2019-2023全國各高考數(shù)學(xué)真題按分項(xiàng)匯編 平面向量含詳解

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編

4<n不面向量

高存?存瓶分忻

向量作為高考一個工具，高考題型一般作為工具處理，單獨(dú)出題一般是小題部分。?？碱}型為:

考點(diǎn)01平面向量概念及線性運(yùn)算

考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

考點(diǎn)03平面向量的數(shù)量積及夾角問題

考點(diǎn)05平面向量的綜合應(yīng)用

哥/真魅精析

考點(diǎn)01：平面向量的概念及線性運(yùn)算

一、選擇題

1.（2022新高考全國I卷.）在二ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記==則=（）

A.3m—2wB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

2.（2021年高考浙江卷.）已知非零向量￡,b,c,貝/Z.c="c”是“。=6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)?）在，.A8C中，D是邊上的中點(diǎn)，則CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

4.（2019?上海?第13題）已知直線方程2x-y+c=0的一個方向向量彳可以是（）

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)

5.（2019?全國1?）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為避二1

2

（避二1合0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

2

6人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是避二1.若某人滿足上述兩個黃金

2

分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

二、填空題

1.（2023年天津卷?）在ABC中，NA=60，及？=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)AB=a,AC=b,

則4E可用。力表示為；若BF=；BC,則AE.鼾的最大值為.

2（2020北京高考?第13題）已知正方形ABCO的邊長為2,點(diǎn)尸滿足AP=g（AB+AC）,貝。1Poi=；

PB.PD=?

考點(diǎn)02：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一、選擇題

1.（2023年北京卷?）已知向量?b滿足a+力=（2,3）,a—6=（—2,1）,貝|人『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2023年新課標(biāo)全國I卷?汨知向量a=（1,1）為=（1,一1）,若（a+訓(xùn),（a+的，則（）

A.X+"=lB.2+〃=—1

C.=1D,4〃=—1

二、填空題

1.（2023年新課標(biāo)全國II卷?第13題）已知向量a,。滿足卜—可=6卜+可=12a—可，則忖=

2（2021年高考全國乙卷?）已知向量a=（1,3）1=（3,4）,若（a—40），匕，則夭=.

3.（2020江蘇高考）在AABC中，A?=4,AC=3,NBAC=90。,。在邊3C上，延長"）到「，使得AP=9,若

4.（2019-浙江?）已知正方形ABCD的邊長為1當(dāng)每個4（，=123,4,5,6）取遍±1時(shí)，

AB+BC+CD+DA+AC+A6BZ）|,的最小值是,最大值是.

考點(diǎn)03：平面向量的數(shù)量積與夾角問題

一、選擇題

1（2023年全國甲卷?第4題）已知向量〃力,。滿足同=W=1,同="，且Q+b+d=0，則饃5〈。一。,/?一＜?〉=

（）

4224

A.----B.----C.-D.一

5555

2.（2023年全國乙卷?第12題）已知O的半徑為1,直線出與（O相切于點(diǎn)A.直線PB與（O交于8.C兩點(diǎn)，

。為8c的中點(diǎn)，若|PO|=J5,則PA.po的最大值為（）

A1+V2R1+20

22

C.1+V2D.2+V2

3.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)?第3題）已知向量〃/滿足—25|=3,則〃必=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.（2020年高考課標(biāo)HI卷?第6題）已知向量〃，b滿足I。1=5,|b|=6,a-b=-6,貝UCOS（Q,〃+〃）=（）

31191719

A.——B.——C.—D.—

35353535

5.（2019全國H?理?第3題）已知45=（2,3）,AC=（3,t）,BC=1,則AB.3C=（）

A.-3B.-2C.2D.3

6.（2019?全國I?第7題）已知非零向量a,〃滿足同=2%,且（a—則a與的夾角為（）

二、填空題

1.（2021年高考浙江卷.）已知平面向量a,b,c,（cH0）滿足忖=明=2eb=0,（a-b>c=0.記向量d在a,b方向上

的投影分別為無，y,d-a在：方向上的投影為z,則f+y2+z2的最小值為

2.（2021年新iWj考全國II卷，）已知向量a+6+c=0,卜卜1，忖=卜|=2，a-b+b-c+c-a=

3.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)?）設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為g,且k|=1,利=3,則（2a+4力=.

4.（2020年高考課標(biāo)^卷?）已知單位向量「工的夾角為45。，左］與;垂直，則:.

5.（2021高考北京?第13題）已知向量a力,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,

則

（a+b）-c=；a-b=-

6.（2019?高考試卷天津）在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=25AD=5,NA=30°,點(diǎn)E在線段CB的

延長線上，且=則BD.AE=.

考點(diǎn)04：平面向量的綜合應(yīng)用

1.（2019?高考卷江蘇?）如圖，在AABC中，。是3c的中點(diǎn)，E在邊上，BE=2EA,AD與CE交于O,若

A3

ABAC=6AOEC>則f的值是.

AC

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編

4<11年面向受

高存?存瓶分忻

向量作為高考一個工具，高考題型一般作為工具處理，單獨(dú)出題一般是小題部分。?？碱}型為：

考點(diǎn)01平面向量概念及線性運(yùn)算

考點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

考點(diǎn)03平面向量的數(shù)量積及夾角問題

考點(diǎn)05平面向量的綜合應(yīng)用

哥存真魅精析

考點(diǎn)01：平面向量的概念及線性運(yùn)算

一、選擇題

1.（2022新高考全國I卷.）在二ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記CA=7〃,CD="，則=（）

A.3m—2wB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】因點(diǎn)。在邊A8上，BD=2DA）所以BD=2ZM，即CD-CB=2（C4-C￡））,

所以CB=3C￡>—2cA=3〃—27n=-2m+3〃.故選：B.

2.（2021年高考浙江卷?）已知非零向量￡,b,c,貝廣a.c=6-c”是““=6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

I"11

【解析】：若a?c=8?c，則（ai6）c=0,推不出。=6；若則a.c=Z?.c必成立，故"a.c=6.c"是=6

的必要不充分條件，故選B.

3.（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)。在，A3C中，D是邊上的中點(diǎn)，貝|（方=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【解析】CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA^=2CD-CA3.

4.（2019?上海?第13題）已知直線方程2x-y+c=0的一個方向向量才可以是（）

A(2,-1)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】D

【解析】依題意：(2,-1)為直線的一個法向量，方向向量為(1,2),選D

5.(2019?全國I。古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為叵口

2

(避二1合0,618,稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外，最美

2

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是息口.若某人滿足上述兩個黃金

2

分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是頭頂

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

咽喉

【答案】BW

cad

【解析】如圖，一二—=0.618,.?.。=0.6184c=0.618d,工肚臍

db

CCL

c<26,則〃=-----<42.07,a=c+d<68.07,b=------<110.15,

0.6180.618

所以身高/z=a+b<178.22,

又b>105,所以a=0.618Z?>64.89,身高/z=a+0>64.89+105=169.89,

故丸e(169.89,178.22),故選B.

二、填空題足底

1.(2023年天津卷?)在ABC中，NA=60,3C=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)AB=",AC=人，

則可用。力表示為；若BF=；BC,則AE.A/7的最大值為

1-1-13

【答案】①.~a+~b②.二

4224

AE+

【解析】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則瓦)+EC=0，可得＜ED"=AD

AE+EC=AC

兩式相加，可得到2AE=AD+AC，即2AE=ga+Z7,則AE=4a+tb；

242

1AF+FC=AC

因?yàn)?尸=-3。，則2EB+PC=0,可得〈

3AF+FB=AB

2-]-

得到AF+FC+2(AF+FB^=AC+2AB即3Ap=2。+匕，即人/=]。+3匕?于是

AE-AF=(^a+^b]-(^a+^b}^^[2a2+5a-b+2b2y記AB=x,AC=y,

貝ijAE?AF=J(2-+5a?6+2片)=,(2/+5孫cos60+2/)=92/+半+2/

在一ABC中，根據(jù)余弦定理：BC2^x2+y2-2xycos60^x2+y2-xy^l,

于是時(shí)成=42盯+苧+2]=\等+2）

由f+y?-孫=1和基本不等式，X2+y2-xy-1>2xy-xy-xy,

13

故孫<1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l取得等號，則x=y=l時(shí)，有最大值不

-11,13

故答案：-a+-b；--.

4224

2（2020北京高考?第13題）已知正方形ABC。的邊長為2,點(diǎn)尸滿足AP=g（AB+AC）,貝U|PO|=

PB.PD=?

【答案】⑴.卡（2）.-1

【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,4）所在直線分別為X、丫軸建立如下圖所

的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A（0,0）、8（2,0）、C（2,2）、0（0,2）,AP=^（AB+AC）=1（2,0）+1（2,2）=（2,1）,

則點(diǎn)P(2,l),.?.尸。=(_2,1),PB=(O,-l),

因此，歸￡（卜斤5r了=宕，PBPD=0x（-2）+lx（-l）=-l.故答案為：不；-1

考點(diǎn)02：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一、選擇題

1.(2023年北京卷。已知向量出b滿足a+6=(2,3),a—6=(—2,1),貝()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量d1滿足a+b=(2,3),a—/=(—2,1),

所以la,_g|2=(a+0)-(a—6)=2x(_2)+3xl=_l.故選：B

2.(2023年新課標(biāo)全國I卷.)已知向量a=(l,l),b=(l,—l),若(Z+明J_(Z+聞,則()

A.A+//=1B.丸+〃=—1

C.D.A/i=-L

【答案】D

【解析】因?yàn)閍=(l,l)為=(1,一1),所以a+2b=(l+4l—X),a+>=+—4),

由(a+2))J_(a+〃沙)可得，(a+4)》(a+=0,

即(1+九)(1+〃)+(1—2)(1—〃)=0,整理得：加=—1.故選：D.

二、填空題

1.（2023年新課標(biāo)全國II卷?第13題）已知向量a,匕滿足卜—囚=若，,+N=12a—川，則忖=.

【答案】出

【解析】法一：因?yàn)?+.=忸_司,即（a+6）=（2a-b）,

r?rrr?r?rrr?

則a+2a-b+b=4〃—4a-b+b,整理得。19-2a-b-09

又因?yàn)?一可二后，即（〃—》『=3,

則2荽+￡』2=3,所以小技

1]IFIrrrrrrrr

法二：設(shè)c=5_〃，貝"c|=j3,a+6=c+2仇2a—0=2c+6,

/1r、2/rr\2rrrrr?rrr?

由題思可得：（c+2Z?）=（2c+"）,則°?+4c-Z?+4Z?9=4c+4c-b+b'

整理得：；2』2,即=C故答案為：技

2（2021年高考全國乙卷?）已知向量a=（1,3）]=（3,4）,若（a—X。），匕，則4=.

3

【答案】-

【解析】因?yàn)閍—勸=。,3）—彳（3,4）=（1—3/1,3—4彳），所以由（a—例），人可得，

33

3（1-32）+4（3-42）=0,解得;1=（.故答案為：

3.（2020江蘇高考）在AABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90。,。在邊3c上，延長45到P,使得AP=9,若

3

出=相依+（5—機(jī)）PC（機(jī)為常數(shù)），則CD的長度是.

1Q

【答案】y

【解析】AQ,P三點(diǎn)共線，J可設(shè)P4=X尸。（4>0）,

/.PA=mPB+I-沙C,

3|-m

/.APD=mPB+----m“’即一

2PC,

2

33

若mwO且相。不，則民。，。三點(diǎn)共線，m,即4=—,

2/.—+2

2

AP=9,:.AD=3,AB=4,AC=3,ZBAC=90°,:.BC=5,

設(shè)CD=x,NOM=e,貝|BD=5—x,ZBDA=7r—e.

■.根據(jù)余弦定理可得cos6=A"+C￡>2AU=%3+BD?-AB?(57)、7

cos("一e)=

2AD-BD6(5-x)

cos6)+cos(^-6?)=0,.?.j+(5j)J=o,解得彳=學(xué)，.〔CD的長度為電.

66(5-x)55

3

當(dāng)m=0時(shí)，PA=-PC,C,。重合，此時(shí)CD的長度為0,

2

3312

當(dāng)相=二時(shí)，PA=-PB,3,。重合，此時(shí)巴4=12,不合題意，舍去.故答案為：0或三.

225

4.（2019-浙江?）已知正方形ABCD的邊長為1當(dāng)每個41=1,2,3,4,5,6）取遍±1時(shí)，

^AB+^BC+^CD+^DA+^AC+^BE\,的最小值是,最大值是.

【答案】0,26

【解析】正方形ABCD的邊長為1,可得A3+AO=AC，BD=AD-AB^AB.AD=0.

所以14AB+4BC+4CD+；l4DA+4AC+4BD|

=|4A,B+A2A.D—4A.B—A4A,D+々A,B+A5A,D+&AO—4A31

=1(4-4+4-4)AB+(22-24+25+26)ADI=—4+4-4)2+(4-4+4，

由于4(，=i,2,3,4,5,6)取遍±1,取4=4=1,4=4=1，4=—i，4=1時(shí)

得4—4+4—4=o，4—4+4+4=。,此時(shí)所求最小值為o；

由中4一4+4-4，%-4+4+兒中的一■個最大值為4,另一■個為2,

可取4=1,4=-1,4=4=1,4=1,4=->，此時(shí)所求最大值為2君.

考點(diǎn)03：平面向量的數(shù)量積與夾角問題

三、選擇題

1.（2023年全國甲卷?第4題）已知向量d,Z?,c滿足同=W=lJc|=0\>a+Z>+c=0>則cos〈a-。/一c〉=

422

A.——B.——C.一

555

【答案】D

【解析1因?yàn)閍+b+c=0,所以1+%=-c

ADB

B

D

即。2+。2+2〃必=02,即]+]+2)。=2,所以〃力=0.

如圖，設(shè)CM=a,O3=6,OC=c,

由題知,04=03=1,。。=及，是等腰直角三角形,

AB邊上的高。。=1,A。=也,

22

所以CD=CO+8=0+歲平,tanNACD噎=；,cosNACD=扁

4

cos(d-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1=2x一1=一.故選:D.

5

2.（2023年全國乙卷?第12題）己知一。的半徑為1,直線尸4與〈。相切于點(diǎn)A.直線尸2與C。交于2.C兩點(diǎn),

。為2C的中點(diǎn)，若1Poi=J5,則？A.PD的最大值為)

A?萼R1+2V2

2

C.1+72D.2+72

【答案】A

【解析】如圖所示，|QA|=1,|OP|=JL則由題意可知:NAPO=45,

由勾股定理可得Q4=7（?P2-OA2=1

,冗

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線尸。異側(cè)時(shí)，設(shè)NOPC=o,OKCLV—,

4

則：PAPD=I^A||PD|cosltz+—

1+cos2a1._1/T

=^2cosa——cosa------sin?=cos2tz-sintzcosa----------------sinla=1x^2cosacosa+工

2I4

I2722

J__V|sinf2a-^

22

TTTCTCTCJT71

則一丁2〃一丁丁.當(dāng)"一『一“時(shí)'PA”有最大值1.

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)ZOPC=a,0<a<-,

4

71

則：PAPD=\PA\-\PD\cos[a-^=1x72cosacosa------

4

2

cos?+^sinJ=Cosa+sinacosa=1+cos2。1.-

=A/2COSa-------------1--sin2a

2)22

sWa+^71OVa4則aa+瀉

=144

.??當(dāng)2u+&=工時(shí)，申.如有最大值巨史.綜上可得，的最大值為匕也.故選：A.

4222

3.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)?第3題）已知向量/力滿足|。|=1,|切=百,|a—26=3,則小。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C【解析】-：\a-2b|2=|?|2-4a-b+4^,又：|a|=1,|切="|a—2們=3,

???9=l-4a-b+4x3=13-4a-b，a-b=1故選：C.

4.（2020年高考課標(biāo)III卷?第6題）已知向量a,6滿足Ia1=5,\b\=6,a-b=-6,貝!!cos（a,a+5）=（）

【答案】D

【解析】?^|=5,|/?|=6,0.b=—6，/.a?Q+b）=+a-b=52-6=19.

a+0=+2〃./?+//-,25-2x6+36=7，

aAa+b\1919乂巾

因止匕，cos<a,a+b>=廠合----T----=一?故選：D.

5x735

5.（2019?全國n理第3題）已知AB=（2,3）,AC=（3,?）,|BC|=1,則AB.3C=（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析】???AB=（2,3）,AC=（3,/），ABC=AC-AB=（1J-3）,A|BC|=^l2+（Z-3）2=1,解得t=3,

即3c=（1,0）,則4從正=（2,3）Q0）=2xl+3x0=2.

6.（2019?全國I?第7題）已知非零向量a,b滿足|。|=2|，且（a—則@與人的夾角為（）

■以|2

【解析】=—牙；力=/=吼，所以（。）=所以

=0,.a11cosa,:：?=

'，'，'/\a\-\b\2bf2

四、填空題

1.（2021年高考浙江卷?）已知平面向量a,b,c,（cw0）滿足忖=1,忖=2,。2=0,（＜2-?！?0.記向量1在方向上

的投影分別為無，y，d-a在"方向上的投影為z,則r+V+z?的最小值為

【答案】I2

【解析】：由題意，設(shè)。=(1,0),6=(0,2),c=("2,“)，則(。-■A)?c=〃z-2"=0,即m=2”，

又向量d在〃方向上投影分別為無，》所以d=（x,y）,

（d—a）-cm(x-l)+ny2x-2+y

所以乙“在C方向上的投影z=F"忑

即2x+y—^z=2,所以f+V+z2=：22+l2+(-^)2p+/+z2)>^(2J;+y-^z)2=|,

2

x=—

5

x_y_z

即y=1時(shí)，等號成立，所以f+J+z?27

當(dāng)且僅當(dāng),2-1~-75的最小值為故答案為

2x+y-=2

2.(2021年新高考全國II卷.)已知向量。+6+2=0，忖=1,W=，=2,a-b+b-c+c-a=

9

【答案】

【解析】：由己知可得(a+6+c)=a+b~+c+2(a-b+b?C+C.Q)=9+2(Q.b+Z7.C+C.Q)=0,

Q9

因此，a-b+b-c+c-a=一一.故答案為：一一.

22

3.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)?）設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為g,且付=1,，|=3,則（2q+6）2=

【答案】11

【解析】設(shè)a與b的夾角為。，因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為g,即cos6=g,

又何=1,網(wǎng)=3,所以02=忖.|小0$夕=1*3*3=1,所以（2a+6）?6=2a?6+/=2°?6+忖-=2x1+3?=11.

故答案為：11.

4.（2020年高考課標(biāo)II卷.）已知單位向量的夾角為45。，左］與;垂直，則七.

【答案】叵

2

【解析】由題意可得：X?=lxlxcos45=與，