北京永定路中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

北京永定路中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.若a、b、c是不全相等的實(shí)數(shù)，求證：．證明過程如下：，，，，又∵a、b、c不全相等，以上三式至少有一個(gè)“”不成立，將以上三式相加得，．此證法是（

）A.分析法 B.綜合法 C.分析法與綜合法并用 D.反證法參考答案：B【詳解】因?yàn)椋C合法是指從已知條件出發(fā)，借助其性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，所以，本題用的是綜合法，故選B.

3.復(fù)平面上矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中，A、B、C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、、，則D點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A. B. C. D.參考答案：B分析：先設(shè)D(x,y),再根據(jù)得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，即得D對應(yīng)的復(fù)數(shù).詳解：D(x,y),由題得，因?yàn)椋运訢(-3，-2).所以點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故答案為：B點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的相等的定義，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R）與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)（a,b）是一一對應(yīng)的.4.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線的斜率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.已知直線y＝x＋b，b∈[－2，3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率為()．參考答案：B略6.若實(shí)數(shù)滿足，則曲線與曲線的（

）A.實(shí)軸長相等

B.虛軸長相等

C.離心率相等

D.焦距相等參考答案：D7.若直線和函數(shù)的圖像恒過同一個(gè)定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．10

B．8

C．4

D．2參考答案：C過定點(diǎn)又點(diǎn)在直線上，（當(dāng)時(shí)取等）,故選C．8.已知曲線與直線交于點(diǎn),若設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為(

).A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論不正確的是：

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．1－2i

B．1+2i

C．2－i

D．2+i參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在面積為S的正三角形ABC中，E是邊AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//BC，交AC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到離邊BC的距離為高的時(shí)，的面積取得最大值為類比上面的結(jié)論，可得，在各條棱相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面EFG//平面BCD，分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，則四面體EFGB的體積的最大值等于

V。參考答案：C略12.已知橢圓，，為左頂點(diǎn)，為短軸端點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，且，則這個(gè)橢圓的離心率等于 。參考答案：略13.函數(shù)的的最小值是

.參考答案：14.已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若為正三角形，則橢圓的離心率等于_________.參考答案：【分析】先求出FQ的長，在直角三角形FMQ中，由邊角關(guān)系得，建立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值.【詳解】解：由已知得：，因?yàn)闄E圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若為正三角形，所以，所以，故答案：.15.已知存在實(shí)數(shù)a，滿足對任意的實(shí)數(shù)b，直線都不是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：略16.某單位在崗職工624人，為了調(diào)查工人用于上班途中的時(shí)間，決定采用系統(tǒng)抽樣方法抽取10%的工人進(jìn)行調(diào)查，首先在總體中隨機(jī)剔除4人，將剩下的620名職工編號（分別為000，001，002，…，619），若樣本中的最小編號是007，則樣本中的最大編號是．參考答案：617【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，求出組距和組數(shù)即可得到結(jié)論【解答】解：第一步：將624名職工用隨機(jī)方式進(jìn)行編號，第二步：從總體中剔除4人（剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法），將剩下的620名職工重新編號，分別為000，001，002，…，619，并分成62段，第三步：在第一段000，001，002，…，009這十個(gè)編號中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始號碼007，第四步：將編號為7，7+10，7+20，i0+20，…，7+610=617的個(gè)體抽出，組成樣本．故樣本中的最大編號是617，故答案為：617．【點(diǎn)評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件求出組距是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．17.用反證法證明命題“如果＞，那么＞”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為

。命題意圖：基礎(chǔ)題。考核反證法的理論基礎(chǔ)。常見錯(cuò)誤會是與否命題混淆。參考答案：假設(shè)=或＜三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.命題：若點(diǎn)O和點(diǎn)F（﹣2，0）分別是雙曲線﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則?的取值范圍為[3+2，+∞）．判斷此命題的真假，若為真命題，請做出證明；若為假命題，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先求出雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則，（x0），由此能證明?的取值范圍為[3+2，+∞）．【解答】解：此命題為真命題．證明如下：∵F（﹣2，0）是已知雙曲線的左焦點(diǎn)，∴a2+1=4，解得a2=3，∴雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則有=1，（），解得，（x0），∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），∴==x0（x0+2）+=，這個(gè)二次函數(shù)的對稱軸為，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值=3+2，∴?的取值范圍為[3+2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19.如圖所示，橢圓C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距為2，過點(diǎn)M（4，0）的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B在AM之間．又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且=λ．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（I）運(yùn)用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；（II）運(yùn)用向量共線的知識，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算得到A，B的橫坐標(biāo)，即可得到所求值．解答：解：（I）由條件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（II）由，可知A，B，M三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2）．若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意．當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判別式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．將代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，則x1=，x2=．又因?yàn)?，，，所以，所以?．點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，DC上的動點(diǎn)，且BE=CF． （1）求證：B1F⊥D1E； （2）當(dāng)三棱錐C1﹣FCE的體積取到最大值時(shí)，求二面角C1﹣FE﹣C的正切值． 參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）因?yàn)槭钦襟w，又是空間垂直問題，所以易采用向量法，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，欲證B1F⊥D1E，只須證再用向量數(shù)量積公式求解即可．（2）由題意可得：當(dāng)三棱錐C1﹣FCE的體積取到最大值時(shí)，即其底面積△FEC最大，可得點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)時(shí)取最大值，再根據(jù)線面關(guān)系得到∠C1OC為二面角C1﹣FE﹣C的平面角，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識求出答案即可． 【解答】解：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖所示： 設(shè)BE=CF=b， 則D1（0，0，a），E（a﹣b，a，0），F(xiàn)（0，a﹣b，0），B1（a，a，a）， 所以，， 所以， 所以B1F⊥D1E． （2）由題意可得：當(dāng)三棱錐C1﹣FCE的體積取到最大值時(shí)，即其底面積△FEC最大，即S△FEC=b（a﹣b）最大， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)b=時(shí)，其底面積取最大值，即點(diǎn)E、F分別是 BC、CD的中點(diǎn)， 所以C1F=C1E，CE=CF． 取EF的中點(diǎn)為O，連接C1O，CO， 所以C1O⊥EF，CO⊥EF， 所以∠C1OC為二面角C1﹣FE﹣C的平面角． 在△C1OC中，C1C=a，CO=，所以tan∠C1OC=2． 所以二面角C1﹣FE﹣C的正切值為2． 【點(diǎn)評】本題主要考查向量證明線線的垂直關(guān)系，以及考查幾何體的體積與二面角的平面角等問題，也可以利用向量的方法解決二面角的問題，次方法比較方便靈活，是?？碱愋停瑢僦袡n題．