蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練專題38反比例函數(shù)圖象研究之進階(原卷版+解析)

專題38反比例函數(shù)圖象研究之進階1．（2022秋·山東威?！ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）讓我們一起用描點法探究函數(shù)y＝的圖象性質(zhì)，下面是探究過程，請將其補充完整：（1）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是；根據(jù)取值范圍寫出y與x的幾組對應(yīng)值，補全下面列表：x…﹣6﹣4﹣2﹣1.5﹣111.5246…y…11.536641.51…（2）如圖，在平面直角坐標系中，描出了上表中各組對應(yīng)值為坐標的點．請你根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）觀察畫出的函數(shù)圖象，寫出：①y＝5時，對應(yīng)的自變量x值約為；②函數(shù)y＝的一條性質(zhì)：．2．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）小聰在學(xué)習(xí)過程中遇到了一個函數(shù)，小聰根據(jù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了探究．他先通過列表，并描出如圖所示的圖像上的部分點．(1)請你幫助小聰畫出該函數(shù)的圖像；(2)該函數(shù)圖像可以看成是由的圖像平移得到的，其平移方式為；(3)直接寫出不等式的解集為．3．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究了函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．其探究過程如下：(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，請?zhí)畛霰砀裰械目沼嗖糠旨矗簒…－101345…y…－1－22▲…描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整；(2)通過觀察圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①；②．(3)函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過的變化或得到y(tǒng)＝的圖，這是因為．4．（2021·河南·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)y=x+的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整．x…﹣3﹣2﹣1--123…y…-m﹣2--2…（1）自變量x的取值范圍是，m=．（2）根據(jù)（1）中表內(nèi)的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，畫出函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）請你根據(jù)函數(shù)圖象，寫出兩條該函數(shù)的性質(zhì)；（4）進一步探究該函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)：①方程x+=3有個實數(shù)根；②若關(guān)于x的方程x+=t有2個實數(shù)根，則t的取值范圍是．5．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）“卓越數(shù)學(xué)興趣小組”準備對函數(shù)圖像和性質(zhì)進行探究，他們制定了以下探究步驟：(1)該小組認為此函數(shù)與反比例函數(shù)有關(guān)，于是他們首先畫出了反比例函數(shù)y＝的圖像（如圖1），然后畫出了的圖像，請在圖1中畫出此圖像（草圖）．(2)他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像可以由y＝的圖像平移得到，請寫出平移過程．(3)他們發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)函數(shù)圖像畫出函數(shù)的圖像，請在圖2中畫出此圖像（草圖），并寫出其中的兩條函數(shù)性質(zhì)．(4)他們研究后發(fā)現(xiàn)，方程中，隨著a的變化，方程的解的個數(shù)也會有所變化，請結(jié)合圖像，就a的取值范圍討論方程解的情況．6．（2021春·江蘇南京·八年級南師附中新城初中?？计谀﹩栴}：我們已經(jīng)知道反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，那么函數(shù)y＝的圖象是怎樣的呢？【經(jīng)驗】（1）我們在研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的時候是從以下兩個方面來探究的：①由數(shù)想形：先根據(jù)表達式中x、y的數(shù)量關(guān)系，初步估計圖象的基本概貌．如：形狀（直線或曲線）；位置（所在區(qū)域、與直線或坐標軸的交點情況）；趨勢（上升、下降）；對稱性等．②描點畫圖：根據(jù)已有的函數(shù)畫圖的經(jīng)驗，利用描點畫圖．（2）我們知道，函數(shù)y＝的圖象是如圖1所示的兩條曲線，一支在過點(﹣1，0)且平行于y軸的直線的右側(cè)且在x軸的上方，另一支在過點(﹣1，0)且平行于y軸的直線的左側(cè)且在x軸的下方．【探索】請你根據(jù)以上經(jīng)驗，研究函數(shù)y＝的圖象和性質(zhì)并解決相關(guān)問題．（1）由數(shù)想形：；（請你寫出兩條）．（2）描點畫圖：①列表：如表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝；b＝；x…﹣7﹣6﹣5﹣4﹣2﹣10124567…y…a236﹣6﹣3b﹣3﹣6632…②描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值(x，y)，在平直角坐標系中描出各點．③連線：用平滑的曲線順次連接備點，請你把圖象（如圖2）補充完整．【應(yīng)用】觀察你所畫的函數(shù)圖象，解答下列問題：（3）若點A(a，c)，B(b，c)為該函數(shù)圖象上不同的兩點，則a+b＝；（4）直接寫出當≥﹣2時，x的取值范圍為．7．（2021·河南焦作·統(tǒng)考一模）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小航根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究下面是小航探究的過程．請補充完整：（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是___________．（2）下表是與的幾組對應(yīng)值…023456……042…則的值為_________．（3）如圖所示在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出了圖象的一部分，請根據(jù)剩余的點補全此函數(shù)的圖象；（4）觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：________；（5）若函數(shù)的圖象上有三個點，且，則之間的大小關(guān)系為________．8．（2021·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y=，的圖象和性質(zhì)進行了探究探究過程如下，請補充完成：（1）函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值．請直接寫出m，n的值：m=；n=．x…﹣2﹣10n234…y…m0﹣1﹣3532…（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）通過觀察函數(shù)的圖象，小明發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象形狀相同，是中心對稱圖形，且點（﹣1，m）和（3，）是一組對稱點，則其對稱中心的坐標為．（5）當2≤x≤4時，關(guān)于x的方程kx+=有實數(shù)解，求k的取值范圍．9．[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)](1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是；(2)下列四個函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是；(3)對于函數(shù)，求當時，y的取值范圍．請將下列的求解過程補充完整．解：∵∴．∵，∴．[拓展運用](4)若函數(shù)，則y的取值范圍．10．（2022秋·山東青島·九年級校考期末）我們知道，函數(shù)（，，）的圖象是由二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到；類似地，函數(shù)（，，）的圖象是由反比例函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到，其對稱中心坐標為．理解應(yīng)用函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移______個單位，再向上平移______個單位得到，其對稱中心坐標為______．靈活應(yīng)用如圖，在平面直角坐標系中，請根據(jù)所給的的圖象畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)該圖象指出，當在什么范圍內(nèi)變化時，？實際應(yīng)用某老師對一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進行跟蹤研究，假設(shè)剛學(xué)完新知識時的記憶存留量為1，新知識學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時間為，發(fā)現(xiàn)該生的記憶存留量隨變化的函數(shù)關(guān)系為；若在時進行第一次復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)他復(fù)習(xí)后的記憶存留量是復(fù)習(xí)前的2倍（復(fù)習(xí)的時間忽略不計），且復(fù)習(xí)后的記憶存留量隨變化的函數(shù)關(guān)系為，如果記憶存留量為時是復(fù)習(xí)的“最佳時機點”，且他第一次復(fù)習(xí)是在“最佳時機點”進行的，那么當為何值時，是他第二次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”？11．（2022秋·北京東城·九年級景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小亮根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小亮的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)中自變量x的取值范圍是；(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值．x…013456…y…0m…則m的值為；(3)在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；(4)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)下列特征：①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心的坐標是；②該函數(shù)的圖象與過點且平行于y軸的直線越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線越來越靠近而永不相交．12．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；(2)探究函數(shù)性質(zhì)，請寫出函數(shù)y＝-|x|的一條性質(zhì)：；(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程-|x|＝5的解；②寫出不等式-|x|≤1的解集．13．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下：(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下面是x與y的幾組對應(yīng)值，其中______．…-4-2-1124……-2…②描點：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)描點，請補充描出點；③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整；(2)探究函數(shù)性質(zhì)按要求填寫函數(shù)性質(zhì)：①對稱性：______．②最值：時，此函數(shù)有最______值（填大或小）③增減性：若y隨x增大而減小，則x的值范圍是______．(3)函數(shù)圖象和性質(zhì)的運用已知矩形ABCD一邊的長為x，面積為1，相鄰兩邊之和為y，當______時，y有值最?。?4．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）商丘市睢縣古稱襄邑，西漢時期為全國織錦生產(chǎn)供應(yīng)中心，朝廷專門在此設(shè)服官，負責文武大臣官服供應(yīng)．已知一塊長方形織錦的兩邊長分別是2米與3米，現(xiàn)在要把這個長方形織錦按照如圖1的方式擴大到面積為原來的2倍，設(shè)原長方形織錦的一邊加長a米，另一邊加長b米，可得a與b之間的函數(shù)關(guān)系式b＝－2，某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對此函數(shù)進一步推廣，得到更一般的函數(shù)y＝－2，現(xiàn)對這個函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，研究過程如下，請補充完整：(1)類比反比例函數(shù)可知，函數(shù)y＝－2的自變量x的取值范圍是________，這個函數(shù)值y的取值范圍是________．(2)“數(shù)學(xué)興趣小組”進一步思考函數(shù)y＝|－2|的圖象和性質(zhì)，請根據(jù)函數(shù)y＝－2的圖象（圖2），畫出函數(shù)y＝|－2|的圖象；(3)根據(jù)函數(shù)y＝|－2|的圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)；(4)根據(jù)函數(shù)y＝|－2|的圖象解答下列問題：①方程|－2|＝0有________個解，該方程的解是________；②如果方程|－2|＝a有兩個不相等解，則a的取值范圍是________．專題38反比例函數(shù)圖象研究之進階1．（2022秋·山東威海·九年級?？茧A段練習(xí)）讓我們一起用描點法探究函數(shù)y＝的圖象性質(zhì)，下面是探究過程，請將其補充完整：（1）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是；根據(jù)取值范圍寫出y與x的幾組對應(yīng)值，補全下面列表：x…﹣6﹣4﹣2﹣1.5﹣111.5246…y…11.536641.51…（2）如圖，在平面直角坐標系中，描出了上表中各組對應(yīng)值為坐標的點．請你根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）觀察畫出的函數(shù)圖象，寫出：①y＝5時，對應(yīng)的自變量x值約為；②函數(shù)y＝的一條性質(zhì)：．【答案】（1），4，3；（2）圖象見解析；（3）①或．（只要不超過范圍都可估計）；②圖象關(guān)于軸對稱，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）分母不為0，將，分別代入函數(shù)解析式求出；（2）用平滑的曲線連接成圖象；（3）①結(jié)合（1）中表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象進行估計；②可以從對稱性、增減性等方面入手分析，合理即可．【詳解】解：（1）分母不為0，，自變量的取值范圍為，當時，，當時，．故答案為：，4，3．（2）用平滑的曲線連接即可，如右圖所示．（3）①由圖可知，時，，時，，時，或，時，自變量的值約為或．（只要不超過范圍都可估計）②圖象關(guān)于軸對稱，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小，答案不唯一，合理即可【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫圖時要按照“列表描點連線”的順序進行．2．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）小聰在學(xué)習(xí)過程中遇到了一個函數(shù)，小聰根據(jù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了探究．他先通過列表，并描出如圖所示的圖像上的部分點．(1)請你幫助小聰畫出該函數(shù)的圖像；(2)該函數(shù)圖像可以看成是由的圖像平移得到的，其平移方式為；(3)直接寫出不等式的解集為．【答案】(1)見詳解(2)向下平移2個單位長度(3)或【分析】（1）根據(jù)畫函數(shù)圖像的步驟畫出圖像即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合畫出的函數(shù)圖像即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：畫出函數(shù)圖像如下：（2）解：該函數(shù)圖像可以看成是由的圖像平移得到的，其平移方式為向下平移2個單位長度．故答案為：向下平移2個單位長度；（3）解：由圖像可得，不等式的解集為或．故答案為：或．【點睛】本題只要考查了反比例函數(shù)的知識，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究了函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．其探究過程如下：(1)繪制函數(shù)圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，請?zhí)畛霰砀裰械目沼嗖糠旨矗簒…－101345…y…－1－22▲…描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象，請你把圖象補充完整；(2)通過觀察圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①；②．(3)函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過的變化或得到y(tǒng)＝的圖，這是因為．【答案】(1)1，見解析(2)①（圖象無限的接近于直線x=2、x軸），但與它們永遠沒有交點；②當x＞2和x＜2時，圖象y隨x的增大而減?。?3)向右平移2個單位；在函數(shù)中，把x－2視作一個整體x【分析】（1）先求出空余部分的值，再畫圖像：①在坐標系中描出各點；②把描出的點用平滑的曲線順次連接即可；（2）根據(jù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可寫出兩條性質(zhì)；（3）觀察圖象即可求得．（1）解：將x=3代入y＝得：y=1，表中空余部分的值為1；連線正確畫出圖形（如圖所示）（2）其性質(zhì)有：①（圖象無限的接近于直線x=2、x軸），但與它們永遠沒有交點；②當x＞2和x＜2時，圖象y隨x的增大而減小；故答案為：①（圖象無限的接近于直線x=2、x軸），但與它們永遠沒有交點；②當x＞2和x＜2時，圖象y隨x的增大而減小；（3）函數(shù)y=的圖象向右平移2個單位即得函數(shù)

圖象；這是因為在函數(shù)，把“x－2”視作一個整體“x”就可以了.故答案為：向右平移2個單位；在函數(shù)中，把x－2視作一個整體x．【點睛】本題考查函數(shù)的圖形及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握研究函數(shù)的方法：用列表、描點、連線作出圖象，再數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)性質(zhì)．4．（2021·河南·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)y=x+的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整．x…﹣3﹣2﹣1--123…y…-m﹣2--2…（1）自變量x的取值范圍是，m=．（2）根據(jù)（1）中表內(nèi)的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，畫出函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）請你根據(jù)函數(shù)圖象，寫出兩條該函數(shù)的性質(zhì)；（4）進一步探究該函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)：①方程x+=3有個實數(shù)根；②若關(guān)于x的方程x+=t有2個實數(shù)根，則t的取值范圍是．【答案】（1）x≠0；﹣；（2）見解析；（3）①函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱；②當x＞1時，y的值隨x值的增大而增大．（4）①2；②t＜﹣2或t＞2．【分析】（1）由分母不能為零，可得出自變量x的取值范圍；將x=-2代入解析式即可求得m的值；（2）描點、連線，畫出函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)函數(shù)的圖像，得到寫出相應(yīng)的兩條性質(zhì)即可；（4）①根據(jù)題意知方程的解，即為函數(shù)的圖像與y=3的交點的個數(shù)；②根據(jù)圖像的的位置，得到函數(shù)有兩個交點的t的取值范圍.【詳解】（1）∵x在分母上，∴x≠0．當x=﹣2時，m=y=﹣2+=﹣．故答案為x≠0；﹣；（2）描點、連線，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．（3）觀察函數(shù)圖象，可找出函數(shù)性質(zhì)：①函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱；②當x＞1時，y的值隨x值的增大而增大．（4）①方程x+=3可看成函數(shù)y=x+的圖象與直線y=3的交點的個數(shù)，∵函數(shù)y=x+的圖象與直線y=3有兩個交點，∴方程x+=3有2個實數(shù)根．故答案為2．②觀察函數(shù)圖象可知，當t＜﹣2或t＞2時，函數(shù)y=x+的圖象與直線y=t有兩個交點．故答案為t＜﹣2或t＞2．5．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）“卓越數(shù)學(xué)興趣小組”準備對函數(shù)圖像和性質(zhì)進行探究，他們制定了以下探究步驟：(1)該小組認為此函數(shù)與反比例函數(shù)有關(guān)，于是他們首先畫出了反比例函數(shù)y＝的圖像（如圖1），然后畫出了的圖像，請在圖1中畫出此圖像（草圖）．(2)他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像可以由y＝的圖像平移得到，請寫出平移過程．(3)他們發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)函數(shù)圖像畫出函數(shù)的圖像，請在圖2中畫出此圖像（草圖），并寫出其中的兩條函數(shù)性質(zhì)．(4)他們研究后發(fā)現(xiàn)，方程中，隨著a的變化，方程的解的個數(shù)也會有所變化，請結(jié)合圖像，就a的取值范圍討論方程解的情況．【答案】(1)見解析(2)向左平移1個單位，再向下平移3個單位(3)見解析(4)當a＜0時，方程無解；當a＞3或0＜a＜3時，方程有兩個解；當a＝0或a＝3時，方程有一個解【分析】（1）畫出函數(shù)的圖像即可；（2）觀察圖像即可得到結(jié)論；（3）作出函數(shù)值小于零的部分圖像關(guān)于x軸的軸對稱圖形得到函數(shù)圖像，然后根據(jù)圖像寫出兩條性質(zhì)即可；（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三種情況，分別根據(jù)函數(shù)圖像求解即可．【詳解】（1）解：如圖①所示即為所求．（2）解：將y＝的圖像向左平移1個單位，再向下平移3個單位可得y＝－3的圖像．（3）解：函數(shù)圖像如圖②，性質(zhì)如下（不唯一）：①函數(shù)有最小值，最小值為0，②當x＞1時，y隨著x的增大而增大，x＜－1時，y隨著x的增大而增大．（4）解：方程中，隨著a的變化，方程的解的個數(shù)也會有所變化當a＜0時，方程無解；當a＞3或0＜a＜3時，方程有兩個解；當a＝0或a＝3時，方程有一個解．【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的平移、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系等知識點，正確畫出函數(shù)圖像是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021春·江蘇南京·八年級南師附中新城初中?？计谀﹩栴}：我們已經(jīng)知道反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，那么函數(shù)y＝的圖象是怎樣的呢？【經(jīng)驗】（1）我們在研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的時候是從以下兩個方面來探究的：①由數(shù)想形：先根據(jù)表達式中x、y的數(shù)量關(guān)系，初步估計圖象的基本概貌．如：形狀（直線或曲線）；位置（所在區(qū)域、與直線或坐標軸的交點情況）；趨勢（上升、下降）；對稱性等．②描點畫圖：根據(jù)已有的函數(shù)畫圖的經(jīng)驗，利用描點畫圖．（2）我們知道，函數(shù)y＝的圖象是如圖1所示的兩條曲線，一支在過點(﹣1，0)且平行于y軸的直線的右側(cè)且在x軸的上方，另一支在過點(﹣1，0)且平行于y軸的直線的左側(cè)且在x軸的下方．【探索】請你根據(jù)以上經(jīng)驗，研究函數(shù)y＝的圖象和性質(zhì)并解決相關(guān)問題．（1）由數(shù)想形：；（請你寫出兩條）．（2）描點畫圖：①列表：如表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝；b＝；x…﹣7﹣6﹣5﹣4﹣2﹣10124567…y…a236﹣6﹣3b﹣3﹣6632…②描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值(x，y)，在平直角坐標系中描出各點．③連線：用平滑的曲線順次連接備點，請你把圖象（如圖2）補充完整．【應(yīng)用】觀察你所畫的函數(shù)圖象，解答下列問題：（3）若點A(a，c)，B(b，c)為該函數(shù)圖象上不同的兩點，則a+b＝；（4）直接寫出當≥﹣2時，x的取值范圍為．【答案】（1）函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象與y軸的交點為(0，﹣2)；（2）①，﹣2；②見解析；③見解析；（3）0；（4）x＜﹣3或x＝0或x＞3【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；圖象與軸的交點為；（2）通過列表、描點和連線化函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，而點與點關(guān)于軸對稱，所以與互為相反數(shù)；（4）觀察函數(shù)圖象，找出函數(shù)值大于或等于所對應(yīng)的自變量的值或取值范圍．【詳解】解：探索：（1）由數(shù)想形：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；圖象與軸的交點為，故答案為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；圖象與軸的交點為；（2）描點畫圖：①列表：把代入得，，，把入得，，，故答案為，；②描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值，在平直角坐標系中描出各點．③連線：用平滑的曲線順次連接備點，請你把圖象補充完整如圖．應(yīng)用：（3）函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，而點，為該函數(shù)圖象上兩對稱點，所以；故答案為0；（4）由圖象可知，當時，的取值范圍為或或，故答案為或或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)；會利用描點法畫反比例函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2021·河南焦作·統(tǒng)考一模）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小航根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究下面是小航探究的過程．請補充完整：（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是___________．（2）下表是與的幾組對應(yīng)值…023456……042…則的值為_________．（3）如圖所示在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出了圖象的一部分，請根據(jù)剩余的點補全此函數(shù)的圖象；（4）觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：________；（5）若函數(shù)的圖象上有三個點，且，則之間的大小關(guān)系為________．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）當時，隨增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬唬?）【分析】（1）根據(jù)分母不為0即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論；（2）將x＝5代入函數(shù)解析式中求出m值即可；（3）連點成線即可畫出函數(shù)圖象；（4）觀察函數(shù)圖象即可求解；（5）按照在圖像上的位置，標記出的位置即可比較大?。驹斀狻浚?）的分母不能為0∴，解得故答案為：（2）x=5時，故答案為：（3）如圖所示（4）當時，隨增大而減?。敃r，隨增大而減小它的圖象關(guān)于成中心對稱（答出一條合理即可）（5）根據(jù)函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：當時，隨增大而減小；當時，隨增大而減小，且x＜1時y的值永遠比x＞1的時y的值小∵∴故答案為：【點睛】本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)圖像上的點的坐標特征，函數(shù)自變量的取值范圍以及函數(shù)圖像等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用圖像法解決問題．8．（2021·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y=，的圖象和性質(zhì)進行了探究探究過程如下，請補充完成：（1）函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值．請直接寫出m，n的值：m=；n=．x…﹣2﹣10n234…y…m0﹣1﹣3532…（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）通過觀察函數(shù)的圖象，小明發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象形狀相同，是中心對稱圖形，且點（﹣1，m）和（3，）是一組對稱點，則其對稱中心的坐標為．（5）當2≤x≤4時，關(guān)于x的方程kx+=有實數(shù)解，求k的取值范圍．【答案】（1）x≠1；（2）；；（3）見解析；（4）（1，1）；（5）≤k≤．【分析】（1）根據(jù)分式有意義的條件即可解答；（2）當x=﹣1求出對應(yīng)函數(shù)值，當y=3時求出對應(yīng)x的值即可；（3）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；（4）根據(jù)函數(shù)的圖像和對稱中心的概念即可解答；（5）根據(jù)兩函數(shù)圖像的交點情況即可解答．【詳解】解：（1）函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是x≠1．故答案為x≠1．（2）x=﹣1時，y=，∴m=．當y=3時，則3=，解得x=，∴n=，故答案為，；（3）函數(shù)圖像如圖所示：（4）該函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，1）成中心對稱，故答案為（1，1）；（5）當2≤x≤4時，函數(shù)y=中，≤y≤2，把x=4，y=代入函數(shù)y=kx+得，=4k+，解得k=，把x=2，y=2代入函數(shù)y=kx+得2=2k+，解得k=，∴關(guān)于x的方程kx+=有實數(shù)解，k的取值范圍是≤k≤．【點睛】本題考查了分式有意義的條件、反比例函數(shù)的性質(zhì)、中心對稱以及運用函數(shù)圖像解不等式，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．9．[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)](1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是；(2)下列四個函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是；(3)對于函數(shù)，求當時，y的取值范圍．請將下列的求解過程補充完整．解：∵∴．∵，∴．[拓展運用](4)若函數(shù)，則y的取值范圍．【答案】(1)(2)C(3)4，4(4)或【分析】（1）分母上由未知數(shù)，根據(jù)分母不為零，求出取值范圍即可；（2）根據(jù)中以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，，圖象過一、三象限，進行判斷即可．（3）根據(jù)配方法進行作答即可；（4）分和兩種情況，利用（3）中的方法進行配方求解即可．【詳解】（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是；故答案為：；（2）∵中以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，，圖象過一、三象限可得：函數(shù)的圖象大致是C；故答案為：C；（3）解：∵∴．∵，∴．故答案為：4，4（4）①當時，∵，∴．②當時，∵，∴．故答案為：或．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟記函數(shù)的性質(zhì)，準確理解和掌握題目中給出的求函數(shù)值的取值范圍是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·山東青島·九年級校考期末）我們知道，函數(shù)（，，）的圖象是由二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到；類似地，函數(shù)（，，）的圖象是由反比例函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到，其對稱中心坐標為．理解應(yīng)用函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移______個單位，再向上平移______個單位得到，其對稱中心坐標為______．靈活應(yīng)用如圖，在平面直角坐標系中，請根據(jù)所給的的圖象畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)該圖象指出，當在什么范圍內(nèi)變化時，？實際應(yīng)用某老師對一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進行跟蹤研究，假設(shè)剛學(xué)完新知識時的記憶存留量為1，新知識學(xué)習(xí)后經(jīng)過的時間為，發(fā)現(xiàn)該生的記憶存留量隨變化的函數(shù)關(guān)系為；若在時進行第一次復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)他復(fù)習(xí)后的記憶存留量是復(fù)習(xí)前的2倍（復(fù)習(xí)的時間忽略不計），且復(fù)習(xí)后的記憶存留量隨變化的函數(shù)關(guān)系為，如果記憶存留量為時是復(fù)習(xí)的“最佳時機點”，且他第一次復(fù)習(xí)是在“最佳時機點”進行的，那么當為何值時，是他第二次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”？【答案】理解應(yīng)用：1，1，；靈活應(yīng)用：圖形見詳解,當時，；實際應(yīng)用：當時，是他第二次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”．【分析】理解應(yīng)用：根據(jù)“知識遷移”得到雙曲線的圖象平移變換的規(guī)律：上加下減．由此得到答案：靈活應(yīng)用：根據(jù)平移規(guī)律作出圖象；實際應(yīng)用：先求出第一次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”，然后代入y2，求出解析式，然后再求出第二次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”．【詳解】解：理解應(yīng)用：根據(jù)“知識遷移”易得，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，其對稱中心坐標為．故答案是：1，1，靈活應(yīng)用：將的圖象向右平移2個單位，然后再向下平移兩個單位，即可得到函數(shù)的圖象，其對稱中心是．圖象如圖所示：由，得，解得x=-2由圖可知，當時，實際應(yīng)用：解：當時，，則由，解得：，即當時，進行第一次復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)后的記憶存留量變?yōu)?，∴點在函數(shù)的圖象上，則，解得：，∴，當，解得：，即當時，是他第二次復(fù)習(xí)的“最佳時機點”．【點睛】本題主要考查了圖象的平移，反比例函數(shù)圖象的畫法和性質(zhì)，及待定系數(shù)法求解析式以及反比例函數(shù)的實際應(yīng)用問題，熟悉反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022秋·北京東城·九年級景山學(xué)校校考階段練習(xí)）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小亮根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小亮的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)中自變量x的取值范圍是；(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值．x…013456…y…0m…則m的值為；(3)在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；(4)根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)下列特征：①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心的坐標是；②該函數(shù)的圖象與過點且平行于y軸的直線越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線越來越靠近而永不相交．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)①；②【分析】（1）根據(jù)分母不為0即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論；（2）將代入函數(shù)解析式中求出值即可；（3）連點成線即可畫出函數(shù)圖象；（4）①觀察函數(shù)圖象，根據(jù)對稱中心的定義即可求解；【詳解】（1）由題意得：，解得：，故答案為：；（2）當時，，故答案為；（3）圖象如圖所示：（4）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心的坐標是．故答案為；②該函數(shù)的圖象與過點且平行于y軸的直線越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線越來越靠近而永不相交．故答案為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，函數(shù)自變量的取值范圍以及函數(shù)圖象，連點成曲線畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；(2)探究函數(shù)性質(zhì)，請寫出函數(shù)y＝-|x|的一條性質(zhì)：；(3)運用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程-|x|＝5的解；②寫出不等式-|x|≤1的解集．【答案】(1)①1；②見解析，③見解析(2)的圖象關(guān)于軸對稱軸（答案不唯一）(3)①或；②或【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點，連線即可；（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案．【詳解】（1）①列表：當x=2時，，故答案為：1；②描點，③連線如下：（2）觀察函數(shù)圖象可得：的圖象關(guān)于y軸對稱，故答案為：的圖象關(guān)于y軸對稱；（3）①觀察函數(shù)圖象可得：當y=5時，x=1或x=-1，的解是x=1或x=-1，故答案為：x=1或x=-1，②觀察函數(shù)圖象可得，當x≤-2或x≥2時，y≤1，∴的解集是x≤-2或x≥2，故答案為：x≤-2或x≥2．【點睛】本題考查了列表描點畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下：(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下面是x與y的幾組對應(yīng)值，其中______．…-4-2-1124……-2…②描點：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)描點，請補充描出點；③連線：用平滑的曲線順次連接各點，請把圖象補充完整；(2)探究函數(shù)性質(zhì)按要求填寫函數(shù)性質(zhì)：①對稱性：______．②最值：時，此函數(shù)有最______值（填