離散型隨機(jī)變量的均值同步練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

§3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.1離散型隨機(jī)變量的均值基礎(chǔ)過關(guān)練題組一離散型隨機(jī)變量的均值1.(2023河南駐馬店高級中學(xué)月考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P3a1則EX=()A.32B.2C.522.(2024江西名校聯(lián)合測評)在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用協(xié)方差來衡量兩個變量的總體誤差,對于離散型隨機(jī)變量X,Y,定義協(xié)方差為Cov(X,Y)=E(XY)-EX·EY,已知X,Y的分布列如下表所示,其中0<p<1,則Cov(X,Y)的值為()X12Pp1-pY12P1-ppA.0B.1C.2D.43.(2023湖南衡山德華盛星源高級中學(xué)期中)一個口袋中裝有編號分別為1,2,3,4的4個球,現(xiàn)從口袋中隨機(jī)取出2個球,用X表示取出球的最大編號,則EX=()A.2B.3C.103D.4.(2022湖北武漢華中師大一附中期中)對某種型號的儀器進(jìn)行質(zhì)量檢測,每臺儀器最多可檢測3次,一旦發(fā)現(xiàn)問題,則停止檢測,否則一直檢測到3次為止,若該儀器一次檢測中出現(xiàn)問題的概率為0.2,設(shè)檢測次數(shù)為X,則X的數(shù)學(xué)期望為.

5.(2024四川宜賓南溪一中一診)小青準(zhǔn)備用9萬元全部投資A,B兩種股票,已知兩種股票收益相互獨(dú)立,且這兩種股票的買入都是每股1萬元,每股收益的分布列如下表所示,若投資A種股票a萬元,則小青兩種股票的收益期望和為萬元.

股票A的每股收益分布列收益X/萬元-103概率0.30.20.5股票B的每股收益分布列收益Y/萬元-34概率0.40.66.(2022北京順義牛欄山第一中學(xué)期中)假設(shè)兩個隊(duì)進(jìn)行一系列比賽,一直到其中有一隊(duì)贏了2局才結(jié)束.假設(shè)各局比賽勝負(fù)是相互獨(dú)立的,并且A隊(duì)獲勝的概率為p,則當(dāng)比賽的局?jǐn)?shù)的期望最大時,p=.

7.(2024遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)某職稱考試有A,B兩門課程,每年每門課程均分別有一次考試機(jī)會,若某門課程今年通過,則下一年不再參加該科考試,只要在連續(xù)兩年內(nèi)兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準(zhǔn)備今年兩門課程全部參加考試,預(yù)測每門課程今年通過的概率均為12;若兩門課程今年均沒有通過,則明年每門課程通過的概率均為23;若今年只有一門課程沒有通過,則明年這門課程通過的概率為(1)求該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的概率;(2)設(shè)該考生兩年內(nèi)參加考試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.題組二離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)8.(2022黑龍江肇東第四中學(xué)期末)設(shè)ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,則Eη等于()ξ1234P1111A.76B.176C.1739.(2022北京中國人民大學(xué)附屬中學(xué)統(tǒng)考)已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則E(X+a)=()X123P11aA.52B.92C.94題組三離散型隨機(jī)變量的均值的應(yīng)用10.(2024云南楚雄州期中)某單位有200名職工,想通過驗(yàn)血的方法篩查某種病毒攜帶者,假設(shè)攜帶病毒的人占5%,每個人是否攜帶病毒互不影響.現(xiàn)有兩種篩查方案:方案1:對每個人的血樣逐一化驗(yàn),需要化驗(yàn)200次;方案2:隨機(jī)按10個人為一組分組,然后將各組10個人的血樣混合后再化驗(yàn),如果混合血樣呈陰性,說明這10個人的血樣全部為陰性;如果混合血樣呈陽性,說明這10個人中至少有一個人的血樣呈陽性,就需要對這10個人每個人再分別化驗(yàn)一次.(1)某夫妻二人都在這個單位工作,若按照方案1,隨機(jī)進(jìn)行逐一篩查,則他們二人恰好是先篩查的兩個人的概率是多少?(2)若每次化驗(yàn)的費(fèi)用為16元,采用方案2進(jìn)行化驗(yàn)時,此單位大約需要花費(fèi)多少元?(參考數(shù)據(jù):0.9510≈0.60)11.(2023北京入學(xué)定位考試)某工廠兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種元件,元件質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分:指標(biāo)大于或等于76為正品,小于76為次品.現(xiàn)分別從兩條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取元件甲和元件乙各100件進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:測試指標(biāo)[60,68)[68,76)[76,84)[84,92)[92,100]元件甲12840337元件乙17840287(1)試分別估計(jì)生產(chǎn)一件元件甲、一件元件乙為正品的概率;(2)生產(chǎn)一件元件甲,若是正品則盈利90元,若是次品則虧損10元;生產(chǎn)一件元件乙,若是正品則盈利100元,若是次品則虧損20元,在(1)的前提下:①求生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤不少于300元的概率;②記X,Y分別為生產(chǎn)1000件元件甲和1000件元件乙所得的總利潤,試比較EX和EY的大小.(結(jié)論不要求證明)

答案與分層梯度式解析§3離散型隨機(jī)變量的均值與方差3.1離散型隨機(jī)變量的均值基礎(chǔ)過關(guān)練1.A由題意得35+a+110=1,故EX=1×35故選A.2.AXY的分布列為XY124Pp(1-p)p2+(1-p)2p(1-p)E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,EX=2-p,EY=p+1,所以Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.故選A.3.C由題意得,X的可能取值為2,3,4,則P(X=2)=1C因此X的分布列為X234P111EX=2×16故選C.4.答案2.44解析由題意知,X的可能取值為1,2,3,則P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8=0.64,所以EX=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.5.答案10.8解析由題中兩種股票每股收益的分布列可知,EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(萬元),EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(萬元),所以兩種股票的收益期望和為aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(萬元).6.答案1解析設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為2,3,P(X=2)=p2+(1-p)2,P(X=3)=C21p所以X的分布列為X23Pp2+(1-p)22p(1-p)所以EX=2p2+2(1-p)2+6p(1-p)=-2p-122+52,7.解析(1)設(shè)該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱為事件A,則P(A)=12(2)由題意得,X的可能取值為2,3,4,則P(X=2)=12P(X=3)=12P(X=4)=1-所以X的分布列為X234P111EX=2×148.DEξ=1×16+2×16+3×故選D.9.C依題意可得14+12+a=1,解得a=14,所以EX=1×14+2×110.解析(1)由題意得,他們二人恰好是先篩查的兩個人的概率P=C2(2)按方案2,設(shè)每組需要化驗(yàn)的次數(shù)為X,則X的可能取值為1,11.P(X=1)=(1-0.05)10=0.9510≈0.60,P(X=11)=1-0.60=0.40,所以X的分布列為X111P0.600.40EX=1×0.60+11×0.40=5.總的化驗(yàn)次數(shù)為20010故此單位大約需要花費(fèi)100×16=1600(元).11.解析(1)抽取的100件元件甲中正品的頻率為40+33+7100=45,抽取的100件元件乙中正品的頻率為40+28+7100=3(2)①設(shè)生產(chǎn)的5件元件乙中正品的件數(shù)為x,則次品的件數(shù)為5-x,由題意知100x-20(5-x)≥300,所以x=4或x=5.設(shè)“生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤不少于300元”為事件C,則P(C)=C5②設(shè)生產(chǎn)一件元件甲所獲得的利潤為ξ元,則ξ的可能取值為90,-10,則P(ξ=90)=45所以ξ的分布列為ξ90-10P41所以Eξ=9