專題2.11 已知不等恒成立分離參數定最值（原卷版）-高中數學壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】不等式恒成立的轉化策略一般有以下幾種：①分離參數＋函數最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數＋數形結合。分類參數的優(yōu)勢在于所得函數不含參數，缺點在于函數結構復雜，一般是函數的積與商，因為結構復雜，導函數可能也是超越函數，則需要多次求導，也有可能不存在最值，故需要求極限，會用到傳說中的洛必達法則求極限（超出教學大綱要求）；直接化為最值的優(yōu)點是函數結構簡單，是不等式恒成立的同性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數較多，不易掌握分類標準?？s小參數范圍優(yōu)點是函數結構簡單，分類范圍較小，分類情況較少，難點在于尋找特殊值，并且這種解法并不流行，容易被誤判。分離函數主要針對選擇填空題。因為圖形難以從微觀層面解釋清楚圖像的交點以及圖像的高低，這要涉及到圖像的連續(xù)性以及凸凹性。還有在構作函數圖像時，實際上是從特殊到一般，由特殊幾點到整個函數圖像，實際是一種猜測。俗話說，形缺數時難入微。【典例指引】例1己知函數.（1）若函數在處取得極值，且，求；（2）若，且函數在上單調遞増，求的取值范圍.解：（1），由題意可得：，又，所以.經檢驗適合題意.(2)，在上單調遞增在上恒成立在上恒成立法一（分離參數＋函數最值）：則在上恒成立，令，下面求在上的最大值.，令，則.顯然，當時，，即單調遞減，從而.所以，當時，，即單調遞減，從而.因此，.法二（直接化為最值＋分類討論）：令，.令，①當時，，所以，即在上單調遞減.而，與在上恒成立相矛盾.②當時，則開口向上(方案一）：Ⅰ.若，即時，,即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.若，即時，此時，不合題意.(方案二）：Ⅰ.若對稱軸，即時，則在上為增函數，，即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.若對稱軸，即時，則，不合題意.法三（縮小范圍＋證明不等式）：令，則.另一方面，當時，則有，令，開口向上，對稱軸，故在上為增函數，所以在上為增函數，則，故適合題意.例2.(2016全國新課標Ⅱ文20)己知函數.（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.簡析：（Ⅰ）的定義域為.當時，，，，所以曲線在處的切線方程為.（Ⅱ）法一（參考答案，系數常數化）：在恒成立在恒成立，令，①當時，則)時，,故，在上是增函數，故有②當時，則，，由，故，在上是減函數，故有，故不適合題意.綜上，實數的取值范圍為法二（直接化為最值）：在恒成立，則(導函數為超越函數）；在為增函數，則（1）當即時，則(當且僅當時，取“”)，故在為增函數，則有，故在恒成立，故適合題意.（2）當即時，則，且，故在有唯一實根，則在為減函數，在增函數，又有，則存在,使得，故不適合題意.綜上，實數的取值范圍為.法三（分離參數）：在恒成立在恒成立（端點自動成立），則設，令在為增函數，則在為增函數，又因，故實數的取值范圍為法四（縮小范圍）：在恒成立，且，則存在，使得在上為增函數在上恒成立，令.又當時，在為增函數，則(當且僅當(當且僅當時，取“”)，故在為增函數，則有，故在恒成立，故適合題意.綜上，實數的取值范圍為.點評：當端點剛好適合題意時，則分離參數法一般會用到傳說中的洛必達法則，縮小范圍則可利用端點值導數符號來求出參數范圍。這兩種轉化方式都有超出教學大綱要求的嫌疑。2.(重慶市2015屆一診理20)已知曲線在點處的切線的斜率為1；（1）若函數在上為減函數，求的取值范圍；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.解：（Ⅰ）由題知∴，，在上單減，∴在上恒成立即在上恒成立，，∴；（Ⅱ）法一（直接化為最值）令，則在上恒成立，當即時，，在上單減，∴，符合題意；當時，，在上單增，∴當時，，矛盾；當時，在上單減，上單增，而，矛盾；綜上，.法二（分離參數）在上恒成立（端點自動成立）設，令在上為減函數，則在上為減函數，又因，故實數的取值范圍為法三（縮小范圍）：令，則在上恒成立，注意到，，則存在，使得在上為減函數在上恒成立，又有.則存在，使得在上為減函數在上恒成立，又有.又當時，則（1）若時，，在上單減，∴，符合題意；（2）若時，則，故在上單減，上單增，而，矛盾；綜上，實數的取值范圍為點評：（1)在端點處恰好適合題意，分離參數所得函數卻在時得到下確界，值得留意.（2）縮小范圍所得參數范圍不一定恰好具有充分性，則需要分類討論，這時可以減少分類的層級數，縮短解題步驟。（3）構造反例，尋找合適的特殊值，具有很強的技巧性。因函數分解為二次函數與對數函數之和，故構造特殊值的反例時可以分別考慮二次函數與對數函數的零點，對數函數的零點為，而二次函數的零點為及，又知當時，零點，故易得，從而導出矛盾。【擴展鏈接】洛必達法則簡介：法則1若函數和滿足下列條件：（1)及；（2）在點的去心鄰域內，與可導，且；（3），那么.法則2若函數和滿足下列條件：（1)及；（2），和在與上可導，且；（3），那么.法則3若函數和滿足下列條件：（1)及；（2）在點的去心鄰域內，與可導且；（3），那么.利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：①將上面公式中的換成洛必達法則也成立。②洛必達法則可處理型。③在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。④若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止?！拘骂}展示】1．【2019江西上饒聯考】已知函數．當時，求函數的單調增區(qū)間；若函數在上是增函數，求實數a的取值范圍；若，且對任意，，，都有，求實數a的最小值．2．【2019安徽安慶上學期期末】已知函數，.（1）討論函數的單調性；（2）對于任意且時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.3．【2019黑龍江大慶二?！恳阎瘮?（Ⅰ）若點在函數的圖象上運動，直線與函數的圖象不相交，求點到直線距離的最小值；（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.4．【2019江西宜春上學期期末】已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，不等式在上恒成立，求整數的最大值.【同步訓練】1．已知函數.（1）若，求證：當時，；（2）若存在，使，求實數的取值范圍.2．已知，是的導函數．（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若在時恒成立，求實數的取值范圍．3．已知函數．（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數的單調區(qū)間；（Ⅲ）設函數．若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍．4．已知函數，.(Ⅰ)當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；(Ⅱ)當時，，求實數的取值范圍.5．已知函數（）.（1）當曲線在點處的切線的斜率大于時，求函數的單調區(qū)間；（2）若對恒成立，求的取值范圍.（提示：）6．已知函數在點處的切線方程為,且.(Ⅰ)求函數的極值；(Ⅱ)若在上恒成立，求正整數的最大值.7．已知函數，，其中，.（1）若的一個極值點為，求的單調區(qū)間與極小值；（2）當時，，，，且在上有極值，求的取值范圍.8．已知函數.(1)求函數的圖象在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)設，，證明：.9．已知函數，為自然對數的底數).(1)討論函數的單調性；(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.10．設函數.（1）當時,求函數在點處的切線方