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文檔簡介
2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)空間位置關(guān)系與空間幾何體的基本計算
考點梳理考情回顧高考預(yù)測空間幾何體的面
積與體積2023新高考Ⅰ卷第14題2022新高考Ⅰ卷第4題2022新高考Ⅱ卷第11題1.熱點:計算空間幾何體
的體積、空間角,以選擇
題、填空題呈現(xiàn).2.重點:判斷空間點、
線、面的位置關(guān)系,以多
選題呈現(xiàn).空間角與距離2023新高考Ⅱ卷第9題2022新高考Ⅰ卷第9題空間點、線、面
的位置關(guān)系2021新高考Ⅰ卷第12題2021新高考Ⅱ卷第10題
1.(2022·上海卷)如圖,在正方體
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,
P
,
Q
,
R
,
S
分別為棱
AB
,
BC
,
BB
1,
CD
的中點,連接
A
1
S
,
B
1
D
.
規(guī)定空
間中任意兩點
M
,
N
,若線段
MN
上不存在點在線段
A
1
S
,
B
1
D
上,則
稱
M
,
N
兩點可視.下列各點中,與點
D
1可視的為(
D
)A.點PB.點BC.點RD.點QD
CA.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m33.(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1,則下
列說法中,正確的是(
ABD
)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°ABD4.(2019·全國Ⅰ卷改編)如圖,直四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1的底面是
菱形,
AA
1=4,
AB
=2,∠
BAD
=60°,
E
是
BC
的中點,則點
C
到平
面
C
1
DE
的距離為
?
1.判斷空間點、線、面位置關(guān)系的常用方法(1)
根據(jù)空間線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理
和性質(zhì)定理逐項判斷,解決問題.(2)
必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀
察點、線、面的位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷.
(3)
平面與平面的夾角的求法①
幾何法:找到二面角的棱的一個垂面,即可確定平面角,常利用三
垂線定理作二面角的平面角.
4.(1)
旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積①
S
圓柱側(cè)=2π
rl
,
S
圓柱表=2π
r
(
r
+
l
)(
r
為底面半徑,
l
為母線長).②
S
圓錐側(cè)=π
rl
,
S
圓錐表=π
r
(
r
+
l
)(
r
為底面半徑,
l
為母線長).③
S
球表=4π
R
2(
R
為球的半徑).(2)
空間幾何體的體積公式①
V
柱=
Sh
(
S
為底面面積,
h
為高).
熱點1
空間點、線、面的位置關(guān)系判斷[典例設(shè)計]例1(1)
(多選)已知
m
,
n
是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的
平面,則下列說法中,正確的是(
BD
)A.若α∥β,m?α,n?β,則m∥nB.若m⊥α,m∥n,n⊥β,則α∥βC.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥nD.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥βBD解:對于A,兩個平行平面內(nèi)的兩條直線,可能平行,也可能異面.故A
錯誤.對于B,若
m
⊥α,
n
⊥β,則直線
m
,
n
對應(yīng)的方向向量
a
,
b
可分
別看作α,β的法向量.因為
m
∥
n
,所以
a
∥
b
.因為α,β是兩個不同的平
面,所以α∥β.故B正確.對于C,無法判斷
m
,
n
的位置關(guān)系.故C錯誤.對
于D,因為
m
⊥α,
m
∥
n
,所以
n
⊥α.因為
n
∥β,所以在平面β內(nèi)存在
直線
c
,使得
n
∥
c
.所以
c
⊥α.又因為
c
?β,所以α⊥β.故D正確.綜上所
述,符合題意的是BD.(2)
(多選)如圖所示為一個正八面體,它的每個面均為正三角形.若
G
,
H
,
M
,
N
分別是該正八面體的棱
DE
,
BC
,
AD
,
BF
的中點,則
下列結(jié)論中,正確的是(
AC
)ACA.四邊形AECF是平行四邊形B.GH與MN是異面直線C.GH∥平面EABD.GH⊥BC
因為
GM
∥
AE
,
GM
?平面
EAB
,
AE
?平面
EAB
,所以
GM
∥平面
EAB
.
易證
MH
∥
AB
,又因為
MH
?平面
EAB
,
AB
?平面
EAB
,所以
MH
∥平面
EAB
.因為
GM
?平面
MNHG
,
MH
?平面
MNHG
,
GM
∩
MH
=
M
,所以平面
MNHG
∥平面
EAB
.
又因為
GH
?平面
MNGH
,所以
GH
∥平面
EAB
.
故C正確.易知
EH
⊥
BC
,
MH
⊥
BC
,又因為
EH
∩
MH
=
H
,
EH
?平面
EMH
,
MH
?平面
EMH
,所以
BC
⊥平面
EMH
.
因為
GH
?平面
EMH
,
GH
∩平面
EMH
=
H
,
BC
∩平面
EMH
=
H
,所以
GH
與
BC
不垂直.故D錯誤.綜上所述,符合題意的是AC.[對點訓(xùn)練]1.(1)
(多選)在長方體
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,直線
A
1
C
與平面
AB
1
D
1的交點為
M
,
O
為線段
B
1
D
1的中點,則下列說法中,正確的是
(
ABD
)A.A,M,O三點共線B.M,O,A1,A四點共面C.B,B1,O,M四點共面D.A,O,C,M四點共面ABD123456789101112131415161718192021222324解:根據(jù)題意,作出圖形如圖所示.連接
AC
,
A
1
C
1,
OA
.
易知
A
1
C
1∩
B
1
D
1=
O
.
因為
AA
1∥
CC
1,所以
A
,
A
1,
C
1,
C
四點共面.因為
M
∈
A
1
C
,所以
M
∈平面
ACC
1
A
1.因為
M
∈平面
AB
1
D
1,所以點
M
在平面
ACC
1
A
1與平面
AB
1
D
1的交線上.因為平面
ACC
1
A
1∩平面
AB
1
D
1=
OA
,所以
A
,
M
,
O
三點共線,從而
M
,
O
,
A
1,
A
四點共面,
A
,
O
,
C
,
M
四點共面.故ABD正確.由長方體的性質(zhì),易得
OM
,
BB
1是異面直線,所以
B
,
B
1,
O
,
M
四點不共面.故C錯誤.綜上所述,符合題意的是ABD.(2)
設(shè)點
E
為正方形
ABCD
的中心,
M
為平面
ABCD
外一點,△
MAB
為等腰直角三角形,且∠
MAB
=90°.若
F
是線段
MB
的中點,則下列說
法中,正確的是(
B
)A.ME≠DF,且直線ME,DF是相交直線B.ME=DF,且直線ME,DF是相交直線C.ME≠DF,且直線ME,DF是異面直線D.ME=DF,且直線ME,DF是異面直線B
熱點2
空間角與距離的簡單計算[典例設(shè)計]例2(1)
在正方體
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,若
P
為
B
1
D
1的中點,則
直線
PB
與
AD
1所成的角為(
D
)D
(2)
(2022·全國甲卷)在長方體
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,已知
B
1
D
與
平面
ABCD
和平面
AA
1
B
1
B
所成的角均為30°,則下列說法中,正確的是
(
D
)A.AB=2ADB.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC=CB1D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°D
(3)
如圖,在正四棱柱
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,
AA
1=2
AD
,
E
為側(cè)
棱
DD
1上一點.若直線
BD
1∥平面
AEC
,則二面角
E
-
AC
-
B
的正切值
為(
B
)B
總結(jié)提煉
空間角的計算通常運用向量法或幾何法.解題時應(yīng)根據(jù)實際情況靈
活選用方法,提高解題效率.[對點訓(xùn)練]2.(多選)(2022·廣州模擬)在長方體
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1中,
AB
=
2,
AA
1=3,
AD
=4,則下列命題中,為真命題的是(
ACD
)ACD[典例設(shè)計]例3(1)
(2022·廣州模擬)如圖,在四棱錐
P
-
ABCD
中,
PB
⊥平
面
ABCD
,
AB
⊥
BC
,
PB
=
AB
=2
BC
=2,則點
C
到直線
PA
的距離為
(
A
)AD.2
總結(jié)提煉
求點到平面的距離有兩種方法,一是向量法,二是等體積法.向量
法的本質(zhì)是坐標(biāo)運算,等體積法的本質(zhì)是對體積實施兩次運算建立所
求距離的方程求解
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