初中數(shù)學(xué)120大招-58 固定邊的直角三角形與二次函數(shù)問題

固定邊的直角三角形與二次函數(shù)問題1、在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為(－1，0)．如圖17所示，B點(diǎn)在拋物線圖象上，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－3．（1）求證：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）（3）存在，P1（，）、P2（，）【解析】解：（1）證明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC。∵△ABC為等腰直角三角形，∴BC＝AC。在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，∴△BDC≌△COA（AAS）。（2）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，∴BD＝CO＝1。∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，1)。設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，∴，解得?！郆C所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x－。（3）存在?！遹＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴對稱軸為直線x＝－。若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)P1，使CP1⊥AC，∵BC⊥AC，∴點(diǎn)P1為直線BC與對軸稱直線x＝－的交點(diǎn)。由題意可得：，解得，?！郟1（－，－）。若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)P2，使AP2⊥AC，則過點(diǎn)A作AP2∥BC，交對軸稱直線x＝－于點(diǎn)P2，∵CD＝OA，∴A（0，2）。設(shè)直線AP2的解析式為：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。∴直線AP2的解析式為：y＝－x＋2。由題意可得：，解得，。∴P2（－，）?！郟點(diǎn)坐標(biāo)分別為P1（－，－）、P2（－，）。2．拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M落在對稱軸上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）當(dāng)y＝0時，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線對稱軸于點(diǎn)F，如圖所示．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），則PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2．∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，∴∠MBE＝∠PMF．在△MBE和△PMF中，∠BEM＝∠PFM＝90°∠MBE＝∠PMF∴△MBE≌△PMF（AAS），∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，∴EF＝ME+MF＝x+1．∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．3．（2019·山東中考模擬）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，AC，BC．求拋物線的表達(dá)式；求證：AB平分；拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】拋物線的解析式為；證明見解析；點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【解析】將，代入得：，解得：，，拋物線的解析式為；，，，取，則，由兩點(diǎn)間的距離公式可知，，，，，在和中，，，，≌，，平分；如圖所示：拋物線的對稱軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F．拋物線的對稱軸為，則．，，，，，，，同理：，又，，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．例1：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線1，交拋物線與點(diǎn)Q．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時，直線1交BD于點(diǎn)M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1);(2)當(dāng)m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形;(3)Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）【思路引導(dǎo)】（1）直接將A（-1，0），B（4，0）代入拋物線y=x2+bx+c方程即可；（2）由（1）中的解析式得出點(diǎn)C的坐標(biāo)C（0，-2），從而得出點(diǎn)D（0，2），求出直線BD：y＝?x+2，設(shè)點(diǎn)M(m，?m+2)，Q(m，m2?m?2)，可得MQ=?m2+m+4，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得QM=CD=4，即?m2+m+4＝4可解得m=2；（3）由Q是以BD為直角邊的直角三角形，所以分兩種情況討論，①當(dāng)∠BDQ=90°時，則BD2+DQ2=BQ2，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），②當(dāng)∠DBQ=90°時，則BD2+BQ2=DQ2，列出方程可以求出Q3（3，-2）．【解析】（1）由題意知，∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）在拋物線y＝x2+bx+c上，∴解得：∴所求拋物線的解析式為（2）由（1）知拋物線的解析式為，令x＝0，得y＝﹣2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，﹣2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（0，2）設(shè)直線BD的解析式為：y＝kx+2且B（4，0）∴0＝4k+2，解得：∴直線BD的解析式為：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線1，交BD于點(diǎn)M，交拋物線與點(diǎn)Q∴可設(shè)點(diǎn)M，Q∴MQ＝∵四邊形CQMD是平行四邊形∴QM＝CD＝4，即=4解得：m1＝2，m2＝0（舍去）∴當(dāng)m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形（3）由題意，可設(shè)點(diǎn)Q且B（4，0）、D（0，2）∴BQ2＝DQ2＝BD2＝20①當(dāng)∠BDQ＝90°時，則BD2+DQ2＝BQ2，∴解得：m1＝8，m2＝﹣1，此時Q1（8，18），Q2（﹣1，0）②當(dāng)∠DBQ＝90°時，則BD2+BQ2＝DQ2，∴解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此時Q3（3，﹣2）∴滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)有三個，分別為：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）．【方法總結(jié)】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了平行四邊形及直角三角形的定義，要注意第3問分兩種情形求解．針對訓(xùn)練4．如圖，已知直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣12（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是拋物線x軸上方一點(diǎn)，∠MBA＝∠CBO，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)A作AB的垂線交y軸于點(diǎn)D，平移直線AD交拋物線于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，連結(jié)EO、FO．若△EFO為以EF為斜邊的直角三角形，求平移后的直線的解析式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣23，209）．（3）平移后的解析式為y＝﹣x﹣1+5或y＝﹣x﹣1﹣【解析】（1）∵直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點(diǎn)A、B，∴A（﹣2，0），B（0，2），∵拋物線的對稱軸x＝﹣12，A，C∴C（1，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．（2）如圖1中，作EA⊥AB交BM的延長線于E，作EF⊥x軸于F．∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，∴△BAE∽△BOC，∴AEOC∴AE1∴AE＝2，∵∠EAF+∠BAO＝90°，∠BAO＝45°，∴∠EAF＝45°，∴EF＝AF＝1，∴E（3，1），∴直線BE的解析式為y＝﹣13x由y＝-x2-x+2y＝1∴M（-43，14（3）如圖2中，當(dāng)直線AD向下平移時，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），作EH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥x軸于G．∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，由△EHO∽△OGF得到：EHOG∴-y∴x1x2+y1y2=0，由y＝-x+by＝-x2∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，∴2（b-2）+b2=0，解得b=-1-5或-1+5（舍棄），當(dāng)直線AD向上平移時，同法可得b=-1+5，綜上所述，平移后的解析式為y=-x-1+5或y=-x-1-5．5．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣2．（1）求拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn)．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是（2）中拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．①當(dāng)t為秒時，△PAD的周長最小？當(dāng)t為秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結(jié)果保留根號）②點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）B（﹣3，0）；（2）y=x2+4x+3，E（﹣2，﹣1）；（3）①2；4或或；②P（﹣2，1）或（﹣2，2）．【解析】解：（1）由拋物線的軸對稱性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）設(shè)拋物線的對稱軸交CD于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對稱性可得CD=2DM．∵M(jìn)N∥y軸，AB∥CD，∴四邊形ODMN是矩形．∴DM=ON=2．∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2．∵梯形ABCD的面積=（AB+CD）?OD=9，∴OD=3，即c=3．把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．將y=x2+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）；（3）①連接BD交對稱軸于P，則此時△PAD的周長最小，∵B（﹣3，0），D（0，3），易得直線BD的解析式為：y=x+3，當(dāng)x=-2時，y=-2+3=1，∴P（-2，1），∴當(dāng)t為2秒時，△PAD的周長最?。划?dāng)△PAD是以AD，AP為腰的等腰三角形時，易得P（-2，3），則此時t=4；當(dāng)△PAD是以AD，DP為腰的等腰三角形且點(diǎn)P在CD下方時，設(shè)拋物線的對稱軸交CD于點(diǎn)M，∵AO=1，OD=3，MD=2，∴DP=AD=，∴PM=，∴EP=3+1-=4-，∴t=4-；當(dāng)△PAD是以AD，DP為腰的等腰三角形且點(diǎn)P在CD上方時，同理可得PM=，∴EP=3+1+=4+，∴t=4+；故答案為：2；4或或；②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠DPM=90°，∠DPM+∠APN=90°．∴∠PDM=∠APN．∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM．∴，即．∴PN2﹣3PN+2=0，解得PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．6．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），我們把|x1﹣x2|記為d（A、B），拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離記為d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把這樣的拋物線叫做“正拋物線”．（1）拋物線y=2x2﹣2是不是“正拋物線”；（回答“是”或“不是”）．（2）若拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）是“正拋物線”，求拋物線的解析式；（3）如圖，若“正拋物線”y=x2+mx（m＜0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，則拋物線上是否存在點(diǎn)C，使得△PAC是以PA為直角邊的直角三角形？如果存在，請求出C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線y=2x2﹣2是“正拋物線”；（2）拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；（3）滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為（92，94）或（52【解析】（1）對于拋物線y=2x2﹣2，當(dāng)y=0時，2x2﹣2=0，解得x=1或﹣1，∴A（﹣1，0），B（1，0），∴d（A，B）=2，dx∴d（x）=d（A，B），∴拋物線y=2x2﹣2是“正拋物線”．故答案為：是．（2）當(dāng)y=0時，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，∵b＞0，∴d（A，B）=b，由題意d解得b=0（舍棄）或b=4，∴拋物線的解析式為y=-x（3）當(dāng)y=0時，x2+mx=0，解得x=0或﹣m，∵m＜0，∴d（A，B）=-m，∵4ac-b∴d（x）=m由題意-m=m解得m=-4或0（舍棄），∴y=x假設(shè)存在點(diǎn)C，使得△PAC是以PA為直角邊的直角三角形，分兩種情形：①如圖1中，作AC⊥AP交拋物線于點(diǎn)C，厲害PC，作PE⊥x軸交AC于D．-b∴AE=2，PE=4，由△ADE∽△PAE,可得DEAE∴DE2∴DE=1，∴D(2,1)，∴直線AD的解析式為y=由y=12xy=x∴C(9②如圖2中，作PC⊥AP交拋物線于C，交y軸于D，連接AC，作PE⊥x軸于E.由△ADP∽△PAE,可得ADPA=PA∴22∴AD=5，∴D(0,?5)，∴直線AD的解析式為y=由y=12x-5y=x綜上所述,滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為(92,94)或(52,?154).綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為92,7．綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)．當(dāng)x＝﹣4和x＝2時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y相等，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若點(diǎn)M、N同時從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，則t的值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（4）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是以AC為直角邊的直角三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3），；（4）存在，F(xiàn)1，F(xiàn)2．【解析】（1）∵在拋物線y=ax2+bx+c中，當(dāng)x=﹣4和x=2時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值y相等，∴拋物線的對稱軸為x1，又∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣3，0)、B兩點(diǎn)，由對稱性可知B(1，0)，∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)