湖南省多校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024年上學(xué)期高一3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共4頁，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前.考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C.2.已知向量，且，則正數(shù)（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由可得，即可求解.【詳解】由得，解得或，因?yàn)闉檎龜?shù)，所以.故選：.3.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可知或，則無法判斷是否成立，故充分性不成立；當(dāng)，時(shí)滿足，但是、均無意義，即不成立，故必要性成立；因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D4.已知平面向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再利用投影向量的定義即可求得在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】在上投影向量的坐標(biāo)為.故選：B5.將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（）A.8 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出，即可得到且，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以且，所?故選：B.6.已知的面積為，則（）A.13 B.14 C.17 D.15【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)三角形的面積公式求出，再利用余弦定理即可得解.【詳解】的面積，所以，由余弦定理得，因此.故選：C7.某次軍事演習(xí)中，炮臺(tái)向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺(tái)向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺(tái)均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺(tái)在東西方向上的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先求得之間在南北方向上的距離，繼而可求得兩炮臺(tái)在東西方向上的距離.【詳解】法一：由題意得，在北偏西方向上，之間在南北方向上的距離為，則在東西方向上的距離為，其中，因此，法二：過炮臺(tái)點(diǎn)作東西方向的水平線交正北方向分別為點(diǎn)，則由圖知.故選：A.8.已知函數(shù)和的定義域均為，若滿足，且與圖象的交點(diǎn)為，，，，則（）A.必為奇數(shù)，且B.必為偶數(shù)，且C.必為奇數(shù)，且D.必為偶數(shù)，且【答案】A【解析】【分析】由已知可求函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由題意可得，且，因此與的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，若，則必有，因此必為奇數(shù)，且，因此可知.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分.9.在中，，則下列說法正確的是（）A.若，則符合條件的有且只有1個(gè)B.若，則符合條件的有且只有2個(gè)C.若，則符合條件的有且只有2個(gè)D.若，則不存在這樣的【答案】ABD【解析】【分析】本題考查三角形解的個(gè)數(shù)問題，可以用兩種方法解決，第一種畫圓的方法，根據(jù)圓與射線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定解的個(gè)數(shù)，第二種方法，由余弦定理得關(guān)于的方程，代入的值，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判斷三角形個(gè)數(shù).【詳解】（解法一）：以為圓心，長為半徑畫圓，記為圓.如圖，時(shí)，圓恰與相切，故符合條件的有且只有1個(gè)，A正確；如圖，當(dāng)時(shí)，圓與射線有兩個(gè)交點(diǎn)，故符合條件的有且只有2個(gè)，B正確；時(shí)，圓與射線有兩個(gè)交點(diǎn)，但其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)本身，因此符合條件的有且只有1個(gè)，C錯(cuò)誤；時(shí)，圓與無交點(diǎn)，故不存在這樣的，D正確.故選：ABD.（解法二）：設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，由余弦定理得，即.時(shí)，，則有且僅有一個(gè)解，故A正確；時(shí)，，解得，故B正確；時(shí)，，解得（舍去），，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，該方程無解，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的圖象的對(duì)稱中心為D.是奇函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由正切函數(shù)最小正周期為，即可判斷；由，即可判斷；由正切函數(shù)的對(duì)稱中心即可求的對(duì)稱中心，判斷；首先求的解析式，再由函數(shù)的奇偶性定義即可判斷.【詳解】，，故錯(cuò)誤；故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故正確；令，，則，，所以對(duì)稱中心為，故錯(cuò)誤；設(shè)函數(shù)，，，即，，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋远x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故是奇函數(shù)，故正確.故選：.11.向量積在數(shù)學(xué)和物理中發(fā)揮著重要作用.定義向量與的向量積的模，則下列說法正確的是（）A.B.若為非零向量，且，則C.若的面積為，則D.若，則的最小值為3【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合新定義向量與的向量積的模，三角形的面積公式和向量的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由定義向量與的向量積的模，對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，即，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，因此，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若非零向量，滿足，則_________.【答案】##【解析】【分析】對(duì)給定式子進(jìn)行換元，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義求解即可.【詳解】令，可得，，，則.故答案為：13.在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，正六邊形的頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，則__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)為正六邊形的中心，連接，，，根據(jù)題意可知，進(jìn)而用向量，表示，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)為正六邊形的中心，連接，，，由題意得，為直角三角形，，因?yàn)?，所以，所以，又，因此，即?故答案為：；.14.設(shè)函數(shù)，在中，，則周長的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由，化簡得到，再利用正弦定理和輔助角公式，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，可得，整理得，即，即，因?yàn)椋傻?，所以，且，由正弦定理，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因此周長的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算出向量，，再根據(jù)向量平行列出方程求解即可.（2）先根據(jù)與的夾角為銳角得出，且夾角不為，再分別求出和夾角不為時(shí)的取值范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)樗裕?又因?yàn)?，所以，解得【小?詳解】因，所以.因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且夾角不為.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)與的夾角為時(shí)，，解得，故與的夾角不為時(shí)，；綜上可得：的取值范圍是.16.在中，分別是上的點(diǎn)，且與相交于點(diǎn).（1）用表示；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，求出，表達(dá)出；（2）根據(jù)題意求解，求出的最大值，進(jìn)而求出的最大值.【小問1詳解】設(shè)，，因此解得，因此.【小問2詳解】由（1）得，，因此，又因?yàn)?，因此，由，?dāng)時(shí)，最大為，因此的最大值為.17.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡得到，進(jìn)而求得，即可求解.（2）不妨設(shè)，在中，利用正弦定理，化簡得到，根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，又由，可得，所以，所以，解得或（舍去），因?yàn)?，所?【小問2詳解】解：不妨設(shè)，則，在中，可得，因?yàn)槭卿J角三角形，所以且，則，所以，可得，所以，所以.18.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求；（2）若，求滿足不等式的最大整數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)的定義可得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，化簡得：解得，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，所以【小問2詳解】依題意有，即，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，因此滿足不等式，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，因此，即，解得，即.因?yàn)椋虼藵M足不等式的最大