2023-2024學年山東幸福柳分高一年級上冊期中考試數(shù)學質量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年山東幸福柳分高一上學期期中考試數(shù)學質量檢測

模擬試題

一、單選題（共40分）

1.十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“="作為等號使用，后來英國數(shù)

學家哈利奧特首次使用“〉”和“〈”符號，并逐步被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響

深遠?已知區(qū)”為非零實數(shù)，且。>3則下列結論正確的是（）

A.ac1>be1B.—p->—q-C.a2>b2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)不等式的性質，結合作差法即可求解.

【詳解】對于A,當02=0時，℃2=羽=0,故A錯誤,

★一￡二宗’由于。*所以*—￡=祭>°,故B正確‘

對于B,

對于C,若。=-2力=-3,則。2=4,/=9,此時儲<〃，故C錯誤，

對于D,取。=2力=-4,則2=一2,3=一1,不滿足2>N，故D錯誤，

ab2ab

故選：B

2.下列函數(shù)中與函數(shù)N=x相等的函數(shù)是（）

A.y=（4）B.y=&C.y=ED.、=二

【正確答案】B

【分析】根據(jù)相等函數(shù)的要求一一判定即可.

【詳解】兩函數(shù)若相等，則需其定義域與對應關系均相等，易知函數(shù)N=X的定義域為R,

對于函數(shù)y=（五）2,其定義域為［0,+8）,對于函數(shù)^=工，其定義域為（y,o）u（o,+。。）,

顯然定義域不同，故A、D錯誤；

對于函數(shù)y=U=x，定義域為R，符合相等函數(shù)的要求，即B正確；

對于函數(shù)y二正二國，對應關系不同，即C錯誤.

故選：B

3.己知集合Af={(x,y)|x+y=2],N={(x,y)|x-y=4},那么集合AfcN為()

A.x=3,y=-1B.(3,-1)

C.{3,-1}D.{(3,-1)}

【正確答案】D

【分析】根據(jù)集合描述，聯(lián)立二元一次方程求解，即可得"CN.

x+y=2(x=3

【詳解】由《‘,，故"cN={(3,—1)}.

x-y=41'=一］

故選：D

4.命題的否定是()

A.3x0eR,x0-|x0|<0B,VxeR,x+|x|>0

C.3x0eR,x()-|x0|>0D.VxeR,x-|x|<0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得答案.

【詳解】命題“VxeRx—國20”的否定是"2xoeR,xo-|xo|<O-

故選:A.

5.下列命題中錯誤的是()

A.當x>0時，，Vx+-y=>2B.當x>2B寸，x+工的最小值為2

y/xx

34

C.當0<x<4時，Jx(4-x)<2D.當x<一時，2x—14------4—2

22x-3

【正確答案】B

【分析】

利用基本不等式可判斷選項A；利用對勾函數(shù)的性質可判斷選項B；利用基本不等式可判斷選項

C；利用基本不等式可判斷選項D.

【詳解】對于A,當x>0時,當且僅當x=l時取等號，正確;

對于B,當x>2時，x+—>2+—=—,錯誤;

x22

對于C,當o<x<4時，JX(4T)寸；J=2.當且僅當x=4—x,即x=2時取等號,

正確；

344

對于D,當了<—時，2x—3<0,2x—1H...........-2x—3H-------F24—4+2=—2,當且僅

22x—32x—3

當X=L時取等號，正確；

2

故選：B

“\+3a,x>0,、

6.已知函數(shù)2,八是(-8,母)上的減函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是()

[x--or+l,x<0

A?兇I-]B.((0，§1)>

,NJD.陶

【正確答案】A

【分析】

由題意可得出關于實數(shù)。的不等式組，由此可解得實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】由于函數(shù)V=/(x)是(YO,+8)上的減函數(shù)，

則函數(shù)y=x2—依+1在(-8,0)上為減函數(shù)，所以，^>0,解得a?0.

且有3。K1,解得。<一.

3

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是0,1.

故選：A.

本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.

7.定義區(qū)間(a,6),卜⑼,(a,句,[a,句的長度均為d=b-a,多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度

之和，例如，(1,2)U[3,5)的長度d=(2—l)+(5-3)=3.用區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，記

{x}=x-[x],其中xeR.設/(x)=[x].{x},g(x)=；x-l,當一左時，不等式

/(x)<g(x)解集的區(qū)間長度為■—,則實數(shù)人的最小值為().

3016

A.—B.C.6D.7

7T

【正確答案】B

【分析】根據(jù)[目的定義將/(x)<g(x)化為「x<[x]2-l,對xe[_2,-l),

XG[-1,0),依次討論，求解不等式直到滿足解集的區(qū)間長度為一，從而可求得人最小值.

L'105

【詳解】/(x)=[x].{x}=[x卜=，g(x)=gx-l,

/(x)<g(x)n[x,]x-[x]2<—x-1即X<[x]~-1,

當xe[-2,-1)時,國=-2,上式可化為—gx<3,...xe[-g,—1],其區(qū)間長度為g；

3

當xe[T,0)時,卜]=一1,上式可化為一e"。，

當xe[0,l)時,[x]=0,上式可化為...xe。；

當xc[l,2)時,[X]=1,上式可化為$<0,.?.xe0；

當xe[2,3)吐[x]=2,上式可化為§x<3,.?.xe0；

當xe[3,4)時,[x]=3,上式可化為*x<8,.?.xe3,^|,其區(qū)間長度為L

2_5)5

當xe[4,5)時,[x]=4,上式可化為gx<15,4,岑)，其區(qū)間長度為]；

當xe[5,6)時,[x]=5,上式可化為gx<24,xe5,g),其區(qū)間長度為g；

所以當xe5,y時，不等式的解集為5,y

.,.當-2<xV■一"時，不等式/(x)<g(x)解集的區(qū)間長度為1—I—I1—=,

35573105

所以實數(shù)上的最小值為”.

3

故選：B

函數(shù)新定義的題目，解題關鍵點是圍繞著新定義的概念和運算進行分析.

327n

8.已知。=ln3,b=—,c=---，貝I（）

e11

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.h<a<c,

【正確答案】A

InxinY

【分析】利用/（刈=上土的單調(diào)性比較db的大小關系，利用/,?。?上士的單調(diào)性證明

xx

現(xiàn)<1即可比較出a,b,c的大小關系.

11

【詳解】令/（X）=—,貝ij/'（X）=上二，

XX

由/'（x）>0得，xe（O,e）,由/'（x）<0得，xG（e,+<x>）,

所以/（x）在（O,e）上為增函數(shù)，在（e,+??）為減函數(shù).

11々O

因為e<3,所以史士〉史一，即±>ln3,故a<b.

e3e

因為4>JTT>所以<—^=~，所以VTTIn2<2InVF1，

所以ln2E<lnll，所以彳1<1，而。=ln3>l,所以c<a<b.

故選：A

二、多選題（共25分）

9.下列說法耳碓的是（）

A.命題“icWO,/—xzo”的否定是“Vx>0,x2-x<0”

B.若a,6,ceR,則〉c/”是“。>c”的充分不必要條件

C.““>b”是<1”的充要條件

ab

hb+m

D.若b>o>0,加〉0,則上——

aa+m

【正確答案】BD

【分析】對于A,由特稱命題否定為全稱命題分析判斷，對于B,根據(jù)充分條件和必要條件的定

義分析判斷，對于C,舉例判斷，對于D,作差法分析判斷

【詳解】對于A,命題“HxVO,》2一'20''的否定是“a40,x2-x<0，,<所以A錯誤，

222

對于B,當a/〉。/時，b>0<a>c,而當a>c時，ab>cb,

所以“而2>必2”是"“>。''的充分不必要條件，所以B正確，

對于C,若a=l,b=-2,則_L=1>L=-L,所以“。>6”不是“L<1?的充要條件，所以c錯

ab2ab

誤，

對于D,因為6>a>0,m>0,所以>0,。+加>0,

6b+mm(b-a)..bb+m

所以--------=-----;>0,所以一〉-----，所以D正確，

aa+ma(a+m)aa+m

故選：BD

10.下列命題本硬的是()

A.歹=」一的圖像是由y=1的圖像向左平移一個單位長度得到的

x—1x

B.歹=1+，的圖像是由y=4的圖像向上平移一個單位長度得到的

c.函數(shù)歹=/(%)的圖像與函數(shù)歹=/(—X)的圖像關于N軸對稱

1-r2

D.y=——的圖像是由歹=—的圖像向左平移一個單位長度，再向下平移一個單位長度得到的

1+XX

【正確答案】BCD

【分析】由函數(shù)的平移法則和對稱性可直接判斷A,B,C選項，采用分離常數(shù)法化簡函數(shù)，再結

合函數(shù)平移法則可判斷D選項.

【詳解】y一的圖像是由了=，的圖像向右平移一個單位長度得到的，故A項錯誤；

X-1x

歹=1+」的圖像是由V=1的圖像向上平移一個單位長度得到的，故B項正確；

Xx

函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)y=/(—X)的圖像關于V軸對稱，故C項正確；

V=1二土=一(”+1)+2=_2—一1,故丁=±之的圖像是由丁=2的圖像向左平移一個單位長

"l+x1+xx+11+XX

度，再向下平移一個單位長度得到的，故D項正確.

故選：BCD

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①VxeR,

/(-X)=-/(%)；②VX],x2G[0,+OO),當玉w%2時，—~-———<0.則下列選項成立

x2-x}

的是()

A./(O)=OB./(-1)<-/(3)

C.若V(x)<0,則xe(0,+oo)D.若/(加一1)<0,則加€(-8,1)

【正確答案】AB

【分析】對A：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，賦值即可求得結果；

對B：利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性即可判斷；

對C：利用函數(shù)性質，分類討論，即可求得不等式解集；

對D：由/(0)=0,結合函數(shù)單調(diào)性，即可求得不等式解集.

【詳解】由VxeR,/(—x)=—/(x)得：函數(shù)〃x)是R上的奇函數(shù)；

由VX[,x2G[0,4-00),X,X2,"%)/(xJ<0得:/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減;

又y=/(x)是連續(xù)函數(shù)，故可得/(x)在R上單調(diào)遞減：

對A：/(—x)=—/(x),令x=0,故可得/(O)=O,A正確;

對B：/(-1)<-/(3).即/(-1)</(一3),

由歹=/(x)在R上單調(diào)遞減，可得-1)</(一3),故B正確；

對，C：對獷"<x)<0,當x>0時，/(x)<0；當x<0時，/(x)>0；

由y=/(x)在R上單調(diào)遞減，且/⑼=0可知，

獷(x)<0的解集為{X|XN0},故C錯誤；

對D：/(w-l)<0,即/(m一1)</(0),則加―1>0,解得加>1,故D錯誤；

故選：AB.

12.設。＞1力＞1,且時一(a+6)=1,那么()

A.a+b有最小值2(忘+1)

B.a+6有最大值(JI+1/

C.成有最大值3+2及.

D.ab有最小值3+2C.

【正確答案】AD

【分析】直接利用基本不等式分別求出a+b和必的范圍，對照四個選項進行判斷.

【詳解】Qa>\,b>l,

a+h..2y[^b'當a=b時取等號，

\=ab-(a+b)..ab-2y/ab,解得..垃+1,

???欣.(拒+1>=3+2近，

ab有最小值3+2&；

???岫”(學了,當a=6時取等號，

\=ab-(a+b)?(-^)2-(a+b),

(a+b)~—4(a+b)...4,

:.[(a+b)-2]2..8,解得a+b-2..2&，即a+6..2(五+1)，

：.a+b有最小值2(JI+1).

故選：AD

13.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓

并列為七界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設xeR,用[可表示不超過x的最大整

數(shù)，則^=兇稱為高斯函數(shù)，如：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生

活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)''進行計費，以下關于“取整函

數(shù)”的描述，正確的是()

A.VxeR,[2刃=2團

C.Vx.yeR,若[x]=3，則有x-y>T

D.方程x2=3[x]+l的解集為｛J7,而｝

【正確答案】BCD

【分析】對于A：mx=-.不成立；

2

對于B：設[x]=x-a,ae[O,l),討論a&0,；)與aw$1)求解;

對于C：x=m+<1fy=m-^-s,0<s<1,由|x-y|=得證;

對于D：先確定xNO,將x2=3[x]+l代入不等式[x『<x2<([x]+l)2得至lj[x]的范圍，再求

得X值.

【詳解】對于A：=p[2x]=[l]=l,2[x]=2||l=0,故A錯誤;

I

對于B：設[x]=x-a,ae[0,l),;.[x]+XH—=印+[x]+Q+5=2[x]+a+-

2

[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],

當aw0,；)時，a+gwg，l]，2ae[0,1),則a+；=0，[2a]=0

則[x]+x+-=2[x],[2x]=2[x],故當ae0-]時[x]+x+-=2[x]成立.

2_2)2

當ae；，D時,2ae[1,2),貝ij。+g=1

[2a]=1

則[x]+x+；=2[x]+l,[2x]=2[JC]+1,故當aeg,l)時[x]+x+；=2[x]成立.

綜上B正確.

對于C：設[x]=[y]=〃?，則x=m+f,04f<1,y=m+s,0<s<1,則

\x-y\=\(m+t)-(nz+s)|=|f-j|<l,因此x-十>一1,故C正確；

對于D：由4=3國+1知,一一定為整數(shù)且3[x]+l>0,

所以[刃2-；，所以國20,所以xNO,

由［x］2<x2<(［x］+l)2得［x］2<3［^+1<(［%］+1)2,

由［x］2<3［x］+l解得上手《卜卜造叵°3.3，只能取0?卜］<3,

由3國+1<(兇+1)2解得國>1或區(qū)<0(舍),故2?［小3,

所以［x］=2或國=3,

當［可=2時x=、/7>當［可=3時％=>/10,

所以方程f=33+1的解集為｛J7,而｝,

故選：BCD.

高斯函數(shù)常見處理策略：

(1)高斯函數(shù)本質是分段函數(shù)，分段討論是處理此函數(shù)的常用方法.

(2)由x求［x］時直接按高斯函數(shù)的定義求即可.由［x］求x時因為x不是一個確定的實數(shù)，可設

x=［x］-a,處理.

(3)求由［可構成的方程時先求出［x］的范圍，再求x的取值范圍.

(4)求由［x］與x混合構成的方程時，可用［x］<x<［x］+l放縮為只有卜］構成的不等式求解.

(注意：考生需將填空題的答案及解體步驟寫到答題卡的標準區(qū)域，只寫答案沒有步驟則視為無

效答案，請考生須知)

三、填空題(共20分)

14.函數(shù)骨=Jx?-1的定義域是.

【正確答案】［1,+8)

【分析】根據(jù)解析式建立不等式求解即可.

【詳解】由/一120,即dzl，解得x21,

即函數(shù)y=J7二i■的定義域是［L+8).

故［1,+8)

1212一

15.已知。>0,b>0,aN—I—,bN—I—,則a+6的取小值為______.

ahha

【正確答案】2百

33

【分析】由已知可得“+bN—+—,結合基本不等式求(a+b)2的最小值，再求。+分的最小值.

ah

【詳解】因為—I—，bN—I—，

ahha

33

所以Q+62—+—,又a>0,b>0,

ah

所以(a+b)2z士+=(a+b)=6+工+羋212,當且僅當。=6=百時取等號.

\abJab

所以當且僅當。=6=6時取等號.

所以a+b的最小值為2K.

故答案為.273

16.已知函數(shù)/(x)=|x+l|+|av-2|,函數(shù)/(x)的最小值記為A/(a),給出下面四個結論：

①"(a)的最小值為0；

②的最大值為3；

③若/(x)在(—8,—1)上單調(diào)遞減，則"的取值范圍為(-8,-2］口［0,+8)；

④若存在feR,對于任意的xeR,+,則。的可能值共有4個；

則全部正確命題的序號為.

【正確答案】①②④

【分析】把給定函數(shù)按。的取值情況化成分段函數(shù)，再逐段分析求出加(。)的表達式并判斷AB；

由在(-8,-1)上單調(diào)性確定a值判斷C；由函數(shù)圖象具有對稱性求出,7值判斷D作答.

1I—X+l,x4一1

【詳解】當Q=0時，/(幻二卜+1+2={r,，函數(shù)/'(')在(—8,-1］上遞減，石

11[x+3,x>-l

上遞增，〃(〃)=/(-1)=2；

一(〃+l)x+1,xW—1

2

當Q>0時，f(x)=〈一(a-l)x+3,-l<x<一,

a

/、2

(a+l)x—1,x2一

a

若0<67<1,函數(shù)/⑶在(-8,-1］上遞減,在(一1,+8)上遞增，"3)=/(—1)=/+2,

若4=1,函數(shù)/*）在上遞減，在［2,+CQ）上遞增，當一14x（2時，〃（。）=3,

若a>l,函數(shù)/G)在(-8,2］上遞減，在［2,+8)上遞增，7l/(a)=/(-)=-+1;

aaaa

2

(Q-l)x—3,xW一

a

2

當一2<a<0時，f(x)=<一(a+l)x+1,一<x<一1,

a

一(4—l)x+3,x2—1

若一l<a<0,函數(shù)/（x）在（一8,-1］上遞減，在（一1,+8）上遞增，M{a}=f（-1）=a+2f

若Q=—1,函數(shù)/*）在（—8,—2］上遞減，在［―L+oo）上遞增，當一2?了<一1時，〃伍）=1,

若一2<〃<一1,函數(shù)/（幻在（一8,—］上遞減，在［—,+8）上遞增，M（a）-/（-）=----1；

aaaa

—3%—3xK—1

當4=一2時，/（x）=3|x+l|=<',函數(shù)/（X）在（一8,-1］上遞減，在（一1,+8）上遞

11［3x+3,x>_］

增，/⑷=/(-1)=0；

(a—l)x—3,x<—1

,2

當。<一2時，f（x）=<(a+l)x+3,-1<x<一,

a

/、2

一(Q-l)x+3,x2一

a

函數(shù)/(%)在(-8,—］上遞減,在［—,+8)上遞增,M(a)=/(—)=—+1,

aaaa

一+1,a￡(一叫-2)u(1,+a?)

a

2

因此Af(a)={----l,ae［-2,-l)于是M（a）￡［0,3］,即"（a）的最小值為0,最大

a

a+2MG［-1,1］

值為3,①②正確；

顯然當一1<。<0時，函數(shù)/（x）在上也遞減，③錯誤；

當。=0或〃=—2時，函數(shù)，=/G）的圖象關于直線x=—l對稱,

—2x+1,xW-1

當a>0時，當且僅當a—1=0,即a=l時，函數(shù)/'(x)=13,-1<x<2的圖象關于直線》=,

2

2x-l,x>1

對稱，

—2.x-3,x4—2

當—2<a<0時，當且僅當a+l=0,即°=一1時，函數(shù)/(x)=?1,—2<x<-l的圖象關于直

2x+3,x>-1

3

線x=—對稱，

2

當。<一2時，不存在直線x=f,使得函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=/對稱，

31

則當/注一子—《}時，對于任意的xeR,/(f+x)=/(f—x)成立，此時ae{-2,-1,0,1},

④正確，

所以正確命題的序號為①②④.

故答案為：①②④

思路點睛：分段函數(shù)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮

17.7(x)在R上非嚴格遞增，滿足/(x+l)=/(x)+l,g(x)=[2：);[j；>8,若存在符合

上述要求的函數(shù)/(x)及實數(shù)%,滿足g(Xo+4)=g(%)+l,則。的取值范圍是.

【正確答案】(-4,-2)U(2,4)

【分析】根據(jù)題意整理可得：對V〃eN*，貝iJ/(x+〃)=/(x)+〃，分類討論%,%+4的取值范圍,

分析運算.

【詳解】???/(x+l)=/(x)+l,即/(x+l)-/(x)=l

對V〃eN*，則

/(x+n)=[/(x+n)-/(x+n-l)]+[/(x+rt-l)-/(x+n-2)]+---+[/(x+l)-/(Jc)]+/(x)

=1+1+???+1+/(x)=〃+f(x),

故對V〃eN*，則/(x+〃)=/(x)+〃,

Vg(x0+4)=g(x0)+l,則有：

1.當Xo<-12時，則x()+44一8,

可得/(x()+4-a)=/(x()-。)+4=/(%-。)+1,不成立；

2.當—12<<—8時，則一8<x0+4<—4,

可得，(/+4)=/(/)+4=/(/-4)+1,!UiJ/(x0-a)=/(x0)+3,

若一Q=3,解得Q=-3,符合題意；

特別的：例如/.(x)=%,xeR,左+1),左eZ,x0e{-11,-10,-9,-8},則34-a<4,解得

-4<a<-3；

例如/(x)=k9xG(k,k+1],左￡Z,取X。G11,—10,—9,—8j，則2<—a<3，解得—4<a<—2；

故—4<QK—3；

3.當一8<XQ<4時，則—4<XQ+4<8,

可得/(Xo+4)=/(Xo)+4=/(/)+l,不成立；

4.當44/<8時，則8Wx(,+4<12,

可得〃Xo+4—。)=/(工0-4)+4=/(/)+1,則/(x。)=—a)+3,

若4=3,解得。=3,符合題意；

特別的:例如〃X)=%,X€[左，左+1),左GZ,取X。e{4,5,6,7},則3Wa<4；

例如/(x)=左,xe(左，左+1],%eZ,取/e{4,5,6,7},則2<。43；

故34。<4；

5.當劣28時,則與+4212,

可得/(x0+4—a)=/(X?！猘)+4=/(x()—a)+1,不成立；

綜上所述：。的取值范圍是(T,-2)U(2,4).

故答案為.(Y,-2)U(2,4)

關鍵點點睛：

(1)對/(x+l)=/'(x)+l,結合累加法求得/(x+〃)=y(x)+“；

（2）對于分段函數(shù)，一般根據(jù)題意分類討論，本題重點討論/,/+4與±8的大小關系;

(3)對特殊函數(shù)的處理，本題可取/、(x)=左,左+1),左eZ和

/(x)=左,xe(左，左+1］,左eZ.

四、解答題(共65分)

18.已知全集t/={-4,-1,0,1,2,4}X={xeZ10<x<3}={^r2-x-2=0}.

(1)求集合朋JV；

(2)若集合{/切—2}y(/uN),求實數(shù)的值.

【正確答案】⑴M={0,L2},N={-1,2}

(2)m=-2

【分析】(1)解一元二次方程及整數(shù)的概念化簡即可求解；

(2)先求出MuN,再求?(MuN),利用集合相等建立方程組求解即可.

【小問1詳解】

M={xeZ|0<X<3}={0,1,2},7V={A|X2-X-2=0}={-1,2},

所以/={0,1,2},TV={-1,2}；

【小問2詳解】

由⑴得MuN={-l,0,L2},

又。={-4,-1,0,L2,4},所以傘gN)={-4,4}={加2川—2},

.m2—4

所以《，得加=一2.

陽一2=-4

2

19.已知函數(shù)/(x)=loga(Ax-2x+6)(。>0且。N1).

(1)若函數(shù)的定義域為R,求實數(shù)力的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)左，使得函數(shù)〃x)在區(qū)間［2,3］上為增函數(shù)，且最大值為2?若存在，求出左

的值；若不存在，請說明理由.

【正確答案】(1)左>二；

(2)答案見解析

【分析】(1)由題意可得丘2—2》+6>0恒成立，再根據(jù)人>0,且A=4-24左<0,求得女的

范圍.

(2)分類討論。的范圍，利用二次函數(shù)的性質，求得左的值.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=log“(發(fā)-2x+6)(a>0且a豐1)的定義域為R,故區(qū)2_2x+6>0恒成立，

：.k>0,且A=4-24k<0,k>—■

6

【小問2詳解】

令g(x)=h：2-2x+6,當火力0時，是二次函數(shù)，其對稱軸為5=■!■,當左=0時，

k

g(x)=-2x+6,有g(3)=0,不符合題意，當％V0時，g(3)=9左<0,不合題意，

下面只討論左X)的情況：

①當。之豆2時，要使函數(shù)/(x)=log〃g(x)在區(qū)間［2,3］上為增函數(shù)，

2

則函數(shù)y=g(x)=Ax2_2x+6在［2,3］上恒正，且為增函數(shù)，

kX),則必有,即左21，并且有g(x)min=8出=4k+2>0,g(3)=9左，

k2

???/"Lx=〃3)=log“g⑶=log"(咐=2,左=十W,滿足題意；

②當IVaV還時，討論與①相同，但左=土<，,不成立；

292

③當0<a<l時，要使函數(shù)"X)在區(qū)間［2,3］上為增函數(shù)，

則函數(shù)V=g(x)=foc2-2x+6在［2,3］上恒正，且為減函數(shù).

上〉0,則必有,即0V左41,并且g(x)n“n=g(3)=9左>0,

k3

/(x)皿=/(3)=log“(泌)=2代,滿足題意；

綜上，(1)%>，，(2)當aN乎和OVaVl時，存在左=?使得/(x)在［2,3］上為增

函數(shù)，并且最大值為2.

20.若存在常數(shù)左，b使得函數(shù)R(x)與G(x)在給定區(qū)間上的任意實數(shù)x都有尸(x)ZH+b,

G(x)<kx+b,則稱y=Ax+b是y=E(x)與y=G(x)的分隔直線函數(shù).當加〃〉0時，

yjv｝

/(x)=mx+-被稱為雙飛燕函數(shù)，g(x)=MX——被稱為海鷗函數(shù).

XX

(1)當x>0時，取加=2.求/(x)〉〃+2的解集；

(2)判斷：當x>0時,y=/'(x)與y=g(x)是否存在著分隔直線函數(shù).若存在，請求出分隔

直線函數(shù)解析式；若沒有，請說明理由.

【正確答案】(1)答案見解析

(2)存在分隔直線函數(shù)，解析式為^=加x,理由見解析

【分析】(1)將不等式轉化為2X2—(〃+2)X+〃>0,對N分類討論解不等式：

(2)對如N分類討論找出介于兩個函數(shù)值之間的函數(shù)解析式.

【小問1詳解】

,八n

x>0,加=2時，/(X)=2x-\—>〃+2,

x

可化為21?一(〃+2.+〃〉0,BP(x--)(x-l)>0,

當3=1,即〃=2時，不等式的解集為｛x|x#l｝；

2

當鼻>1,即〃>2時，不等式的解集為｛x[O<x<l或x>]

當0〈一<1,即0<〃<2時，不等式的解集為《X?！垂で苫蚬ぁ?｝.

2

【小問2詳解】

若m>0,〃>0,當x>0時，/(x)=/MX+'2mx恒成立，

X

11

g(x)=mx——W"IX恒成立，則歹是y=/(x)與v=g(x)的分隔直線函數(shù);

x

若加<0,〃<0,當x>0時，/(x)=〃比+°<)比恒成立，

x

n

g(x)=mx——Nzwx恒成立，則y=是y=/(x)與y=g(x)的分隔直線函數(shù);

x

綜上所述，y=/G)與y=g(x)的分隔直線函數(shù)解析式為歹=機工.

21.若函數(shù)/(X)為定義域。上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間,力仁。(其中4<b),使得當xe[a,b]

時，/(X)的取值范圍恰為［a,可，則稱函數(shù)/")是。上的正函數(shù)，區(qū)間［a,可叫做等域區(qū)間.

(1)是否存在實數(shù)機，使得函數(shù)g(x)=x?+加是(-8,0)上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)〃?

的取值范圍；若不存在，請說明理由.

(2)若+2mx+m,且不等式aW/?(x)Wb的解集恰為［a,b］(a,beZ),求函數(shù)〃(x)

的解析式.并判斷［a,司是否為函數(shù)〃(x)的等域區(qū)間.

【正確答案】(1)存在，—-

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)“正函數(shù)”的定義以及函數(shù)的單調(diào)性將問題轉化為“方程/+a+〃z+l=O在

區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解”，利用構造函數(shù)法來求得〃z的取值范圍.

(2)根據(jù)“不等式的解集”求得。力的可能取值，再結合“等域區(qū)間”的定義求得

正確答案.

【小問1詳解】

因為函數(shù)8(月=犬+團是(ro,0)上的減函數(shù)，

,1fg(a)=6"+加=b

所以當工￡ra,可時，V；/，即〈2

［b2+m=a

兩式相減得/一/二人―〃，即人=—(4+1),

代入加=/>得。？+。+加+1=0，

由Q<6<0,且b=—(a+l)得一