用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系+課件+(第1課時) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）+選擇性必修第一冊

1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

第1課時

空間中點、直線和平面的向量表示我們已經(jīng)把向量從平面推廣到空間，并利用空間向量解決了一些有關(guān)空間位置關(guān)系和度量的問題.我們發(fā)現(xiàn)，建立空間向量與幾何要素的對應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵.本節(jié)我們進一步運用空間向量研究立體幾向中有關(guān)直線、平面的位置關(guān)系和度量問題.【情境導(dǎo)入】思考1：點、直線、平面是空間的基本圖形.那么如何用向量表示空間中的一個點？

【提出問題】思考2：空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用向量表示直線？

結(jié)論2.空間直線的向量表示式①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.若直線l過點A(－1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是(

)小試身手1D思考3：一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？

結(jié)論3.空間平面的向量表示式

（1）平面α可以由α內(nèi)兩條相交直線確定.如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使得=xa+yb.這樣，點O與向量a，b不僅可以確定平面α，還可以具體表示出α內(nèi)的任意一點.

空間平面的向量表示式

思考4：一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能，如何用向量表示這個平面？

結(jié)論4.平面的法向量

如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.小試身手2BA.(－1,2,－1) B.(1,2,1)C.(1,2,－1)D.(－1,2,1)令x=－1,則y=2,z=－1.即平面ABC的一個法向量為n=(－1,2,－1).A小試身手3【舉例應(yīng)用】例1.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中點.以D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面MCA1的法向量例2.如圖,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析：首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進行求解.

【課堂小結(jié)】用空間向量研究