初中數(shù)學(xué)120大招-57 固定邊的等腰三角形與二次函數(shù)問題

固定邊的等腰三角形與二次函數(shù)問題1、如圖1，已知拋物線y=﹣x2﹣4x+5交x軸于點A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接AD．（1）求直線AD的解析式．（2）點E（m，0）、F（m+1，0）為x軸上兩點，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分別平行于y軸，交拋物線于點E′和F′，交AD于點M、N，當(dāng)ME′+NF′的值最大時，在y軸上找一點R，使得|RE′﹣RF′|值最大，請求出點R的坐標(biāo)及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如圖2，在拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，請出點P的坐標(biāo)及△PAC的面積，若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）y=3x+15；（2）點R的坐標(biāo)是（0，17），最大值為10；（3）存在，P（-3-292,3+29【解析】（1）如圖1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐標(biāo)代入，得，解得．故直線AD的解析式為：y=3x+15；（2）如圖1，∵EE′∥y軸，F(xiàn)F′∥y軸，E（m，0）、F（m+1，0），∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．∵﹣2＜0，∴m=﹣=﹣4，∴ME′+NF′有最大值，此時E′（﹣4，5），F(xiàn)′（﹣3，8），要使|RE′﹣RF′|值最大，則點E′、F′、R三點在一條直線上，∴設(shè)直線E′F′：y=kx+b（k≠0），則，解得，∴直線E′F′：y=3x+17（k≠0）．當(dāng)x=0時，y=17，則點R的坐標(biāo)是（0，17）．此時，|RE′﹣RF′|的最大值為=；（3）如圖2，設(shè)點P（x，﹣x2﹣4x+5）．當(dāng)PA=PC時，點P在線段AC的垂直平分線上，∵OC=OA，∴點O在線段AC的垂直平分線上，∴點P在∠AOC的角平分線上，∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，解得x1=，x2=，∴P（，），P′（，）．∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，∴S△PAC=AC?PH=×5×=或S△PAC=AC?P′H=×5×=．2、已知一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于和，點是線段上的動點（不與重合），過點作軸，與二次函數(shù)的圖象交于點．（1）求的值；（2）求線段長的最大值；（3）當(dāng)為的等腰直角三角形時，求出此時點的坐標(biāo)．【答案】（1）1，3；（2）最大值為；（3）【解析】解：（1）∵在直線上，∴，∴．又∵在拋物線上，∴，解得．（2）設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為．（3）如圖，∵為的等腰三角形且軸，∴連接，軸，∵，∴，．∵，∴，化簡，得，解得，（不合題意，舍去）．當(dāng)時，，∴此時點的坐標(biāo)為．3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．直線y=﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B，C兩點，與x軸負半軸交于點A，連結(jié)AC，A(-1,0)（1）求拋物線的解析式；（2）點P（m，n）是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，求四邊形OCPB面積S關(guān)于m的函數(shù)表達式及S的最大值；（3）若M為拋物線的頂點，點Q在直線BC上，點N在直線BM上，Q，M，N三點構(gòu)成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點N的坐標(biāo)．【答案】（1）y==﹣x2+2x+3；（2）S=﹣（m﹣）2+，當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）點N的坐標(biāo)為（2，2）或（﹣1，8）【解析】解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，∴當(dāng)x=0時，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，當(dāng)y=0時，-x+3=0，x=3，∴B（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），a=-1，∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）如圖1，過P作PE⊥x軸于E，∵P（m，n），∴OE=m，BE=3-m，PE=n，S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE?PE，=m（n+3）+n（3-m），=m+n，∵n=-m2+2m+3，∴S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M（1，4），設(shè)直線BM的解析式為：y=kx+b，把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，設(shè)N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），分兩種情況：①當(dāng)N在射線MB上時，如圖2，過Q作EF∥y軸，分別過M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，∵△EQN是等腰直角三角形，∴MQ=QN，∠MQN=90°，∴∠EQM+∠FQN=90°，∵∠EQM+∠EMQ=90°，∴∠FQN=∠EMQ，∵∠QEM=∠QFN=90°，∴△EMQ≌△FQN，∴EM=FQ，EQ=FN，∴，解得：，當(dāng)a=2時，y=-2a+6=-2×2+6=2，∴N（2，2），②當(dāng)N在射線BM上時，如圖3，同理作輔助線，得△ENQ≌△FQM，∴EN=FQ，EQ=FM，∴，解得：，∴N（-1，8），綜上所述，點N的坐標(biāo)為（2，2）或（-1，8）．4、拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點，且拋物線與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）求出C、D兩點的坐標(biāo)（3）在第四象限拋物線上有一點P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+，﹣2）.【思路引導(dǎo)】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得拋物線解析式．（2）當(dāng)x＝0時可求C點坐標(biāo)，求出直線AB解析式，當(dāng)x＝0可求D點坐標(biāo)．（3）由題意可知P點縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可求P點橫坐標(biāo)．【解析】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）設(shè)y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標(biāo)代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經(jīng)過（0，﹣2）∴P點縱坐標(biāo)為﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）【方法總結(jié)】本題是二次函數(shù)綜合題，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，把x＝0代入二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可求圖象與y軸交點坐標(biāo)，知道點P縱坐標(biāo)帶入拋物線解析式可求點P的橫坐標(biāo)．5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點A(﹣2，1)和點B(﹣1，﹣1)，拋物線C2：y＝2x2+x+1，動直線x＝t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M．（1）求拋物線C1的表達式；（2）直接用含t的代數(shù)式表達線段MN的長；（3）當(dāng)△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值．【答案】（1）y＝x2+x﹣1；（2）MN＝t2+2；（3）t＝0或1【解析】解：（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：，解得：，故拋物線C1的表達式為：y＝x2+x﹣1；（2）點M、N的坐標(biāo)分別為：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t﹣1），則MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2；（3）①當(dāng)∠ANM＝90°時，AN＝MN，AN＝t﹣（﹣2）＝t+2，MN＝t2+2，t＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去0），故t＝1；②當(dāng)∠AMN＝90°時，AM＝MN，AM＝t+2＝MN＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去1），故t＝1；綜上，t＝0或1．6、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三種情況，其中MA＝MN和NA＝NM兩種情況時，點P的縱坐標(biāo)是相等的．滿分解答（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標(biāo)為．③如圖5，當(dāng)NA＝NM時，點P的縱坐標(biāo)為也為．圖4圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B(0,1)，那么在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設(shè)點P的坐標(biāo)為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．7、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長；（2）若BP＝2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．圖1備用圖思路點撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時，PM＝1．此時．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．此時．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6考點伸展如圖6，當(dāng)△CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．9、如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當(dāng)點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。O(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標(biāo)為(1,2)．圖2（3）點M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖59、如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標(biāo)為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．10、如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B．求點A和點B的坐標(biāo)（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當(dāng)點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒．①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．