《勾股定理的應(yīng)用》示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)】

第一章勾股定理1.3勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.能在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造直角三角形，進(jìn)一步深化對(duì)圖形的理解和辨析能力.3.培養(yǎng)學(xué)生從空間到平面的想象能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新能力及探究意識(shí).二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問(wèn)題．難點(diǎn)：立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用平面幾何相關(guān)知識(shí)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問(wèn)題．三、教學(xué)準(zhǔn)備圓柱幾何體、多媒體課件四、相關(guān)資源相關(guān)圖片五、教學(xué)過(guò)程【復(fù)習(xí)回顧】復(fù)習(xí)回顧，引入新課1.在△ABC中，a、b、c分別為其三邊，若∠C=90°，則有.2.在△ABC中，a、b、c分別為其三邊，若a2+b2=c2，則有.3.已知∣-12∣+(-13)2+2-10z+25=0，試判斷以、、為三邊的三角形的形狀.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)三個(gè)題的練習(xí)回顧勾股定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，引出新課.勾股定理可以解決直角三角形中邊之間的數(shù)量關(guān)系，在生活中也可以利用勾股定理解決和我們生活相關(guān)的問(wèn)題，我們這節(jié)課就來(lái)探索勾股定理的應(yīng)用.板書:3.勾股定理的應(yīng)用【新知講解】合作交流，探索新知利用勾股定理求幾何體表面的最短距離如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？小組合作交流，探索解決方案：AA’A’A’’A’’（1）（2）（3）（4）匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過(guò)具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線．師生活動(dòng)：學(xué)生容易想到情形（1）和情形（2）中的路線，并計(jì)算出結(jié)果.但對(duì)于情形（3）和（4）的探究比較會(huì)出現(xiàn)困難，教師要適當(dāng)引導(dǎo)，題型學(xué)生沿母線剪開(kāi)圓柱得到矩形，情形（3）A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過(guò)計(jì)算比較（1）和（4）即可．如圖：（1）中A→B的路線長(zhǎng)為：．（2）中A→B的路線長(zhǎng)為：>AB．（3）中A→B的路線長(zhǎng)為：AO+OB>AB．（4）中A→B的路線長(zhǎng)為：AB．得出結(jié)論：利用展開(kāi)圖中兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題．沿圓柱體母線剪開(kāi)后展開(kāi)得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究?jī)牲c(diǎn)連線最短問(wèn)題，接下來(lái)后提問(wèn)：怎樣計(jì)算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問(wèn)題并利用勾股定理求解．在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．探究二：利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題活動(dòng)1：李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？（2）李叔叔量得AD長(zhǎng)是30厘米，AB長(zhǎng)是40厘米，BD長(zhǎng)是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？解答：（2）∴AD和AB垂直．設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用勾股定理逆定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，利用允許的工具靈活處理問(wèn)題．活動(dòng)2：在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面．請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？ 析：這題學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智；運(yùn)用方程的思想并利用勾股定理建立方程．學(xué)生能畫出示意圖，找等量關(guān)系，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程解：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)為AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺．由勾股定理得：BC2+AC2=AB2．即52+x2=（x+1）2．25+x2=x2+2x+1．2x=24．∴x=12，x+1=13．答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺．設(shè)計(jì)意圖：勾股定理與方程相結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題.【典型例題】1．如圖，在棱長(zhǎng)為10cm的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點(diǎn)B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1cm/s，且速度保持不變，問(wèn)螞蟻能否在20s內(nèi)從A爬到B？BABBABABC解：如圖，在Rt△ABC中：∵500＞202．∴不能在20s內(nèi)從A爬到B．2.如圖，長(zhǎng)方體的高為3cm，底面是正方形，邊長(zhǎng)為2cm.現(xiàn)有繩子從點(diǎn)D出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)B′，問(wèn)：繩子最短是多少厘米？解：在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.因?yàn)?9>25，所以第一種情況繩子最短，最短為5cm.設(shè)計(jì)意圖：此類題可通過(guò)側(cè)面展開(kāi)圖，將要求解的問(wèn)題放在直角三角形中，問(wèn)題便迎刃而解．3.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方形零件圖，根據(jù)所給的尺寸(單位：mm)，求兩孔中心A、B之間的距離．分析：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造出含所求線段的直角三角形，這樣就可以用勾股定理求解．解：過(guò)A作鉛垂線，過(guò)B作水平線，兩線交于點(diǎn)C，則∠ACB=90°，AC=90－40=50(mm)，BC=160－40=120(mm)．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=502+1202=16900(mm2)．∵AB>0，∴AB=130(mm)．答：兩孔中心A、B之間的距離為130mm．4．如圖是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長(zhǎng)．已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長(zhǎng)．解：設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為xm，則AB的長(zhǎng)度為xm，AE的長(zhǎng)度為(x－1)m．在Rt△ABC中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5．故滑道AC的長(zhǎng)度為5m．5.如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將△ABC沿AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,CE交AD于點(diǎn)F,則DF的長(zhǎng)等于.【隨堂練習(xí)】1．有一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形的洞口，想用一個(gè)圓形蓋去蓋住這個(gè)洞口，則圓形蓋的半徑至少為米．2.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是米．183.如圖，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求該圖形的面積．解：連接AC．∵在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4，∴AC＝eq\r(32＋42)＝5.∵在△ACD中，AC2＋AD2＝52＋122＝132＝DC2，∴△ADC為直角三角形．∴該圖形的面積S＝S△ADC－S△ACB＝eq\f(1,2)×5×12－eq\f(1,2)×3×4＝24.4.某班學(xué)生想知道學(xué)校旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他們把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好觸地面，請(qǐng)你求出旗桿的高度和繩子的長(zhǎng)度．解：畫出示意圖如下所示：

設(shè)旗桿的高AB為m，則繩子AC的長(zhǎng)為（+1）m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

∴2+52=（+1）2，解得：=12，

∴AB=12m，即旗桿的高是12m，繩子的長(zhǎng)度為13米．5.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離．解：利用展開(kāi)圖中兩點(diǎn)之間線段最短可知，AB2＝152＋202＝625＝252，所以螞蟻?zhàn)叩淖罱嚯x為25.六、課堂小結(jié)