湖北省十堰市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期月考試題與參考答案

湖北省十堰市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期月考試題與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小顆給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【分析】分別求出集合對(duì)應(yīng)的代表元素，根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)乘法運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，,所以，故選：A3.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)余弦二倍角公式求解即可.【詳解】解：由，得；由，得.故“”是“”充分不必要條件.故選：B4.已知直線與雙曲線：相交，且有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A.10 B. C. D.【答案】D【分析】由直線與雙曲線相交，且有且僅有1個(gè)交點(diǎn)可得直線與漸近線平行，即可得與的關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】因?yàn)橹本€與雙曲線：相交，且有且僅有1個(gè)交點(diǎn)所以直線與雙曲線：的漸近線平行，故，則雙曲線的離心率.故選：D5.《中國(guó)居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯不，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，按，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的中位數(shù)是（）A.50 B.52.25 C.53.75 D.55【答案】C【分析】結(jié)合頻率分布直方圖可求出頻率，即可判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，即可求出中位數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以該地中學(xué)生的體重的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該中位數(shù)為，則，解得.故選：C.6.已知，，且，則的最小值是（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】由得，巧用常數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.7.如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且，將沿DE折起（點(diǎn)A與P重合），使得平面平面BCED，則折疊后的異面直線PB，CE所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】分別以DB，DE，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求異面直線所成角的余弦值，再得正弦值．【詳解】由題意可知DB，DE，DP兩兩垂直，分別以DB，DE，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知，到直線的距離為，則，，，，從而，.故，因此是鈍角，.故選：D．8.已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】將看做整體，先求出對(duì)應(yīng)的，再根據(jù)方程的解得個(gè)數(shù)確定對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可得解.【詳解】令，得或，畫(huà)出的大致圖象.設(shè)，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)實(shí)根;當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)實(shí)根;當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)根.則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于或或或解得或.故選：C.二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）A.D1C∥平面A1ABB1 B.A1D1與平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DB D.平面BCD1⊥平面A1ABB1【答案】AD【分析】A1D1在平面BCD1內(nèi)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，其余選項(xiàng)正確.【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，所以D1C∥平面A1ABB1，所以A選項(xiàng)正確；A1D1在平面BCD1內(nèi)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)锽C⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域是 B.的值域是C.是奇函數(shù) D.在上單調(diào)遞減【答案】AC【分析】逐個(gè)判斷每個(gè)選項(xiàng).詳解】對(duì)于A項(xiàng)，分式中分母不等于0，所以，解得：所以的定義域是；故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，的值域是，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，令，定義域?yàn)?，所以是奇函?shù)，即是奇函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間可用逗號(hào)（或“和”）隔開(kāi)，所以在，上單調(diào)遞減，在上不是單調(diào)遞減，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.2022年9月錢塘江多處出現(xiàn)罕見(jiàn)潮景“魚(yú)鱗潮”，“魚(yú)鱗潮”的形成需要兩股涌潮，一股是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉就會(huì)形成像魚(yú)鱗一樣的涌潮．若波狀涌潮的圖像近似函數(shù)的圖像，而破碎的涌潮的圖像近似（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）的圖像．已知當(dāng)時(shí)，兩潮有一個(gè)交叉點(diǎn)，且破碎的涌潮的波谷為－4，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.在區(qū)間上單調(diào)【答案】BC【分析】由，求得，由題意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷為-4，解得，得到和解析式，逐個(gè)判斷選項(xiàng).【詳解】，則，由題意得，即，故，因?yàn)?，，所以，所以，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槠扑榈挠砍钡牟ü葹椋缘淖钚≈禐?，即，得，所以，則，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，則選項(xiàng)C正確；，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上不單調(diào)，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線OA，OB的斜率之積為，則直線過(guò)定點(diǎn)B.若直線OA，OB的斜率之積為，則面積的最大值是C.若，則的最大值是D.若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，【答案】AC【分析】設(shè)直線：，，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后由斜率之積求得值，得定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A，由選項(xiàng)A的推導(dǎo)得的面積，由面積的表達(dá)式得最小值，判斷B，在中，由余弦定理得，代入后應(yīng)用基本不等式得最值，判斷C，由選項(xiàng)C的推導(dǎo)得可設(shè)直線：然后求得判斷D．【詳解】設(shè)直線：，，，聯(lián)立整理得，則，.因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為-2，所以.因?yàn)?，，所以，所以，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確.由A選項(xiàng)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則面積的最小值是，故B錯(cuò)誤.在中，由余弦定理可得.因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確.由C選項(xiàng)可知直線的斜率不存在，設(shè)直線：，則直線與軸的交點(diǎn)為，從而，.因?yàn)?，所以，所以，即，整理得，解得?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，或，則D錯(cuò)誤.故選：AC．三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則__________.【答案】0.8【分析】由向量坐標(biāo)的加、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，則，解得故答案為：.14.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，寫(xiě)出一個(gè)滿足下列條件的的公比__________.①，②是遞增數(shù)列，③.【答案】2（答案不唯一）【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，則，因?yàn)?，且是遞增數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，綜上，故答案為：2（答案不唯一）15.盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子.已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明共購(gòu)買了5個(gè)盲盒，則他恰能在第5次集齊3種玩偶的概率為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出買5個(gè)盲盒的基本事件數(shù)，再求出集齊3種玩偶的基本事件數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】由題意可知前4次恰好收集了其中的2種玩偶，第5次收集到第3種玩偶，則所求概率.故答案為：16.若對(duì)任意的，都有成立，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】e【分析】等價(jià)于，即可轉(zhuǎn)化為，設(shè)對(duì)應(yīng)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】等價(jià)于，即，即，設(shè)，由題意可知在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t在上恒成立，則，故的最大值為.故答案：e.四、解答題本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開(kāi)可求得結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得解得，則【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，則18.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求；（2）若是邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理求解即可；（2）由題知，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式得，再根據(jù)面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，且，所?因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.則的面積.所以，面積的最大值.19.如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱，AC，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面ADE與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由線線平行證明面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫鍭BD，且，所以平面平面.因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，從而，，，.設(shè)平面ADE的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.20.某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨(dú)立.（1）求比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率；（2）求甲獲得比賽勝利的概率.【答案】（1）（2）【分析】列舉各問(wèn)中的可能事件，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；【小問(wèn)1詳解】比賽進(jìn)行四局結(jié)束有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝,第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率,第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率,故比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率.【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲獲勝為事件，乙獲勝為事件，丙獲勝為事件，比賽進(jìn)行三局，甲獲勝的概率為,比賽進(jìn)行五局，有以下6種情況：，甲獲勝的概率為,比賽進(jìn)行七局，有一下8種情況：甲獲勝的概率為,故甲獲得比賽勝利的概率為.21.已知橢圓：右焦點(diǎn)為在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程組求解即可；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，，，將直線與橢圓成聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入橢圓方程，解得，.所以直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，所以，，則，即，若為定值，則必為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，聯(lián)立整理得，，則，，直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，因?yàn)椋?，，則，故，即.綜上，為定值.22.已知函數(shù)，且曲線在處的切線為.（1）求m，n的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：.【答案】（1）；在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得幾何意義列出方程組即可求得的值，再