2012-2021年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率（精解精析）

2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編概率（精解精析）

一、選擇題

1.（2021年高考全國甲卷理科）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為

()

1224

A.-B.—C.一D.-

3535

【答案】c

解析：將4個1和2個。隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空,

若2個0相鄰，則有G=5種排法，若2個。不相鄰，則有C；=10種排法，

1（）2

所以2個0不相鄰的概率為-----=

5+1（）3

故選：C.

7

2.（2021年高考全國乙卷理科）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的

4

概率為

72322

a

A.9-B.3-2-9-

32

【答案】B

解析：如圖所示：

設(shè)從區(qū)間（0,1）,。,2）中隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/p>

Q={（x,yJ（）<x<l,l<y<2},其面積為％=lx1=1.

設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于:，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳=1（x,y）|0<x<l,l<y[2,x+,

[3323S23

即圖中的陰影部分，其面積為S,=l—-x；x==上，所以P（A）=U=*.

24432%32

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事

件。,A時應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出.

3.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為

8，〃2，〃3，〃4,且￡月=1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

r=l

A.Pi=p&=0.1,，2=P3=°，4B.Pi=P4=0.4,P2=P3=0.1

C.P]=%=0.2,〃2=P3=0.3D.P|=〃4=0.3,〃2=〃3=02

【答案】B

解析：對于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為京=(1+4)XO.1+(2+3)XQ4=2.5,

方差為s；=(1-2.5)2x0.1+(2-2.5)2x0.4+(3-2.5)2x0.4+(4-2.5)2xO.l=0.65；

對于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為焉=(1+4)X0.4+(2+3)X0.1=2.5,

方差為s；=(1—2.5)2x0.4+(2-2.5)2x0.1+(3-2.5)2x0.1+(4-2.5)2x0.4=1.85：

對于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為京=(1+4)x0.2+(2+3)x0.3=2.5,

方差為《=(1一2.5『x0.2+(2-2.5『x0.3+(3-2.5)2x0.3+(4-2.5『x0.2=1.05；

對于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為高=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,

方差為s：=(l—2.5『x0.3+(2—2.5『x0.2+(3—2.5)2x0.2+(4—2.5『x0.3=1.45.

因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每

一“重卦”由從下到上排列的6個

爻組成，爻分為陽爻“------”和陰爻“一一”，右圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)

取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()

【答案】答案：A

解析：所有的重卦共有=64個，而恰有3個陽爻的重卦有C；=20個，所以所求概率

5.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)出卷（理））某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成

員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX=2A,

P（X=4）<P（X=6）,則〃=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】B

解析：依題意可知X8（10,〃），則QX=〃pq=10x〃x（l—〃）=2.4,解得p=0.4或

p=0.6

又P（X=4）<P（X=6）,所以。p4°一〃）6<3〃6（］_#4即（］一〃）2<〃2,即

所以〃=0.6,故選B.

6.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷（理））我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界

領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是"每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"，如

30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

（）

1?1-1cl

AA.—B.—C.—D.—

12141518

【答案】c

解析：不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個，隨機(jī)選取兩

個不同的數(shù)，共有C；0=45種方法，因?yàn)?+23=11+19=13+17=30,所以隨機(jī)選取兩個

不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，故概率P=3=_L,故選c.

4515

7.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理））下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。

此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形A6C的斜邊6C,直角邊AB,

AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II.其余部分記為III.在整個圖形

中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自1,的概率分別記為匕旦,《則（）

K.P\=P?B.［=8C.2=鳥D.《=鳥+《

【答案】A

22

解析：如圖：設(shè)5C=〃,A3=c,AC=6,Acr=h^c,AS}=-x4ab=2hc,

2

SNI=；乂萬/-2bc

S..=—x7vc2+—7rb2-S...=—x7cc2+—7rb2--7va2+2bc=2bc

"22"222

/.￥=S”，；.P[=P",故選A.

8.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科）如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)

切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此

點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為.由圖形的對稱性

可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得,

此點(diǎn)取自黑色部分的概率是，選B.

秒殺解析：由題意可知，此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例，由

圖可知其概率,故選B.

【考點(diǎn)】幾何概型

【點(diǎn)評】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面

積、體積或時間），其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計算.

9.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I[卷理科）從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2〃個數(shù)斗，々，…，X”，%，為，…，

%,構(gòu)成〃個數(shù)對（％，x）,（X2,y2）,其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共

有加個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率兀的近似值為（）

4"2n4m2m

A.6B.團(tuán)C.〃D.〃

【答案】C

【解析】幾何概型問題：樣本空間w=｛（x,y）|x撾0,l],y[01]）其面積為：Sw=1

事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對”對應(yīng)的集合為：

A=｛（x,y）|Y+y2<]且X撾0,i],y[01|）

其對應(yīng)區(qū)域面積為：s.=2,所以P（A）=y

A4SAArn

4/77

所以p=—,故選C.

n

10.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至

8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10

分鐘的概率是（）

1123

（A）-（B）-（0-（D）-

3234

【答案】B

【解析】如圖所示，畫出時間軸：

小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC或03時，

才能保證他等車的時間不超過10分鐘

根據(jù)幾何概型，所求概率尸=3112=4.故選兒

402

11.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已

知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試

的概率為（）

A.0.648B.432C.0.36D.0.312

【答案】A

解析：根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測試的概率為第0.62x0.4+0.63-0.648,

故選A.

考點(diǎn)：本題主?？疾楠?dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與互斥事件和概率公式

12.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率

是0.75,連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣

質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D,0.45

【答案】A

解析：設(shè)A="某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則

P（B|A）==絲=08,故選A.

P（A）0.75

考點(diǎn)：（1）條件概率的求法；。

難度：B

備注：易錯題

13.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周

六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率（）

A.B.C.D.

【答案】D

解析：4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動共有種，

周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種，

則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為;或間接解法：4位同學(xué)都在周六或周日參加

公益活動有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為;選D.

考點(diǎn)：（1）古典概型的概率（2）分類討論思想

難度：B

備注:高頻考點(diǎn)

二、填空題

14.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國1卷理科）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)

贏得四場勝利時，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主

主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果

相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是.

【答案】答案：0.18

解析：因?yàn)榧钻?duì)以4：1獲勝，故一共進(jìn)行5場比賽，且第5場為甲勝，前面4場比賽甲輸

一場，

若第1場或第2場輸1場，則6=C；x0.6x0.4x0.52x0.6=0.072,

若第3場或第4場輸1場，則g=O.62XC；XO.5XO.5XO.6=O.1O8,

所以甲以4：1獲勝的概率是8+鳥=0.18.

15.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，

有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則-

【答案】

【命題意圖】本題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特征，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

【解析】隨機(jī)變量，

【知識拓展】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題，正態(tài)分布和二項(xiàng)分

布都以小題出現(xiàn)，且在基礎(chǔ)題位置，難度較低，在平時復(fù)習(xí)時不宜研究難題.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的期望與方差

【點(diǎn)評】判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：

(1)一是是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為P.

二是隨機(jī)變量是否為在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事

件恰好發(fā)生次的概率.

16.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)從〃個正整數(shù)1,2,???〃中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出

的兩數(shù)之和等于5的概率為‘，則"=________.

14

【答案】8

解析：由題意，取出的兩個數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況，.?.在〃個數(shù)中任意取出

兩個不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是1)=28,：.n=8.

考點(diǎn)：(1)10.5.2古典概型的概率問題：

難度：B

備注：高頻考點(diǎn)

17.(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某個部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或

元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：

小時)均服從正態(tài)分布N(1000,SO。)，且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使

用壽命超過1000小時的概率為

_3

【答案】-

8

解析：三個電/元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N(1000,50b

得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為p=；

設(shè)A=｛超過1000小時時，元件1、元件2至少有一個正常),B=｛超過1000小時時，元件3

正常｝,C=｛該部件的使用壽命超過1000小時｝則

超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率P(A)=l-(l-p)2=］，

4

而P(B)=；.

313

那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=-x-=-

428

考點(diǎn)：(1)10.4.3互斥事件、對立事件的概率：(2)10.9.2相互獨(dú)立事件的概率；(3)

10.9.7服從正態(tài)分布的概率計算

難度：B

備注：高頻考點(diǎn)

三、解答題

18.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累

計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪

空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩

人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比

賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為義，

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率.

137

【答案】（1）—;（2）—；（3）—.

16416

1

【解析】（1）記事件M:甲連勝四場，則尸（M）=

（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件。為丙輸,

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

P=P（A8A8）+P（AC4C）+P（BCBC）+P（BA3A）=4x（g）=；

3

所以，需耍進(jìn)行第五場比賽的概率為P=l-P'=-；

4

（3）記事件A為甲輸，事件3為乙輸，事件C為因輸,

記事件M:甲贏，記事件N:丙贏，

則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC.BCBAC,

所以，甲贏概率為=+7x（1）=*?

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，

o7

所以丙贏的概率為P（N）=l-2x^=布.

【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考

查計算能力，屬于中等題.

19.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國U卷理科）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成

10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)

進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的

結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

⑴求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

【答案】⑴0.5；⑵0.1.

【官方解析】

（1）X=2就是10:10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或

者均由乙得分.因此P（X=2）=0.5x0.4+（1—0.5）x（l-0.4）=0.5.

（2）X=4且甲獲勝，就是10:10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的

得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.

因此所求概率為

[0.5x（l-0.4）+（1-0.5）x0.4]x0.5x0.4=0.1.

【分析】

（1）本題首先可以通過題意推導(dǎo)出P（X=2）所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”,

然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；

（2）本題首先可以通過題意推導(dǎo)出P（X=4）所包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩

球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.

【解析】。）由題意可知，所包含的事件為''甲連贏兩球或乙連贏兩球”，

所以.

（2）由題意可知，P（X=4）包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分"

所以.

【點(diǎn)評】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題

的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題.

20.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道

哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對

比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，

再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試

驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定，對于每輪試驗(yàn)，若施以甲

藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠

治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種

藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為c和￡,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，P,々=0,1,,8)表示“甲藥的累計得分為i時，

最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0,ps=1,p,=apiA+bpt+cpM

(i=l,2,,7).

其中a=P(X=—1),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,￡=0.8.

⑴證明：｛Pm—pJ(i=0』,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求并根據(jù)Pq的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【答案】(1)解：X的所有可能取值為一1,0,1,

p(X=—1)=(1—2)4，P(X=0)=郵+(1—a)(l—￡),P(X=l)=a(l-/7).

所以X的分布列為

X-101

p(1一。)￡加+(1—a)(l—4)

(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此Pj=0.4/2,+0.5Pi+Q.lpM,故0.l(p,.+1-p,)=0.4(p,.-p,_,),即

PHI-Pi=4(Pi-Pi).

又因?yàn)镻/PO=PIHO,所以.}?=(),1,2,,7)為公比為4,首項(xiàng)為P1的等比數(shù)

列.

(ii)由(i)可得

48-1

+

Pi=Pg-Pl+Pl-P6+Pl-Po+PO=(。8一。7)+(27一口6)++(P「%)=工—Pl

由于P8=l，故P]=f3-，所以

82148-1

/、、、44-11

PA=（P4-P3）+（P3-02）+（P2一回）+（PI一％）=-^—PI=—■

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治

愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為04=擊土0.0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非

常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.

21.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（理））（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投

資額y（單位：億元）的折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量r的兩個線性回歸模

型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量f的值依次為1,2,,17）建立模型①：

j=-30.4+13.5f；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量/的值依次為1,2,,7）建立模

型②：y=99+17.5z.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

【答案】解析：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

y=-30.4+13.5xl9=226.1（彳乙元）.

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

3=99+17.5x9=256.5（億元）.

（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

理由如下：

（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線

J,=-30.4+13勺上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好

地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，的變化趨勢.2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直

線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，，利用

2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型?=99+173可以較好地描述2010年以后的環(huán)境

基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

(ii)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)

測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用

模型②得到的預(yù)測值更可靠.

以上給出了2種理由，考生答出其中一種或其他合理理由均可得分.

22.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1(理))(12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一

箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，

先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)

每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為〃(0<〃<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求/(p)的最大值點(diǎn)Po.

⑵現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以⑴中確定的P。作為p的值.己

知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支

付25元的賠償費(fèi)用.

⑴若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

【答案】解析：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/5)=亡0〃2(1-〃尸.

因此f'(p)=C；°[2p(l-—18.2(1-p)q=2C；°M1-P)"d-10p).

令/'(P)=。，得p=0.L當(dāng)pe(0,0.1)時，f'(p)>0；當(dāng)pe(0.1,l)時,f'(p)<0.

所以/(p)的最大值點(diǎn)為

(2)由(1)知,p=0.1.

(i)令y表示余下的iso件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知丫：8(180,0.1),

X=20x2+25?,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25/)=40+25EK=490.

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

23.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢

驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),

可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的

數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（ii）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計算得,，其中為抽取的第個零件的尺寸,.

用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天

的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，貝I,,.

【答案】（1）,；（2）詳見解析.

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件知一個零件尺寸在之內(nèi)的概率為，則零件的尺寸在之外的概率為,

而,進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.（2）⑴判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天

內(nèi)抽取的個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率大還是小,若小即合理；（ii）根據(jù)題設(shè)條件

題出的估計值和的估計值,剔除之外的數(shù)據(jù),算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計值,剔除之

外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方法,即為的估計值.

【解析】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在之外的概

率為O0026

故.因此.

的數(shù)學(xué)期望為.

（2）⑴如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出

現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有

理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行

檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

（ii）由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需

對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

因此的估計值為

剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計值為.

【考點(diǎn)】正態(tài)分布，隨機(jī)變量的期望和方差.

【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平，求

解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)

變量的所有取值,然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應(yīng)的

分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過一次,尤其是正態(tài)分布的

原則.

24.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)IH卷理科）某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本

每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)

往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位:。C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求

量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求

量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下

面的頻數(shù)分布表：

最[10,15[15,20[20,25[25,30[30,35[35,40

高))))))

氣

溫

天216362574

數(shù)

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位:瓶）的分布列；

（H）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量

n（單位:瓶）為多少時,丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

【答案】（I）分布列略；（II）n=300時,丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元.

【解析】（1）依題意可知的所有可能取值為

其中,，

所以的分布列為

X200300500

122

P———

555

（2）①當(dāng)時:，此時，當(dāng)時取到.

②當(dāng)時：

若，則，

若時，則

若時,則

的分布列為

X800-2n2n

j_22

P

5

此時，當(dāng)時取到.

③當(dāng)時,若，則

若時,則

若時,則

的分布列為

X800-2n1200-2/12n

122

p———

555

二阮）

④當(dāng)時，易知一定小于③的情況.

綜上,當(dāng)為瓶時,的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望；

【點(diǎn)評】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解

兩種特殊的概率分布一一兩點(diǎn)分布與超幾何分布；并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是0=1,2,）;

二是檢驗(yàn)分布列的正誤.

25.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）（本題滿分12分）某險種的基本保費(fèi)為"（單位：元），繼續(xù)

購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如

下:

上年度出險次

01234>5

數(shù)

0.85。1.25a1.15a

保費(fèi)a1.5a2a

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出險次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

⑴求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

(II)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；

(川)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

3

【答案】(1)0.55；(2)—；(3)

【解析】(I)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)

且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(II)設(shè)3表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)

旦僅當(dāng)?年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15,

P(AB)P(B)().15_3

又「(B|A)

P(A)-P(A)~055-TT

3

因此所求概率為二.

11

(III)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為

X0.85aCl1.25a\.5a1.75a2a

P0.300.150.200.200.100.05

E(X)=0.85a?0.30a?0.151.25a?0.201.5a?0.201.75。倉。10+勿0.05=1.23a

因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為：工也=1.23.

a

26.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科)(本小題滿分12分)某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使

用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，

每個200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)

器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的

易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

891011更換的易損零件數(shù)

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記

X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零

件數(shù).

⑴求X的分布列；

（II）若要求P（X4〃）20.5,確定〃的最小值；

（川）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應(yīng)選

用哪個？

【答案】⑴

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

（II）19（川）〃=19

【官方解答】⑴由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為

8,9,10,11的概率分別為O2,0.4,0.2,0.2.從而

p（X=16）=0.2x0.2=0.04,P（X=17）=2x0.2x0.4=0.16,

X=18）=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24

p（X=19）=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24,

P（X=20）=2x0.4x0.2+0.2x0.2=0.2

P（x=21）=2x0.2x0.2+0.2x0.2=0.08，P（x=22）=0.2x0.2=0.（M

所以X的分布列為

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

(II)由⑴得尸(xW18)=0.44,P(xW19)=0.68,故〃的最小值為19

(川)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)

當(dāng)”=19時，

￡r=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08+(19x200+3x500)xO.(M=4040

當(dāng)“=20時，

Er=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.

要令P(xW“)20.5,0.04+0.16+0.24<0.5,+0.16+0.24+0.24三0.5

則〃的最小值為19

可知當(dāng)〃=19時所需要的費(fèi)用的期望小于當(dāng)〃=20時所需要的求用的期望.?.故應(yīng)選

〃=19

【民間解答】⑴每臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11

記事件A,.為第一臺機(jī)器3年內(nèi)換掉i+7個零件(i=1,2,3,4)

記事件先為第二臺機(jī)器3年內(nèi)換掉z+7個零件(j=1,2,3,4)

由題知P(A)=P(A)=P(A)=P(4)=P(4)=P(&)=0.2,

P(&)=P⑻=0.4

設(shè)2臺機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為X

則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22

p（x=16）=P⑷P（4）=02x0.2=0.04

p（X=17）=P（A）P（3j+P（A2）P（4）=0.2x0.4+0.4x0.2=0.16

P（X=18）=P（A）P（4）+P（4）P（B2）+P（A,）P（4）=0.2X0.2+0.2X0.2+0.4X0.4=0.24

P（X=19）=P（A）P（鳥）+P（4）P（員）+P（4）P（52）+P（A,）P（4）

=0.2X0.2+0.2X0.2+0.4X0.2+0.2X0.4=0.24

P（X=20）=P（4）P（8j+P（A）P⑻+P（A）/J（82）=04X0.2+0.2X0.4+0.2X0.2=0.2

P（x=21）=P（$）P（6）+P（A,）2闖=0.2x0.2+0.2x0.2=0.08

P（x=22）=P（4）P⑸=0.2x0.2=0.04

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

⑵要令P（xW〃）N0.5，0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.240.5

則”的最小值為19.

⑶購買零件所需費(fèi)用含兩部分：

一部分為購買機(jī)器時購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時額外購買的費(fèi)用

當(dāng)”=19時，費(fèi)用的期望為19x200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4040

當(dāng)〃=20時，費(fèi)用的期望為20x200+500x0.08+1000x0.04=4080

所以應(yīng)選用〃=19.

27.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）（本題滿分12分）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,

3兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（I）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度

評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；

如也區(qū)8地區(qū)

4

5

6

7

8

9

(H)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于8地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的

評價結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的

概率.

【答案】(1)詳見解析;(II)0.48.

解析：(I)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下

通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均

值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.

(II)記Cm表示事件：“A