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文檔簡介
五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編
4<n不面向量
高存?存瓶分忻
向量作為高考一個工具,高考題型一般作為工具處理,單獨(dú)出題一般是小題部分。??碱}型為:
考點(diǎn)01平面向量概念及線性運(yùn)算
考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
考點(diǎn)03平面向量的數(shù)量積及夾角問題
考點(diǎn)05平面向量的綜合應(yīng)用
哥/真魅精析
考點(diǎn)01:平面向量的概念及線性運(yùn)算
一、選擇題
1.(2022新高考全國I卷.)在二ABC中,點(diǎn)。在邊AB上,BD=2DA.記==則=()
A.3m—2wB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n
2.(2021年高考浙江卷.)已知非零向量£,b,c,貝/Z.c="c”是“。=6”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
3.(2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)?)在,.A8C中,D是邊上的中點(diǎn),則CB=()
A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA
4.(2019?上海?第13題)已知直線方程2x-y+c=0的一個方向向量彳可以是()
A.(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)
5.(2019?全國1?)古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為避二1
2
(避二1合0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美
2
6人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是避二1.若某人滿足上述兩個黃金
2
分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是()
A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm
二、填空題
1.(2023年天津卷?)在ABC中,NA=60,及?=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),若設(shè)AB=a,AC=b,
則4E可用。力表示為;若BF=;BC,則AE.鼾的最大值為.
2(2020北京高考?第13題)已知正方形ABCO的邊長為2,點(diǎn)尸滿足AP=g(AB+AC),貝。1Poi=;
PB.PD=?
考點(diǎn)02:平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
一、選擇題
1.(2023年北京卷?)已知向量?b滿足a+力=(2,3),a—6=(—2,1),貝|人『=()
A.-2B.-1C.0D.1
2.(2023年新課標(biāo)全國I卷?汨知向量a=(1,1)為=(1,一1),若(a+訓(xùn),(a+的,則()
A.X+"=lB.2+〃=—1
C.=1D,4〃=—1
二、填空題
1.(2023年新課標(biāo)全國II卷?第13題)已知向量a,。滿足卜—可=6卜+可=12a—可,則忖=
2(2021年高考全國乙卷?)已知向量a=(1,3)1=(3,4),若(a—40),匕,則夭=.
3.(2020江蘇高考)在AABC中,A?=4,AC=3,NBAC=90。,。在邊3C上,延長")到「,使得AP=9,若
4.(2019-浙江?)已知正方形ABCD的邊長為1當(dāng)每個4(,=123,4,5,6)取遍±1時(shí),
AB+BC+CD+DA+AC+A6BZ)|,的最小值是,最大值是.
考點(diǎn)03:平面向量的數(shù)量積與夾角問題
一、選擇題
1(2023年全國甲卷?第4題)已知向量〃力,。滿足同=W=1,同=",且Q+b+d=0,則饃5〈。一。,/?一<?〉=
()
4224
A.----B.----C.-D.一
5555
2.(2023年全國乙卷?第12題)已知O的半徑為1,直線出與(O相切于點(diǎn)A.直線PB與(O交于8.C兩點(diǎn),
。為8c的中點(diǎn),若|PO|=J5,則PA.po的最大值為()
A1+V2R1+20
22
C.1+V2D.2+V2
3.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)?第3題)已知向量〃/滿足—25|=3,則〃必=()
A.-2B.-1C.1D.2
4.(2020年高考課標(biāo)HI卷?第6題)已知向量〃,b滿足I。1=5,|b|=6,a-b=-6,貝UCOS(Q,〃+〃)=()
31191719
A.——B.——C.—D.—
35353535
5.(2019全國H?理?第3題)已知45=(2,3),AC=(3,t),BC=1,則AB.3C=()
A.-3B.-2C.2D.3
6.(2019?全國I?第7題)已知非零向量a,〃滿足同=2%,且(a—則a與的夾角為()
二、填空題
1.(2021年高考浙江卷.)已知平面向量a,b,c,(cH0)滿足忖=明=2eb=0,(a-b>c=0.記向量d在a,b方向上
的投影分別為無,y,d-a在:方向上的投影為z,則f+y2+z2的最小值為
2.(2021年新iWj考全國II卷,)已知向量a+6+c=0,卜卜1,忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=
3.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)?)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為g,且k|=1,利=3,則(2a+4力=.
4.(2020年高考課標(biāo)^卷?)已知單位向量「工的夾角為45。,左]與;垂直,則:.
5.(2021高考北京?第13題)已知向量a力,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,
則
(a+b)-c=;a-b=-
6.(2019?高考試卷天津)在四邊形ABC。中,AD//BC,AB=25AD=5,NA=30°,點(diǎn)E在線段CB的
延長線上,且=則BD.AE=.
考點(diǎn)04:平面向量的綜合應(yīng)用
1.(2019?高考卷江蘇?)如圖,在AABC中,。是3c的中點(diǎn),E在邊上,BE=2EA,AD與CE交于O,若
A3
ABAC=6AOEC>則f的值是.
AC
五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編
4<11年面向受
高存?存瓶分忻
向量作為高考一個工具,高考題型一般作為工具處理,單獨(dú)出題一般是小題部分。??碱}型為:
考點(diǎn)01平面向量概念及線性運(yùn)算
考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
考點(diǎn)03平面向量的數(shù)量積及夾角問題
考點(diǎn)05平面向量的綜合應(yīng)用
哥存真魅精析
考點(diǎn)01:平面向量的概念及線性運(yùn)算
一、選擇題
1.(2022新高考全國I卷.)在二ABC中,點(diǎn)。在邊AB上,BD=2DA.記CA=7〃,CD=",則=()
A.3m—2wB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n
【答案】B
【解析】因點(diǎn)。在邊A8上,BD=2DA)所以BD=2ZM,即CD-CB=2(C4-C£)),
所以CB=3C£>—2cA=3〃—27n=-2m+3〃.故選:B.
2.(2021年高考浙江卷?)已知非零向量£,b,c,貝廣a.c=6-c”是““=6”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件
【答案】B
I"11
【解析】:若a?c=8?c,則(ai6)c=0,推不出。=6;若則a.c=Z?.c必成立,故"a.c=6.c"是=6
的必要不充分條件,故選B.
3.(2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)。在,A3C中,D是邊上的中點(diǎn),貝|(方=()
A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA
【答案】C
【解析】CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-CA^=2CD-CA3.
4.(2019?上海?第13題)已知直線方程2x-y+c=0的一個方向向量才可以是()
A(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)
【答案】D
【解析】依題意:(2,-1)為直線的一個法向量,方向向量為(1,2),選D
5.(2019?全國I。古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為叵口
2
(避二1合0,618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外,最美
2
人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是息口.若某人滿足上述兩個黃金
2
分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是頭頂
A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm
咽喉
【答案】BW
cad
【解析】如圖,一二—=0.618,.?.。=0.6184c=0.618d,工肚臍
db
CCL
c<26,則〃=-----<42.07,a=c+d<68.07,b=------<110.15,
0.6180.618
所以身高/z=a+b<178.22,
又b>105,所以a=0.618Z?>64.89,身高/z=a+0>64.89+105=169.89,
故丸e(169.89,178.22),故選B.
二、填空題足底
1.(2023年天津卷?)在ABC中,NA=60,3C=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),若設(shè)AB=",AC=人,
則可用。力表示為;若BF=;BC,則AE.A/7的最大值為
1-1-13
【答案】①.~a+~b②.二
4224
AE+
【解析】空1:因?yàn)镋為CD的中點(diǎn),則瓦)+EC=0,可得<ED"=AD
AE+EC=AC
兩式相加,可得到2AE=AD+AC,即2AE=ga+Z7,則AE=4a+tb;
242
1AF+FC=AC
因?yàn)?尸=-3。,則2EB+PC=0,可得〈
3AF+FB=AB
2-]-
得到AF+FC+2(AF+FB^=AC+2AB即3Ap=2。+匕,即人/=]。+3匕?于是
AE-AF=(^a+^b]-(^a+^b}^^[2a2+5a-b+2b2y記AB=x,AC=y,
貝ijAE?AF=J(2-+5a?6+2片)=,(2/+5孫cos60+2/)=92/+半+2/
在一ABC中,根據(jù)余弦定理:BC2^x2+y2-2xycos60^x2+y2-xy^l,
于是時(shí)成=42盯+苧+2]=\等+2)
由f+y?-孫=1和基本不等式,X2+y2-xy-1>2xy-xy-xy,
13
故孫<1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l取得等號,則x=y=l時(shí),有最大值不
-11,13
故答案:-a+-b;--.
4224
2(2020北京高考?第13題)已知正方形ABC。的邊長為2,點(diǎn)尸滿足AP=g(AB+AC),貝U|PO|=
PB.PD=?
【答案】⑴.卡(2).-1
【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,4)所在直線分別為X、丫軸建立如下圖所
的平面直角坐標(biāo)系,
則點(diǎn)A(0,0)、8(2,0)、C(2,2)、0(0,2),AP=^(AB+AC)=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),
則點(diǎn)P(2,l),.?.尸。=(_2,1),PB=(O,-l),
因此,歸£(卜斤5r了=宕,PBPD=0x(-2)+lx(-l)=-l.故答案為:不;-1
考點(diǎn)02:平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
一、選擇題
1.(2023年北京卷。已知向量出b滿足a+6=(2,3),a—6=(—2,1),貝()
A.-2B.-1C.0D.1
【答案】B
【解析】向量d1滿足a+b=(2,3),a—/=(—2,1),
所以la,_g|2=(a+0)-(a—6)=2x(_2)+3xl=_l.故選:B
2.(2023年新課標(biāo)全國I卷.)已知向量a=(l,l),b=(l,—l),若(Z+明J_(Z+聞,則()
A.A+//=1B.丸+〃=—1
C.D.A/i=-L
【答案】D
【解析】因?yàn)閍=(l,l)為=(1,一1),所以a+2b=(l+4l—X),a+>=+—4),
由(a+2))J_(a+〃沙)可得,(a+4)》(a+=0,
即(1+九)(1+〃)+(1—2)(1—〃)=0,整理得:加=—1.故選:D.
二、填空題
1.(2023年新課標(biāo)全國II卷?第13題)已知向量a,匕滿足卜—囚=若,,+N=12a—川,則忖=.
【答案】出
【解析】法一:因?yàn)?+.=忸_司,即(a+6)=(2a-b),
r?rrr?r?rrr?
則a+2a-b+b=4〃—4a-b+b,整理得。19-2a-b-09
又因?yàn)?一可二后,即(〃—》『=3,
則2荽+£』2=3,所以小技
1]IFIrrrrrrrr
法二:設(shè)c=5_〃,貝"c|=j3,a+6=c+2仇2a—0=2c+6,
/1r、2/rr\2rrrrr?rrr?
由題思可得:(c+2Z?)=(2c+"),則°?+4c-Z?+4Z?9=4c+4c-b+b'
整理得:;2』2,即=C故答案為:技
2(2021年高考全國乙卷?)已知向量a=(1,3)]=(3,4),若(a—X。),匕,則4=.
3
【答案】-
【解析】因?yàn)閍—勸=。,3)—彳(3,4)=(1—3/1,3—4彳),所以由(a—例),人可得,
33
3(1-32)+4(3-42)=0,解得;1=(.故答案為:
3.(2020江蘇高考)在AABC中,AB=4,AC=3,ZBAC=90。,。在邊3c上,延長45到P,使得AP=9,若
3
出=相依+(5—機(jī))PC(機(jī)為常數(shù)),則CD的長度是.
1Q
【答案】y
【解析】AQ,P三點(diǎn)共線,J可設(shè)P4=X尸。(4>0),
/.PA=mPB+I-沙C,
3|-m
/.APD=mPB+----m“’即一
2PC,
2
33
若mwO且相。不,則民。,。三點(diǎn)共線,m,即4=—,
2/.—+2
2
AP=9,:.AD=3,AB=4,AC=3,ZBAC=90°,:.BC=5,
設(shè)CD=x,NOM=e,貝|BD=5—x,ZBDA=7r—e.
■.根據(jù)余弦定理可得cos6=A"+C£>2AU=%3+BD?-AB?(57)、7
cos("一e)=
2AD-BD6(5-x)
cos6)+cos(^-6?)=0,.?.j+(5j)J=o,解得彳=學(xué),.〔CD的長度為電.
66(5-x)55
3
當(dāng)m=0時(shí),PA=-PC,C,。重合,此時(shí)CD的長度為0,
2
3312
當(dāng)相=二時(shí),PA=-PB,3,。重合,此時(shí)巴4=12,不合題意,舍去.故答案為:0或三.
225
4.(2019-浙江?)已知正方形ABCD的邊長為1當(dāng)每個41=1,2,3,4,5,6)取遍±1時(shí),
^AB+^BC+^CD+^DA+^AC+^BE\,的最小值是,最大值是.
【答案】0,26
【解析】正方形ABCD的邊長為1,可得A3+AO=AC,BD=AD-AB^AB.AD=0.
所以14AB+4BC+4CD+;l4DA+4AC+4BD|
=|4A,B+A2A.D—4A.B—A4A,D+々A,B+A5A,D+&AO—4A31
=1(4-4+4-4)AB+(22-24+25+26)ADI=—4+4-4)2+(4-4+4,
由于4(,=i,2,3,4,5,6)取遍±1,取4=4=1,4=4=1,4=—i,4=1時(shí)
得4—4+4—4=o,4—4+4+4=。,此時(shí)所求最小值為o;
由中4一4+4-4,%-4+4+兒中的一■個最大值為4,另一■個為2,
可取4=1,4=-1,4=4=1,4=1,4=->,此時(shí)所求最大值為2君.
考點(diǎn)03:平面向量的數(shù)量積與夾角問題
三、選擇題
1.(2023年全國甲卷?第4題)已知向量d,Z?,c滿足同=W=lJc|=0\>a+Z>+c=0>則cos〈a-。/一c〉=
422
A.——B.——C.一
555
【答案】D
【解析1因?yàn)閍+b+c=0,所以1+%=-c
ADB
B
D
即。2+。2+2〃必=02,即]+]+2)。=2,所以〃力=0.
如圖,設(shè)CM=a,O3=6,OC=c,
由題知,04=03=1,。。=及,是等腰直角三角形,
AB邊上的高。。=1,A。=也,
22
所以CD=CO+8=0+歲平,tanNACD噎=;,cosNACD=扁
4
cos(d-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1=2x一1=一.故選:D.
5
2.(2023年全國乙卷?第12題)己知一。的半徑為1,直線尸4與〈。相切于點(diǎn)A.直線尸2與C。交于2.C兩點(diǎn),
。為2C的中點(diǎn),若1Poi=J5,則?A.PD的最大值為)
A?萼R1+2V2
2
C.1+72D.2+72
【答案】A
【解析】如圖所示,|QA|=1,|OP|=JL則由題意可知:NAPO=45,
由勾股定理可得Q4=7(?P2-OA2=1
,冗
當(dāng)點(diǎn)4。位于直線尸。異側(cè)時(shí),設(shè)NOPC=o,OKCLV—,
4
則:PAPD=I^A||PD|cosltz+—
1+cos2a1._1/T
=^2cosa——cosa------sin?=cos2tz-sintzcosa----------------sinla=1x^2cosacosa+工
2I4
I2722
J__V|sinf2a-^
22
TTTCTCTCJT71
則一丁2〃一丁丁.當(dāng)"一『一“時(shí)'PA”有最大值1.
當(dāng)點(diǎn)A。位于直線PO同側(cè)時(shí),設(shè)ZOPC=a,0<a<-,
4
71
則:PAPD=\PA\-\PD\cos[a-^=1x72cosacosa------
4
2
cos?+^sinJ=Cosa+sinacosa=1+cos2。1.-
=A/2COSa-------------1--sin2a
2)22
sWa+^71OVa4則aa+瀉
=144
.??當(dāng)2u+&=工時(shí),申.如有最大值巨史.綜上可得,的最大值為匕也.故選:A.
4222
3.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)?第3題)已知向量/力滿足|。|=1,|切=百,|a—26=3,則小。=()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】C【解析】-:\a-2b|2=|?|2-4a-b+4^,又:|a|=1,|切="|a—2們=3,
???9=l-4a-b+4x3=13-4a-b,a-b=1故選:C.
4.(2020年高考課標(biāo)III卷?第6題)已知向量a,6滿足Ia1=5,\b\=6,a-b=-6,貝!!cos(a,a+5)=()
【答案】D
【解析】?^|=5,|/?|=6,0.b=—6,/.a?Q+b)=+a-b=52-6=19.
a+0=+2〃./?+//-,25-2x6+36=7,
aAa+b\1919乂巾
因止匕,cos<a,a+b>=廠合----T----=一?故選:D.
5x735
5.(2019?全國n理第3題)已知AB=(2,3),AC=(3,?),|BC|=1,則AB.3C=()
A.-3B.-2C.2D.3
【答案】C
【解析】???AB=(2,3),AC=(3,/),ABC=AC-AB=(1J-3),A|BC|=^l2+(Z-3)2=1,解得t=3,
即3c=(1,0),則4從正=(2,3)Q0)=2xl+3x0=2.
6.(2019?全國I?第7題)已知非零向量a,b滿足|。|=2|,且(a—則@與人的夾角為()
■以|2
【解析】=—牙;力=/=吼,所以(。)=所以
=0,.a11cosa,::?=
',','/\a\-\b\2bf2
四、填空題
1.(2021年高考浙江卷?)已知平面向量a,b,c,(cw0)滿足忖=1,忖=2,。2=0,(<2-?!?0.記向量1在方向上
的投影分別為無,y,d-a在"方向上的投影為z,則r+V+z?的最小值為
【答案】I2
【解析】:由題意,設(shè)。=(1,0),6=(0,2),c=("2,“),則(。-■A)?c=〃z-2"=0,即m=2”,
又向量d在〃方向上投影分別為無,》所以d=(x,y),
(d—a)-cm(x-l)+ny2x-2+y
所以乙“在C方向上的投影z=F"忑
即2x+y—^z=2,所以f+V+z2=:22+l2+(-^)2p+/+z2)>^(2J;+y-^z)2=|,
2
x=—
5
x_y_z
即y=1時(shí),等號成立,所以f+J+z?27
當(dāng)且僅當(dāng),2-1~-75的最小值為故答案為
2x+y-=2
2.(2021年新高考全國II卷.)已知向量。+6+2=0,忖=1,W=,=2,a-b+b-c+c-a=
9
【答案】
【解析】:由己知可得(a+6+c)=a+b~+c+2(a-b+b?C+C.Q)=9+2(Q.b+Z7.C+C.Q)=0,
Q9
因此,a-b+b-c+c-a=一一.故答案為:一一.
22
3.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)?)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為g,且付=1,,|=3,則(2q+6)2=
【答案】11
【解析】設(shè)a與b的夾角為。,因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為g,即cos6=g,
又何=1,網(wǎng)=3,所以02=忖.|小0$夕=1*3*3=1,所以(2a+6)?6=2a?6+/=2°?6+忖-=2x1+3?=11.
故答案為:11.
4.(2020年高考課標(biāo)II卷.)已知單位向量的夾角為45。,左]與;垂直,則七.
【答案】叵
2
【解析】由題意可得:X?=lxlxcos45=與,
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