第19講等腰三角形和直角三角形講義（9類知識點8類命題點AB分層）（原卷版）

第19講等腰三角形和直角三角形（原卷版）第一部分知識點知識點1等腰三角形的概念和性質(zhì)1．（2023秋?北海期末）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為3和5，則它的周長為（）A．11 B．13 C．11或13 D．12或132．（2023秋?北海期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若∠C＝70°，則∠ABE＝（）A．30° B．40° C．60° D．70°3．（2023秋?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2023?宿遷）若等腰三角形有一個內(nèi)角為110°，則這個等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°知識點2等腰三角形的判定5．（2023秋?安陸市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分別是線段BC、AC上的一點，根據(jù)下列條件之一，不能確定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°6．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為．知識點3等邊三角形的概念和性質(zhì)7．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．（2023秋?岳麓區(qū)期中）如圖，邊長為5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此時陰影部分的周長為cm．知識點4等邊三角形的判定9．（2022秋?威縣期末）若一個三角形是軸對稱圖形，且有一個內(nèi)角為60°，則這個三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．上述三種情形都有可能知識點5垂直平分線的性質(zhì)10．（2023秋?寧陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直線DE是AC的垂直平分線，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，則∠C＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°11．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是．知識點630°的直角三角形的性質(zhì)12．（2023秋?瀘縣期末）已知直角三角形30°角所對的直角邊長為5，則斜邊的長為（）A．5 B．10 C．8 D．12知識點7直角三角形斜邊中線的性質(zhì)13．（2023?株洲）一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm14．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16知識點8勾股定理及勾股定理逆定理15．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（）A．5 B．6 C．655 16．（2023?樂山）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（）A．45 B．35 C．2517．（2023秋?洋縣期末）下列各組數(shù)分別作為一個三角形的三邊長，其中能構成直角三角形的是（）A．2，2，1 B．2，3，2 C．2，2，22 18．（2023秋?威寧縣期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，22，10 D．7，24，25知識點9勾股定理的應用19．（2023?無錫）《九章算術》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．20．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長是（）A．2 B．22 C．2 第二部分命題點舉一反三命題點1等腰三角形的判定與性質(zhì)【典例1】（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【舉一反三】1．（2023秋?新泰市期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于E、F．（1）試說明△CEF是等腰三角形．（2）若點E恰好在線段AB的垂直平分線上，試說明線段AC與線段AB之間的數(shù)量關系．2．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，G為BC的中點，連接FG．求證：FG=12命題點2等邊三角形的性質(zhì)與判定【典例2】（2023秋?高安市期中）已知：如圖所示，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？【舉一反三】1．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為cm．2．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為．3．（2023春?東港市期末）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．命題點三直角三角形的性質(zhì)【典例3】（2023?金安區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．10?41 B．41?3 C．241?【舉一反三】1．（2023?荊州）CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝．2．（2023秋?惠山區(qū)月考）已知，如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點．求證：①BM＝DM；②MN⊥BD．3．（2023秋?石獅市期末）如圖，在△ABC中，CO⊥AB于點O，BA＝BC＝3，AO＝1．（1）求CO的長；（2）若點D是射線OB上的一個動點，過點D作DE⊥AC于點E．①當點D在線段OB上時，若AO＝AE，求OD的長；②設直線DE交射線CB于點F，連接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的長．命題點4勾股定理及其逆定理【典例4】（2023?萊西市期末）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，E是邊AC的中點，連接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求證：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面積．【舉一反三】1．（2023秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，E為AB邊上的一點，連接CE并延長，過點A作AD⊥CE，垂足為D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．（1）試說明∠B為直角；（2）記△ADE的面積為S1，△BCE的面積為S2，則S2﹣S1的值為．2．（2023?濟寧）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α命題點5勾股定理的應用【典例5】（2023秋?清新區(qū)期中）如圖，一塊四邊形空地，已知AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，且AB⊥BC，（1）求這塊空地的面積；（2）若在這塊空地上種植草皮，每平方米需要100元，問需要投入多少資金種植草皮？【舉一反三】1．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．2．（2023?寶雞一模）如圖，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球，如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人行走的路程BC是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米3．（2023?鄖陽區(qū)模擬）小強家因裝修準備用電梯搬運一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是1m，1m，2m，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是（）A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m命題點6與等腰三角形有關的動點問題【典例6】（2023秋?豐南區(qū)期中）如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．（1）若∠MON＝70°，則∠ACG＝（直接寫出答案）；（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示并寫出理由）；（3）如圖2，若∠MON＝80°，過點C作CF∥OA交AB于點F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關系．【舉一反三】1．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（3，3），點P在x軸上運動，若以點A，P，O為頂點作等腰三角形，則能作出的三角形個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2023秋?瑞安市期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，已知BD＝6，AD＝8．（1）求CD的長．（2）動點P從點B出發(fā)，沿射線BD以每秒1個單位長度的速度運動，Q為射線DA上一點，DQ＝BP，連結PQ，設點P運動的時間為t秒．①當點P在線段BD上時，若△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，求t的值．②在點P的整個運動過程中，作點Q關于AP的對稱點Q'，連結BQ'，當BQ'∥AC時，請直接寫出此時PD的長：．命題點7與直角三角形有關的動點問題【典例7】（2022秋?海勃灣區(qū)期末）如圖，點A是射線BC外一點，連接AB，AB＝5cm，點A到BC的距離為3cm．動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動．設運動的時間為t秒，當t為2或258秒時，△ABP【舉一反三】1．（2023春?定南縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一動點（不與B，C重合），DE⊥AB于點E，點F是線段AD的中點，連接EF，CF．（1）試猜想線段EF與CF的大小關系，并加以證明．（2）若∠BAC＝30°，連接CE，在D點運動過程中，探求CE與AD的數(shù)量關系．2．（2023秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．13．（2023春?碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10，點P為邊BC上一動點，過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，點F為AP中點，連接DFA．2105 B．255 C．4．（2023秋?建鄴區(qū)月考）如圖，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上的兩個動點，點C是線段PQ的中點，且PQ＝4．則動點C運動形成的路徑長是．命題點8與等腰直角三角形有關的證明【典例8】（2023秋?建甌市期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一點，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠CAP＝20°，則∠AMQ＝65°．（2）判斷AP與QM的數(shù)量關系，并證明．【舉一反三】1．（2023?寶應縣一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一點，CD＝AB，過點D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．（1）求證：△ACE是等腰直角三角形；（2）延長DE至F，使得EF＝CD，連結BF并與CE的延長線相交于點G，求∠BGC的度數(shù)．第三部分自我反饋分層訓練A組1．（2023秋?夏邑縣期末）等腰△ABC中AB＝AC，AD、BE為三角形的角平分線，且AD、BE交于點O，若∠C＝64°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．108° B．116° C．122° D．134°2．（2023秋?銅官區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D和點E分別在BC和AC上，AD＝AE，則下列結論一定正確的是（）A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45°3．（2023秋?臨高縣期末）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，則△AEF的周長為（）A．16 B．17 C．18 D．194．（2023秋?川匯區(qū)期末）如圖，點P在∠MON內(nèi)，點P關于OM，ON的對稱點分別為E，F(xiàn)，若EF＝OP，則∠MON的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°5．（2022秋?方城縣期末）如圖，一個等腰直角三角板的直角頂點C在MN上，頂點A在PQ上，∠PAC＝∠ACN，∠1＝22°，則∠2的大小為（）A．21° B．22° C．23° D．20°6．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝5．7．（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為里．8．（2022秋?唐山期末）下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：59．（2023春?曾都區(qū)期末）如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，木桿折斷之前的高度為（）A．7米 B．8米 C．9米 D．12米10．（2023秋?夏邑縣期末）如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上一點，若線段PA＝2，則線段PB＝（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022秋?太康縣期末）已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結論】如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結論，設計新題】在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應圖形，并直接寫出結果）．B組1．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°2．（2023?臺灣）如圖，△ABC中，D點在BC上，且BD的中垂線與AB相交于E點，CD的中垂線與AC相交于F點，已知△ABC的三個內(nèi)角皆不相等，根據(jù)圖中標示的角，判斷下列敘述何者正確（）A．∠1＝∠3，∠2＝∠4B．∠1＝∠3，∠2≠∠4 C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠43．（2023?揚州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（）A．1 B．2 C．6 D．84．（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是．5．（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是．6．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為．7．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝．8．（2023春?西城區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中線，E是CD的中點，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長為．9．（2023?中原區(qū)開學）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D是邊AC上的一點，且CD＝1.5，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒3個單位的速度向右運動．設點P的運動時間為t．過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當t為時，能使DE＝CD．10．（2022秋?青浦區(qū)期末）在證明“勾股定理”時，可以將4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示，AB＜BC）．如果小正方形的面積是25，大正方形的面積為49，那么BCAB=11．（2023秋?泰山區(qū)期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的