拋物線經(jīng)過點，，，原來拋物線的解析式為．（2），，點向右平移4個單位，再向下平移1個單位得到，原來拋物線的頂點，點向右平移4個單位，再向下平移1個單位得到，，新拋物線的解析式為，，點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，觀察圖形可知，滿足條件的點在過點平行的直線上，直線的解析式為，直線的解析式為，由，解得或（舍棄），，，，，，四邊形是平行四邊形，由平移的性質(zhì)可知當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，但是對于新拋物線，時，，滿足條件的點的坐標(biāo)為．4．（2021?湘西州）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）把，代入，得到，解得，；（4）如圖2中，存在．觀察圖象可知，滿足條件的點的縱坐標(biāo)為4或，對于拋物線，當(dāng)時，，解得或3，．當(dāng)時，，解得，，，，，綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或，或，．5．（2021?黔東南州）如圖，拋物線與軸交