2023年河北省邢臺市名校聯盟高考數學模擬試卷

2023年河北省邢臺市名校聯盟高考數學模擬試卷（3月份）

（二）

1.已知全集，集合，，則()

A.B.C.D.

2.若復數z滿足，則z的虛部是()

A.iB.1C.D.

3.下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進球總數：

年份19941998200220062010201420182022

進球總數141171161147145171169172

則進球總數的第40百分位數是()

A.147B.154C.161D.165

4.將英文單詞“rabbit”中的6個字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有

()

A.120種B.240種C.480種D.960種

5.()

A.B.C.D.

6.在四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均

為2，設直線與直線的交點為P，則四棱錐的外接球的體積為()

A.B.C.D.

7.已知點，圓M：，過點的直線l與圓M交于A，B兩

點，則的最大值為()

A.B.12C.D.

8.已知函數是定義在R上的奇函數，且的一個周期為2，則()

A.1為的周期B.的圖象關于點對稱

C.D.的圖象關于直線對稱

9.函數，

在一個周期內的圖象如圖所示，則()

A.

B.

第1頁，共19頁

C.

D.

10.在棱長為4的正方體中，點E，F分別是棱BC，的中點，

則()

A.B.平面DEF

C.平面與平面DEF相交D.點B到平面DEF的距離為

11.已知橢圓E：的左焦點為F，B為E的上頂點，A，C是E上兩點.若

，，構成以d為公差的等差數列，則()

A.d的最大值是

B.當時，

C.當A，C在x軸的同側時，的最大值為

D.當A，C在x軸的異側時與B不重合，

12.已知，函數，則()

A.對任意a，b，存在唯一極值點

B.對任意a，b，曲線過原點的切線有兩條

C.當時，存在零點

D.當時，的最小值為1

13.已知是等比數列的前n項和，，，則______.

14.某種食鹽的袋裝質量X服從正態(tài)分布，隨機抽取10000袋，則袋裝質量

在區(qū)間的約有______袋質量單位：

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，

，

15.已知，，且，則的最小值為______.

16.已知拋物線C：的焦點為F，經過F的直線l，l與C的對稱軸不垂直，l交C

于A，B兩點，點M在C的準線上，若為等腰直角三角形，則______.

17.已知數列的前n項和為，滿足

求；

令，證明：，…

第2頁，共19頁

18.如圖，在三棱柱中，側面和側面均為正方形，D為

棱BC的中點.

證明：平面平面；

若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.

19.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，

若，求的面積；

若，求

20.為弘揚體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩

隊進入決賽.規(guī)定：先累計勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結束

后，將不能參加后面場次的比賽.在規(guī)則允許的情況下，甲隊中球員M都會參賽，他上場與

不上場甲隊一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為

求甲隊第二場比賽獲勝的概率；

用X表示比賽結束時比賽場數，求X的期望；

已知球員M在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊比賽獲勝的概率.

21.已知雙曲線過點，且P與E的兩個頂點連線的斜

率之和為

求E的方程；

過點的直線l與雙曲線E交于A，B兩點異于點設直線BC與x軸垂直且交

直線AP于點C，若線段BC的中點為N，證明：直線MN的斜率為定值，并求該定值.

第3頁，共19頁

22.已知，證明：

；

第4頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：全集，集合，

，

則

故選：

求出集合A，B，利用交集定義能求出

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

2.【答案】D

【解析】解：因為，

所以，

故z的虛部是

故選：

根據復數的除法運算求得復數z，即可確定答案．

本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，屬于基礎題．

3.【答案】C

【解析】解：將連續(xù)八屆的進球總數從小到大排列為：141，145，147，161，169，171，

171，172，

由于，故進球總數的第40百分位數是第4個數據

故選：

將數據從小到大排列，計算，根據第40百分位數的含義，即可確定答案．

本題主要考查百分位數的定義，屬于基礎題．

4.【答案】B

【解析】解：由題意可先排除b之外的其余四個字母，有種排法，

再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b，有種放法，

故字母b不相鄰的排列方法共有種，

故選：

先排除b之外的其余四個字母，再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b即可．

第5頁，共19頁

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．

5.【答案】A

【解析】解：由，

得，

即，

又，

所以

故選：

利用二倍角的正切公式計算即可．

本題主要考查了二倍角公式的應用，屬于基礎題．

6.【答案】A

【解析】解：設AC與BD相交于點因為四棱臺

為正四棱臺，直線與直線

的交點為P，

所以四棱錐為正四棱錐，

所以平面

四棱錐的外接球的球心O在直線上，連

接BO，

設該外接球的半徑為

因為平行于，

所以，，

所以，即，

解得，

則四棱錐的外接球的體積為

故選：

先確定四棱錐為正四棱錐，從而得出外接球的球心O在直線上，再由勾股定理

確定半徑，進而得出四棱錐的外接球的體積．

本題考查四棱錐外接球的體積計算，考查運算求解能力，屬于中檔題．

7.【答案】B

第6頁，共19頁

【解析】解：圓M：，

則圓心，圓M的半徑為4，

設AB的中點，

則，即，

又，

所以，即點D的軌跡方程為E：，圓心，半徑為

1，

所以的最大值為，

因為，

所以的最大值為

故選：

利用中點坐標求出AB的中點的軌跡方程為圓心、半徑為1的圓，得的最大

值，結合即可求解．

本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉化能力，屬于中檔題．

8.【答案】C

【解析】解：因為為定義域為R奇函數，周期為2，

故函數滿足條件，

令可得，，

函數的最小正周期為4，對稱中心為，，

函數沒有對稱軸，

A錯誤，B錯誤，D錯誤；

因為函數是定義在R上的奇函數，

所以，

取可得，，

因為的一個周期為2，

所以，

取可得，，

第7頁，共19頁

由可得，函數為周期為4的函數，

所以，C正確；

故選：

舉例判斷A，B，D錯誤，再由條件結合奇函數的性質和周期函數的性質列關系式論證C正確．

本題主要考查了抽象函數的應用，考查了函數的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題．

9.【答案】BD

【解析】解：由圖象可知，，，選項錯誤，D選項正確；

又由圖象可得，

，又，，選項正確；

，

又，，

，又，

，

，錯誤．

故選：

觀察圖象確定函數的最值，根據最值求A，k，觀察函數的周期，根據周期公式求，最后找點代

入求，由此確定正確選項．

本題考查根據三角函數的圖象求函數的解析式，三角函數的圖象性質，屬中檔題．

10.【答案】BCD

【解析】解：建系如圖，則根據題意可得：

，，，，，

，，，，，

對A選項，，，

，與DF不垂直，選項錯誤；

對B選項，，，，

設平面DEF的法向量為，

第8頁，共19頁

則，取，

，平面DEF，選項正確；

對C選項，，，

又由B選項分析知平面DEF的法向量為，

設平面的法向量為，

則，取，

，與不平行，

平面與平面DEF相交，選項正確；

對D選項，，

又由B選項分析知平面DEF的法向量為，

點B到平面DEF的距離為，選項正確，

故選：

建系，利用空間垂直向量的坐標表示判斷A；利用線面平行的向量法判斷B；利用面面平行的向

量法判斷C；利用向量法求出點到平面的距離公式判斷

本題考查向量法判斷線線垂直問題，向量法判斷線面平行問題，向量法判斷面面平行問題，向量

法求解點面距問題，屬中檔題．

11.【答案】ABC

【解析】解：由橢圓方程可得，，

則，

對于選項A，由橢圓的性質可得，，又，

，構成以d為公差的等差數列，

則d的最大值是，即選項A正確；

當時，設，，，又點A在

橢圓上，

聯立方程組解得或舍去，A的坐標為，

同理可得C的坐標為，A，C關于y軸對稱，可得，可得，

當A，C關于原點對稱時，可得，，故B正確；

第9頁，共19頁

，，構成以d為公差的等差數列，，C關于y軸對稱，

設，

，

當且僅當時取等號，故C正確；

當A，C在x軸的異側時，可得A，C關于原點對稱，

設，則，

，故D錯誤．

故選：

由橢圓的性質可得，，可得d的最大值判斷A；

由，可求A，C的坐標，進而可得，可判斷B；由A，C關于y軸對稱，

可得，可求最大值判斷C；設，則，

，計算可判斷

本題考查橢圓的幾何性質，考查運算求解能力，屬中檔題．

12.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由已知，函數，可得，

令，所以，

則即在R上單調遞增，

令，則，

當時，作出函數，的大致圖象如圖：

當時，作出函數，的大致圖象如圖：

第10頁，共19頁

可知，的圖象總有一個交點，即總有一個根，

當時，；當時，，

此時存在唯一極小值點，故A正確；

對于B，由于，故原點不在曲線上，且，

設切點為，，則，

即，即，

令，，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

故，

當時，的值趨近于0，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，

當時，的值趨近于正無窮大，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，

故在和上各有一個零點，即有兩個解，

故對任意a，b，曲線過原點的切線有兩條，故B正確；

對于C，當時，，，

故，該函數為R上單調增函數，，

，

故，使得，即，

結合A的分析可知，的極小值也即最小值為

，

令，則，且為增函數，

當時，，當且僅當時取等號，

故當時，，則在上單調遞增，

故，令，則，所以，

第11頁，共19頁

此時的最小值為，無零點，故C錯誤；

對于D，當時，為偶函數，考慮視情況；

此時，，，

結合A的分析可知在R上單調遞增，，

故時，，則在上單調遞增，

故在上單調遞減，為偶函數，

故，故D正確．

故選：

對于A，求出函數導數，數形結合，判斷導數正負，從而判斷函數單調性，確定函數極值點；對

于B，設切點為，，利用導數的幾何意義可得方程，結合方程的根的

個數，判斷切線的條數；對于C，利用導數判斷函數單調性，求函數最值，根據最值情況判斷函

數的零點情況；對于D，由于為偶函數，故先判斷時函數的單調性，結合偶函數性質，

即可判斷的單調性，進而求得函數最值．

本題綜合性較強，綜合考查了導數的幾何意義以及極值點、零點、最值問題，計算量較大；難點

在于利用導數解決函數的零點問題時，要能構造恰當的函數，結合零點存在定理判斷導數值的情

況，從而判斷函數的單調性，求得最值，解決零點問題．

13.【答案】

【解析】解：設等比數列的公比為q，

由，，

可得，，

解方程得，或，

當時，，

當時，，

所以

故答案為：

由條件結合等比數列通項公式求首項和公比q，再利用求和公式求

本題主要考查了等比數列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎題．

第12頁，共19頁

14.【答案】8186

【解析】解：由題意知，，

所以，，

得

，

所以袋裝質量在區(qū)間的約有袋．

故答案為：

根據正態(tài)分布的概率分布原則可得，，

進而求出即可求解．

本題主要考查正態(tài)分布，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：因為，解得：，

則，

當且僅當，時取等號．

故答案為：

利用等式求解b，代入計算，結合基本不等式，即可求得的最小值．

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：拋物線的焦點為，準線方程為

，

過點的斜率為0的直線與拋物線C有且只有一個交點，不

滿足條件，

設直線l的方程為，

聯立，消x得，

，

設，，，，

第13頁，共19頁

設AB的中點為，

則，，，

所以，

因為為等腰直角三角形，

當點A為直角頂點時，

過點A作x軸的垂線，過點M作，垂足為

，

過點B作，垂足為，

因為，，

，

所以，

所以，，

所以，又，，，

所以，即，

所以，所以，，

所以，

當B為直角頂點時，同理可得，

當M為直角頂點時，則點M在以AB為直徑的圓上，

因為AB的中點坐標為，

所以以AB為直徑的圓的方程為，

取，可得，此時MN與x平行，與矛盾，

所以，

故答案為：

聯立方程組，利用設而不求法，結合條件，通過討論求出直線的斜率，由此可求弦長．

本題考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，平面幾何知識的應用，設而不求法與韋

達定理的應用，屬中檔題．

17.【答案】解：因為，

所以由，

第14頁，共19頁

可得，

所以，，

即，

即

證明：，當時，

當時，，

故

綜上，，

【解析】利用，結合條件可得，再利用等差數列的求

和公式計算即可．

結合可知，利用放縮，再結合裂項相消求和即可證明．

本題主要考查數列遞推式，數列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：證明：因為側面、側面

均為正方形，

所以，，又，AB、平

面ABC，

所以平面ABC，又，所以平面ABC，

又平面ABC，所以

由，D為棱BC的中點，所以，

又，BC、平面，

因此平面，又平面，

故平面平面；

由得是與側面所成角，即，

令，所以，又，

所以，，，

則，，

以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建系如圖，

則，，

所以，，

第15頁，共19頁

設是平面的一個法向量，

則即取

易知是平面的一個法向量，

則，

所以平面與平面的夾角的余弦值為

【解析】根據線面垂直的判定定理可得平面ABC，即平面ABC，進而

，再次利用線面垂直的判定定理可得平面，結合面面垂直的判定定理即

可證明；

建立如圖空間直角坐標系，利用向量法求出平面的法向量，結合面面角的向量求法即

得．

本題考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解面面角問題，向量夾角公式的

應用，屬中檔題．

19.【答案】解：在中，由余弦定理可得，

，

所以；

設，則，，

在中，由正弦定理可得，

即，

所以，，

于是，解得或舍，

所以，

故

【解析】根據余弦定理求出，利用誘導公式求出，結合

三角形的面積公式計算即可求解；

第16頁，共19頁

設，根據正弦定理和誘導公式可得、，

解得，同角的三角函數關系求出即可求解．

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：設為“第i場甲隊獲勝“，為“球員M第i場上場比賽“，，2，

3，

根據全概率公式可得

；

由題意可得，3，

又，由知，

，，

，

，

；

，此時，

所求概率為：

【解析】根據全概率公式，即可求解；

由題意可得，3，從而再根據對立事件的概率與獨立事件的概率公式，數學期望的概念，

即可求解；

根據對立事件與獨立事件的概率公式，條件概率公式，即可求解．

本題考查全概率公式，對立事件的概率公式，離散型隨機變量的期望的求解，屬中檔題．

第17頁，共19頁

21.【答案】解：雙曲線的兩頂點為，所以，即，

將代入E的方程可得，，

故E的方程為；

證明：依題意，可設直線l：，，，

聯立方程，整理得，

所以，，解得