2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

考點梳理考情回顧高考預(yù)測利用恒成立（存

在性成立）求參

數(shù)范圍2022全國甲卷（理）第21題2022新高考Ⅱ卷第22題2020新高考Ⅰ卷第21題1.利用恒成立（存在性

成立）求參數(shù)范圍：重

點考查利用導(dǎo)數(shù)討論函

數(shù)的最值從而求參數(shù)范

圍.2.不等式證明：重點考

查利用函數(shù)的單調(diào)性證

明不等式（或數(shù)列不等

式）.不等式證明2023新高考Ⅰ卷第19題2023新高考Ⅱ卷第22題2021新高考Ⅰ卷第22題數(shù)列不等式證明2022新高考Ⅱ卷第22題

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題的常用方法：（1）

直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式

f

（

x

）＞

g

（

x

）（或

f

（

x

）＜

g

（

x

））轉(zhuǎn)化為證明

f

（

x

）－

g

（

x

）＞0（或

f

（

x

）－

g

（

x

）＜0），

進而構(gòu)造輔助函數(shù)

h

（

x

）＝

f

（

x

）－

g

（

x

）.（2）

適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放

縮結(jié)論.（3）

構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根

據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）ln

x

單獨出來，e

x

找

f

（

x

）配對.（5）

指對共存問題，凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題.（6）

同構(gòu)變形.

熱點

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題

[思維導(dǎo)圖]構(gòu)造函數(shù)

g

（

x

）＝（2

x

－2sin

x

＋cos

x

）e

x

→求

g

（

x

）的導(dǎo)數(shù)，判斷

單調(diào)性→求

g

（

x

）的最小值→判斷

g

（

x

）的最小值＞1

解：（1）

x

－

y

－1＝0.

（2）

當(dāng)

a

＝1時，求證：e

x

（π－

x

）＋1≥sin

x

－cos

x

.

總結(jié)提煉

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，先考慮能否直接構(gòu)造差函數(shù)；如果差函數(shù)

求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手，可進一步考慮變形，尋找可以傳遞的中間

量放縮，如對點訓(xùn)練中利用e

x

sin

x

＋1滿足e

x

（π－

x

）＋1≥e

x

sin

x

＋

1≥sin

x

－cos

x

進行證明.[典例設(shè)計]例2已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

－ln（

x

＋1）.（1）

求

f

（

x

）的最小值；（2）

若

xx

－

x

ln

x

＋（2－

a

）

x

－1≥0恒成立，求實數(shù)

a

的取值范圍.[思維導(dǎo)圖]分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)

h

（

x

）→求

h

（

x

）的最值→

a

≤

h

（

x

）恒成立

轉(zhuǎn)化為

a

≤

h

（

x

）min

總結(jié)提煉

由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略（1）

求最值法：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.（2）

分離參數(shù)法：將參數(shù)分離出來，進而轉(zhuǎn)化為

a

＞

f

（

x

）max或

a

＜

f

（

x

）min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)

f

（

x

）的最值，即可得參

數(shù)的取值范圍.[對點訓(xùn)練]

（1）

當(dāng)

a

＞0時，求證：

f

（

x

）≥0；

（2）

若函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（e，e2）上單調(diào)遞增，求實數(shù)

a

的取值范圍.

[思維導(dǎo)圖]求

g

（

x

）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性→利用零點存在定理判斷極值點→

t

≥

g

（

x

）有解轉(zhuǎn)化為

t

≥

g

（

x

）min→根據(jù)隱零點的范圍比較函數(shù)值取整數(shù)解

總結(jié)提煉

（1）

不等式有解問題：①

一般地，?

x

∈

D

，使得

a

＞

f

（

x

）有解，則只需

a

＞

f

（

x

）min；②

一般地，?