2013年上海市徐匯區(qū)中考數學一模試卷含解析

2013年上海市徐匯區(qū)中考數學一模試卷一．選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，那么tanA等于（）A． B． C． D．2．（4分）將拋物線y＝x2沿y軸向上平移1個單位后所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）23．（4分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（4分）關于二次函數y＝（x+2）2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．最低點是A（2，0） C．對稱軸是直線x＝2 D．對稱軸的右側部分是上升的5．（4分）如圖，AC、BD相交于點O，下列條件中能判定CD∥AB的是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，那么下列結論中錯誤的是（）A．AC2?BD＝BC2?AD B．BC2?BD＝CD2?AB C．AD?BC＝AC?CD D．CD?BC＝AC?BD二．填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計算：2sin60°?tan45°＝．8．（4分）計算：＝．9．（4分）拋物線y＝﹣2x2﹣x+3與y軸交點的坐標是．10．（4分）如果兩個相似三角形對應角平分線的比是2：3，那么它們對應高的比是．11．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BF＝15，那么BD＝．12．（4分）點C是線段AB上一點，BC＝2AC，點M、N分別是線段AC、BC的中點，那么MN：BC等于．13．（4分）拋物線y＝ax2+bx+c過（﹣1，0）和（5，0）兩點，那么該拋物線的對稱軸是．14．（4分）在以O為坐標原點的直角坐標平面內有一點A（2，4），如果AO與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα＝．15．（4分）小明同學身高1.5米，經太陽光照射，在地面的影長為2米，他此時測得旗桿在同一地面的影長為12米，那么旗桿高為米．16．（4分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是．17．（4分）兩個等腰直角三角形ACB和DCE的位置如圖所示，點A、C、E和點B、C、D分別在一直線上，∠ACB＝90°，，AB＝3DE，點G、H分別是△ACB、△DCE的重心，聯(lián)結GH，那么GH＝．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，點D是斜邊AB的中點，把△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′．那么AA′的長是．三．（本大題共7題，第19-22題每題10分；第23、24題每題12分；第25題14分；滿分78分）19．（10分）拋物線y＝ax2+2x+c經過點B（3，0）、C（0，3）兩點．（1）求拋物線頂點D的坐標；（2）拋物線與x軸的另一交點為A，求△ABC的面積．20．（10分）如圖，在△ABC中，點D是邊AB的中點，△ABC，△BCD．．（1）求CD的長；（2）設，，求向量（用向量、表示）．21．（10分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作ED∥BC交AB于點D．（1）求證：AE?BC＝BD?AC；（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的長．22．（10分）如圖，小島B正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測得小島B在它的南偏東15°方向，求小島B離開深水港口A的距離．（精確到0.1千米）參考數據：，，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．23．（12分）“數學迷”小楠通過從“特殊到一般”的過程，對倍角三角形（一個內角是另一個內角的2倍的三角形）進行研究．得出結論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，如果∠A＝2∠B，那么a2﹣b2＝bc．下面給出小楠對其中一種特殊情形的一種證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：a2﹣b2＝bc．證明：如圖2，延長CA到D，使得AD＝AB．∴∠D＝∠ABD，∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴，即∴a2﹣b2＝bc根據上述材料提供的信息，請你完成下列情形的證明（用不同于材料中的方法也可以）：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求證：a2﹣b2＝bc．24．（12分）拋物線y＝mx2﹣5mx+n與y軸正半軸交于點C，與x軸分別交于點A和點B（1，0），且OC2＝OA?OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是y軸上一點，當△PBC和△ABC相似時，求點P的坐標．25．（14分）梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝10，AB＝50，cosA＝，∠A+∠B＝90°，點M是邊AB的中點，點N是邊AD上的動點．（1）如圖1，求梯形ABCD的周長；（2）如圖2，聯(lián)結MN，設AN＝x，MN?cos∠NMA＝y(tǒng)（0°＜∠NMA＜90°），求y關于x的關系式及定義域；（3）如果直線MN與直線BC交于點P，當∠P＝∠A時，求AN的長．

2013年上海市徐匯區(qū)中考數學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，那么tanA等于（）A． B． C． D．【考點】KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數的定義．【專題】11：計算題．【分析】先根據勾股定理計算出BC＝12，然后根據正切的定義求解．【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∴tanA＝＝．故選：C．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義：在直角三角形中，一銳角的正切等于它的對邊與鄰邊的比值．也考查了勾股定理．2．（4分）將拋物線y＝x2沿y軸向上平移1個單位后所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2【考點】H6：二次函數圖象與幾何變換．【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式拋物線解析式寫出即可．【解答】解：拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），向上平移1個單位后拋物線的頂點坐標為（0，1），所以，平移后的拋物線解析式為y＝x2+1．故選：B．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用根據規(guī)律利用點的變化確定函數解析式．3．（4分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考點】T9：解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【分析】根據坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，則tanα＝1：，則α＝30°．故選：A．【點評】本題主要考查了坡度的定義，理解坡度和坡角的關系是解題的關鍵．4．（4分）關于二次函數y＝（x+2）2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．最低點是A（2，0） C．對稱軸是直線x＝2 D．對稱軸的右側部分是上升的【考點】H3：二次函數的性質．【分析】根據二次函數的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴開口向上，故本選項錯誤；B、最低點，即頂點坐標為（﹣2，0），故本選項錯誤；C、對稱軸是直線x＝﹣2，故本選項錯誤；D、對稱軸的右側部分是上升的正確，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了二次函數的性質，主要利用了開口方向，頂點坐標，對稱軸以及二次函數的增減性．5．（4分）如圖，AC、BD相交于點O，下列條件中能判定CD∥AB的是（）A． B． C． D．【考點】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據平行線分線段成比例定理對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、AO與DO，BO與CO不是對應線段，不能判定CD∥AB，故本選項錯誤；B、AO與CD，AB與CD不是對應線段，不能判定CD∥AB，故本選項錯誤；C、應為＝，能判定CD∥AB，故本選項錯誤；D、＝能判定CD∥AB，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據圖形準確找出對應線段是解題的關鍵．6．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，那么下列結論中錯誤的是（）A．AC2?BD＝BC2?AD B．BC2?BD＝CD2?AB C．AD?BC＝AC?CD D．CD?BC＝AC?BD【考點】S9：相似三角形的判定與性質．【分析】根據直角三角形的性質和相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可的到問題的答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，∴△ADC∽△CDB∽△ACB，∴AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB，∴AC2?BD＝BC2?AD，故選項A正確；故選項B錯誤；∵△ADC∽△CDB，∴＝，∴AD?BC＝AC?CD，CD?BC＝AC?BD，故選項C和D都正確；故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．二．填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計算：2sin60°?tan45°＝．【考點】T5：特殊角的三角函數值．【分析】將特殊角的三角函數值代入運算即可．【解答】解：原式＝2××1＝．【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數值．8．（4分）計算：＝．【考點】LM：*平面向量．【專題】11：計算題．【分析】去括號，合并同類向量即可得解．【解答】解：+﹣（2﹣），＝+﹣+，＝．故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的運算，比較簡單，去括號，合并即可，要注意去括號時符號的處理．9．（4分）拋物線y＝﹣2x2﹣x+3與y軸交點的坐標是（0，3）．【考點】H5：二次函數圖象上點的坐標特征．【分析】令x＝0，可直接求出拋物線與y軸的交點坐標．【解答】解：∵拋物線與y軸交點的橫坐標為0，即x＝0，∴此時x＝0，y＝3，∴拋物線y＝﹣2x2﹣x+3與y軸交點的坐標是（0，3）．【點評】主要考查了二次函數圖象與y軸的交點坐標特點．10．（4分）如果兩個相似三角形對應角平分線的比是2：3，那么它們對應高的比是2：3．【考點】S7：相似三角形的性質．【分析】根據相似三角形對應角平分線的比等于相似比，對應高的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形對應角平分線的比是2：3，∴它們的相似比為2：3，∴它們對應高的比是2：3．故答案為：2：3．【點評】本題考查了相似三角形的性質，主要利用了相似三角形對應角平分線的比，對應高的比，對應中線的比都等于相似比的性質．11．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BF＝15，那么BD＝6．【考點】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BF＝15，∴＝＝，∴＝，∴BD＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：對應線段成比例．12．（4分）點C是線段AB上一點，BC＝2AC，點M、N分別是線段AC、BC的中點，那么MN：BC等于3：4（或）．【考點】S2：比例線段．【分析】先由BC＝2AC求出BC＝AB，再根據“點M、N分別是AC、BC的中點”，先求出MN＝AB，依此即可得到MN：BC的值．【解答】解：∵點C是線段AB上一點，BC＝2AC，∴BC＝AB，∵點M、N分別是AC、BC的中，∴MN＝AB，∴MN：BC＝3：4（或）．故答案為：3：4（或）．【點評】本題主要考查了線段的中點定義和線段之間的比，線段的中點把線段分成兩條相等的線段．13．（4分）拋物線y＝ax2+bx+c過（﹣1，0）和（5，0）兩點，那么該拋物線的對稱軸是直線x＝2．【考點】HA：拋物線與x軸的交點．【分析】根據拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸經過兩點（﹣1，0）和（5，0）的中點，于是可得到拋物線的對稱軸為直線x＝2．【解答】解：∵點（﹣1，0）和（5，0）是拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個交點，∴點（﹣1，0）和（5，0）關于對稱軸對稱，∴對稱軸為直線x＝＝2．故答案是：直線x＝2．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，根據已知點的縱坐標相等得到關于對稱軸對稱是解題的關鍵．14．（4分）在以O為坐標原點的直角坐標平面內有一點A（2，4），如果AO與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα＝．【考點】D5：坐標與圖形性質；KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數的定義．【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義、坐標與圖形性質以及勾股定理的知識求解．【解答】解：根據題意可得OA＝2，∴cosα＝＝，故答案為．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義、坐標與圖形性質以及勾股定理的知識，此題比較簡單，易于掌握．15．（4分）小明同學身高1.5米，經太陽光照射，在地面的影長為2米，他此時測得旗桿在同一地面的影長為12米，那么旗桿高為9米．【考點】SA：相似三角形的應用．【分析】設旗桿高為xm，根據同時同地物高與影長成正比列出比例式，求解即可．【解答】解：設旗桿高為xm，根據題意得，＝，解得x＝9m．故答案為：9．【點評】本題主要考查同一時刻物高和影長成正比．考查利用所學知識解決實際問題的能力．16．（4分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是1或﹣1．【考點】HA：拋物線與x軸的交點．【分析】此題需要分類討論：①當點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸；②點A、B均在x軸的正半軸上時來求a的值．【解答】解：令x＝0，則y＝3，即點C的坐標是（0，3），則OC＝3．①如圖1，點A、B均在x軸的正半軸上時．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，則ax2+bx+3＝0，∴1，3的該方程的兩個根，∴3＝，解得，a＝1；②如圖2，當點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸上時．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，則ax2+bx+3＝0，∴﹣1，3的該方程的兩個根，∴﹣3＝，解得，a＝﹣1；綜合①②知，a的值是1或﹣1．故答案是：1或﹣1．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．解答該題時需要分類討論，以防漏解或者錯解．另外注意數形結合數學思想的應用．17．（4分）兩個等腰直角三角形ACB和DCE的位置如圖所示，點A、C、E和點B、C、D分別在一直線上，∠ACB＝90°，，AB＝3DE，點G、H分別是△ACB、△DCE的重心，聯(lián)結GH，那么GH＝．【考點】K5：三角形的重心．【分析】根據等腰直角三角形的性質求出兩個三角形△CDE和△ABC的斜邊上的高的和，再根據三角形的重心到頂點的距離等于到底邊的對邊中點的2倍計算即可得解．【解答】解：∵AE＝4，△ACB、△CDE是等腰直角三角形，∴△CDE和△ABC的斜邊上的高的和＝×4＝4，∵點G、H分別是△ACB、△DCE的重心，∴GH＝×4＝．故答案為：．【點評】本題考查了三角形的重心，三角形的重心到頂點的長度等于到對邊中點的長度的2倍，等腰直角三角形的性質．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，點D是斜邊AB的中點，把△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′．那么AA′的長是．【考點】R2：旋轉的性質．【分析】先根勾股定理計算出BC＝3，由點D是斜邊AB的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得DC＝DB，則∠DCB＝∠B，再根據旋轉的性質得∠B＝∠B′，CA＝CA′＝4，AB＝A′B′＝5，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，則∠B′＝∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面積法可計算出CE＝，AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理計算出A′E＝，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可計算出AA′．【解答】解：設AC與A′B′的交點為E，如圖，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∵點D是斜邊AB的中點，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∵△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′，∴∠B＝∠B′，CA＝CA′＝4，AB＝A′B′＝5，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，∴∠B′＝∠DCB，∴A′B′∥BC，而∠ACB＝90°，∴A′B′⊥AC，∵CE?A′B′＝A′C?CB′，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝在Rt△A′CE中，A′E＝＝，在Rt△AA′E中，AA′＝＝＝．故答案為．【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及勾股定理．三．（本大題共7題，第19-22題每題10分；第23、24題每題12分；第25題14分；滿分78分）19．（10分）拋物線y＝ax2+2x+c經過點B（3，0）、C（0，3）兩點．（1）求拋物線頂點D的坐標；（2）拋物線與x軸的另一交點為A，求△ABC的面積．【考點】H3：二次函數的性質；HA：拋物線與x軸的交點．【分析】（1）利用待定系數法代入求出a，c的值，進而利用配方法求出D點坐標即可；（2）首先求出圖象與x軸的交點坐標，進而求出△ABC的面積．【解答】解：（1）由題意，得，解得，則y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，則D（1，4）；（2）由題意，得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3；則A（﹣1，0），又∵B（3，0）、C（0，3），∴．【點評】此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及配方法求頂點坐標和二次函數圖象與坐標軸交點求法，正確畫出二次函數圖象是解題關鍵．20．（10分）如圖，在△ABC中，點D是邊AB的中點，△ABC，△BCD．．（1）求CD的長；（2）設，，求向量（用向量、表示）．【考點】LM：*平面向量．【分析】（1）利用兩邊及其夾角的方法判斷△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質可得出CD．（2）表示出，繼而根據＝﹣，即可得出答案．【解答】解：（1）∵點D是邊AB的中點，，∴，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，∴．（2）∵點D是邊AB的中點，∴＝，∴＝．【點評】本題考查了平面向量、相似三角形的判定與性質，注意熟練掌握相似三角形判定的三種方法，難度一般．21．（10分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作ED∥BC交AB于點D．（1）求證：AE?BC＝BD?AC；（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的長．【考點】S9：相似三角形的判定與性質．【分析】（1）由BE平分∠ABC交AC于點E，ED∥BC，可證得BD＝DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AE?BC＝BD?AC；（2）根據三角形面積公式與S△ADE＝3，S△BDE＝2，可得AD：BD＝3：2，然后由平行線分線段成比例定理，求得BC的長．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．…（1分）∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE…（1分）∴∠ABE＝∠DEB．∴BD＝DE，…（1分）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴…（1分）∴，∴AE?BC＝BD?AC；…（1分）（2）解：設△ABE中邊AB上的高為h．∴，…（2分）∵DE∥BC，∴．…（1分）∴，∴BC＝10．…（2分）【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．22．（10分）如圖，小島B正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測得小島B在它的南偏東15°方向，求小島B離開深水港口A的距離．（精確到0.1千米）參考數據：，，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．【考點】TB：解直角三角形的應用﹣方向角問題．【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△ADC和Rt△BDC中，利用三角函數即可用PD表示出AD與BD，根據AB＝AD+BD即可求得AB的長．【解答】解：由題意，得．…（2分）[方法一]過點C作CD⊥AB，垂足為D．…（1分）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°∴，…（2分）在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠B＝90°﹣45°﹣15°＝30°…（1分）∴…（2分）∴≈10×（1.41+2.45）＝38.6．…（2分）[方法二]過點B作BD⊥AC，交AC延長線于D．…（1分）在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠CBD＝15°設BD＝x，則CD＝BDtan15°≈0.27x．…（2分）∵∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣45°＝45°＝∠DAB…（1分）∴AD＝BD，∴20+0.27x＝x，得…（2分）∴．答：小島B離開深水港口A的距離是38.6千米．【點評】考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．23．（12分）“數學迷”小楠通過從“特殊到一般”的過程，對倍角三角形（一個內角是另一個內角的2倍的三角形）進行研究．得出結論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，如果∠A＝2∠B，那么a2﹣b2＝bc．下面給出小楠對其中一種特殊情形的一種證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：a2﹣b2＝bc．證明：如圖2，延長CA到D，使得AD＝AB．∴∠D＝∠ABD，∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴，即∴a2﹣b2＝bc根據上述材料提供的信息，請你完成下列情形的證明（用不同于材料中的方法也可以）：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求證：a2﹣b2＝bc．【考點】S9：相似三角形的判定與性質．【分析】首先延長CA到D，使得AD＝AB，得出∠D＝∠ABC，進而得出△ABC∽△BDC，進而利用相似三角形的性質得出答案．【解答】證明：延長CA到D，使得AD＝AB，連接BD．∴∠D＝∠ABD，∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∵∠CAB＝2∠ABC，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，即，∴a2﹣b2＝bc．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線得出△ABC∽△BDC是解題關鍵．24．（12分）拋物線y＝mx2﹣5mx+n與y軸正半軸交于點C，與x軸分別交于點A和點B（1，0），且OC2＝OA?OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是y軸上一點，當△PBC和△ABC相似時，求點P的坐標．【考點】HF：二次函數綜合題．【分析】（1）由題意，得拋物線對稱軸是直線，并且A和B關于直線對稱，因為點B（1，0），所以A（4，0），又因為OC2＝OA?OB，進而求出OC的長，所以C點的坐標可求，從而求出拋物線的解析式；（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB＝∠OAC，所以當△PBC和△ABC相似時，分兩種情況①當時②當時分別求出符合題意的OP的長，即可求出P點的坐標．【解答】解：（1）由題意，得拋物線對稱軸是直線，∵點A和點B關于直線對稱，點B（1，0），∴A（4，0），∵OC2＝OA?OB＝4×1＝4，∴OC＝2，∵點C在y軸正半軸上，∴C（0，2），∴，解得：∴拋物線的解析式為：；（2）由題意，可得AB＝3，，，