浙江省紹興市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試卷與參考答案

浙江省紹興市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一?單項(xiàng)選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分。1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，，故選：C2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】根據(jù)題意求出復(fù)數(shù)，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】由可知，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)位于第四象限，故選D.3.已知平面向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由題可得向量的坐標(biāo)形式，后由向量在坐標(biāo)形式下的平行公式可得答案.【詳解】由題，有.又，則，又，則.故選：C4.某校進(jìn)行“七選三”選課，甲?乙兩名學(xué)生都要從物理?化學(xué)?生物?政治?歷史?地理和技術(shù)這7門課程中選擇3門課程進(jìn)行高考，假設(shè)他們對這7門課程都沒有偏好，則他們所選課程中有2門課程相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意求出總的選法，再求出2門學(xué)科相同時(shí)的選法種數(shù)，由古典概型求解.【詳解】甲乙分別選3門學(xué)科共有種不同的選法，其中所選有2門學(xué)科相同的選法為先選出2門學(xué)科作為相同學(xué)科，從剩余5門學(xué)科選1門給甲，再從剩余4門學(xué)科中選1門給乙，共有種，所以，故選：A5.仰望星空，探索宇宙一直是人類的夢想，“神舟十五號”載人飛船于北京時(shí)間11月29日23時(shí)08分發(fā)射，約10分鐘后，“神舟十五號”載人飛船與火箭成功分離.早在1903年，科學(xué)家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基就提出單級火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度滿足公式：，其中分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量，是發(fā)動機(jī)的噴氣速度.已知某單級火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進(jìn)劑質(zhì)量的2倍，火箭的最大速度為，則火箭發(fā)動機(jī)的噴氣速度為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【分析】由所給信息，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由所給信息，可得，.則.故選：B6.已知，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，大小不確定【答案】B【分析】根據(jù)題意化簡可得，分別討論，，三種情況，即可得到的大小關(guān)系.【詳解】由可知，，移項(xiàng)可得，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，故A錯(cuò)，B對，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，故A錯(cuò)，B對，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，故C，D錯(cuò)，故選：B.7.已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)零點(diǎn)的定義，列不等式組結(jié)合整數(shù)限制條件即可求解.【詳解】令，則，解得或，即或，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以，第一個(gè)不等式組解得，第二個(gè)不等式組解得所以所求取值范圍為，故選D8.已知是邊長為4的正三角形，分別為邊上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），現(xiàn)將折起，記二面角的平面角為，若，則四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】作出輔助線，設(shè)，表達(dá)出故，，結(jié)合二面角的平面角和錐體體積公式得到，由積化和差和三角函數(shù)圖像得到，再由基本不等式求出四棱錐的體積的最大值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，所以，過點(diǎn)B作BH⊥MN于點(diǎn)H，故的MN上的高為，設(shè)，則，故，，則，所以四邊形的面積為，又二面角的平面角，故四棱錐的高為，故，其中，因?yàn)?，故，故，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以其中，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，綜上：四棱錐體積的最大值為.故選：A和差化積公式：，，，積化和差公式：，，，.二?多項(xiàng)選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的或不選的得0分。9.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)的最小值為C.函數(shù)的最大值為 D.函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)奇偶性直接判斷A；結(jié)合求解最值判斷BC；利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解極值點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，故正確；對于B選項(xiàng)，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，故錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由于，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，故正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，，令得或，令在上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，在處取得極大值，在和處取得極小值，所以，函數(shù)在上有三個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤.故選：AC10.在斜三棱柱中，是線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.存在直線平面，使得B.存在直線平面，使得C.存在直線平面，使得D.存在直線平面，使得【答案】ACD【分析】當(dāng)直線為時(shí)，可判斷A得正誤；假設(shè)，利用與的位置關(guān)系判斷B的正誤；過點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為，過點(diǎn)在平面作的垂線交于點(diǎn)，連接，證明平面即可判斷C；在平面內(nèi)，作即可判斷D【詳解】當(dāng)直線為時(shí)，易知，故A對；假設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以直線與直線要么相交，要么異面，與原假設(shè)不符，故B錯(cuò)誤；過點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為，過點(diǎn)在平面作的垂線交于點(diǎn)，連接，即直線，因?yàn)槠矫?，此時(shí)平面，且平面，所以，又因?yàn)?，此時(shí)，即，故C對；在平面內(nèi)，作,交于點(diǎn)，即直線，因?yàn)?，所以即，故D對；故選：ACD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，過分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，線段的中點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.面積的最小值為4【答案】BCD【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可判斷A，D的正誤；由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，可判斷B的正誤，由拋物線的定義可判斷C的正誤.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，故A錯(cuò)；在拋物線中，設(shè)弦的中點(diǎn)為，則有，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以為以為直徑的圓上一點(diǎn)，即，故B對；由拋物線定義可知，，所以，因?yàn)?，，所以，同理，因?yàn)?，即，所以，故C對；因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，即，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，即直線斜率不存在時(shí)，有最小值4，所以該三角形面積的最小值為4，故D對；故選：BCD.12.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，若，且為偶函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于對稱C. D.函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8【答案】AD【分析】對于A項(xiàng)，根據(jù)為偶函數(shù)求出的表達(dá)式，然后給的表達(dá)式兩邊求導(dǎo)，然后取特值求解；對于D項(xiàng)，根據(jù)找到與的關(guān)系，根據(jù)A項(xiàng)的表達(dá)式得到的周期；對于C項(xiàng)，根據(jù)的表達(dá)式，令特值求解即可.對于B項(xiàng)，根據(jù)，且為偶函數(shù)求出一個(gè)周期內(nèi)僅有的兩條對稱軸，得結(jié)果.【詳解】對于A項(xiàng)，為偶函數(shù)令，則，故A正確；對于D項(xiàng)，用代替原來的得：①又是偶函數(shù)用代替原來的得：②由①②結(jié)合得：③又用代替原來的得：④由③④聯(lián)立得：⑤用代替原來的得：⑥⑥⑤得：,所以函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8，用代替原來得：⑦用代替原來的得：⑧用代替原來的得：⑨結(jié)合⑦⑧⑨得，用代替原來的得：，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為8，故D正確；對于C項(xiàng)，為滿足題意的一組解，但，故C錯(cuò)誤.對于B項(xiàng)，因?yàn)闉闈M足題意的一組解，但不關(guān)于對稱，所以B錯(cuò)誤.故選：AD三?填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________(用數(shù)字作答)【答案】160【分析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式得到，令，即可求出展開式中項(xiàng)的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以令，則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：.14.若圓和圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與半徑間的關(guān)系列出不等式求解即可．【詳解】化圓：為，則圓心坐標(biāo)為，半徑為3，圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，故，要使圓：和圓：相交，則，即，解得且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值可以是______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值在內(nèi)，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，令得，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，有極小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最小值，又，所以，解得，故答案為：內(nèi)任一值均可.16.已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線：，則幾何意義為，點(diǎn)到直線的距離，即可求出取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線：，設(shè)點(diǎn)那么點(diǎn)到直線的距離為：，因?yàn)?，所以，且直線的斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)椋?，故答案為?四?解答題本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟。17.在中，角所對的邊分別為，若（1）求角.（2）若角為鈍角，求面積的取值范圍.【答案】（1）或（2）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，化簡可求的值，進(jìn)而求出角；（2）根據(jù)余弦定理可求出的取值范圍，進(jìn)而求面積的取值范圍.【小問1詳解】，即又，即得又或【小問2詳解】角為鈍角，由余弦定理得：角為鈍角，，即18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），，（2）【分析】（1）根據(jù)遞推公式分別計(jì)算的值，然后構(gòu)造數(shù)列，利用累加法求出通項(xiàng)公式；（2）錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，，又【小問2詳解】由（1）得，，，，19.在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面為中點(diǎn).（1）如果與平面所成的線面角為，求證：平面.（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由題知，進(jìn)而證明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求解線面角得，在計(jì)算體積即可.【小問1詳解】證明：平面，平面，為與平面平面所成的線面角，∵與平面所成的線面角為，∵為的中點(diǎn)，，∵底面是邊長為的正方形，即∵平面，平面，又∵平面，∴，∵平面，平面【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，，取，得，與平面所成角的正弦值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.，三棱錐的體積.20.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識競賽活動，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如下.（1）用樣本估計(jì)總體，求此次知識競賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（2）可以認(rèn)為這次競賽成績近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為，的近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差，如有的學(xué)生的競賽成績高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少（結(jié)果取整數(shù)）？（3）從的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機(jī)抽測份試卷（抽測的份數(shù)是隨機(jī)的），若已知抽測的份試卷都不低于90分，求抽測2份的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則【答案】（1）80.5（2）72分（3）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的公式，即可求解；（2）首先確定，再根據(jù)參考公式，即可求解；（3）根據(jù)全概率公式，和條件概率，列式求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，平均分；【小問2詳解】由（1）可知，,設(shè)學(xué)校期望的平均分約為，則，因?yàn)?，，所以，即，所以學(xué)校的平均分約為72分；【小問3詳解】由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在和的頻率分別為和，那么按照分層抽樣，抽取10人，其中分?jǐn)?shù)在，應(yīng)抽取人，分?jǐn)?shù)在應(yīng)抽取人，記事件：抽測份試卷，事件取出的試卷都不低于90分，則,，，則.21.已知是雙曲線上相異的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線的斜率乘積為2.（1）求雙曲線的離心率.（2）若雙曲線過點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)作圓的切線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【分析】（1）利用及點(diǎn)差法即可求出，據(jù)此可得橢圓離心率；（2）分直線斜率存在與不存在討論，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證可得不成立，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得，據(jù)此求出，利用弦長公式求解可得.【小問1詳解】設(shè)，根據(jù)對稱性，知，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以雙曲線方程：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線的斜率不存在時(shí)不成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為又點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，消去得，則，即，，，，，將代入上式得，或，即或.直線的方程為：或22.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）求證：.【答案】（1）（2）證明