2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章相似綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)

第二十七章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1.如圖是杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“宸宸”，右邊的“宸宸”是由左邊的“宸宸”經(jīng)過(guò)下列哪個(gè)變換得到的()A．平移變換B．旋轉(zhuǎn)變換C．軸對(duì)稱變換D．相似變換2．已知線段a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，則d等于()A．1cmB．10cmC．eq\f(5,2)cmD．eq\f(8,5)cm3．(母題：教材P29探究)如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，則EF的長(zhǎng)為()A．2.4B．3C．3.6D．4.84．某品牌20寸的行李箱拉桿拉開(kāi)后放置如圖所示，經(jīng)測(cè)量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比(約等于0.618)．已知CD＝80cm，則AB約是()A．30cmB．49cmC．55cmD．129cm5．[2023·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考]已知△ABC，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是()A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．eq\f(AP,AB)＝eq\f(AB,AC)D．eq\f(AB,BP)＝eq\f(AC,CB)6．[2023·陜西]如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF.連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M.若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為()A．eq\f(13,2)B．7C．eq\f(15,2)D．87．(母題：教材P40例5)如圖，為估算河的寬度(河兩岸平行)，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測(cè)得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度AB等于()A．60mB．40mC．30mD．20m8．[2022·巴中]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC∶OC＝1∶2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1，3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A．4B．5C．6D．79.《西游記》的故事家喻戶曉，特別是書(shū)中的孫悟空嫉惡如仇斬妖除魔大快人心．在一次降妖過(guò)程中，孫悟空念動(dòng)咒語(yǔ)將一片樹(shù)葉放大后射向妖魔．假如樹(shù)葉放大的過(guò)程可以看成是在平面直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為位似中心的位似變換，且整個(gè)過(guò)程中無(wú)旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)變化前樹(shù)葉尖部點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，在咒語(yǔ)中變化后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(300a＋200，300b－100)，則變化后樹(shù)葉的面積變?yōu)樵瓉?lái)的()A．300倍B．3000倍C．9000倍D．90000倍10．[2023·安徽]如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接DE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)M，交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF＝2，F(xiàn)B＝1，則MG＝()A．2eq\r(3)B．eq\f(3\r(5),2)C．eq\r(5)＋1D．eq\r(10)二、填空題(每題3分，共24分)11．(母題：教材P27練習(xí)T1)假期，爸爸帶小明去A地旅游，小明想知道A地與他所居住的城市的距離，他在比例尺為1500000的地圖上測(cè)得所居住的城市距A地32cm，則小明所居住的城市與A地的實(shí)際距離為_(kāi)_______km.12．[2023·淮北一中月考]若eq\f(2a－b,2＋b)＝eq\f(3,4)，則eq\f(b,a)＝________．13．[2022·嘉興]如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．14.如圖，在△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF.若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是△ABC的重心，則△ABC與△DEF的位似比為_(kāi)_______．15.《海島算經(jīng)》中記載：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合．問(wèn)島高幾何．”其大意是：如圖，為了求海島上的山峰AB的高度，在D處和F處豎立高都是3丈(1丈＝eq\f(5,3)步)的標(biāo)桿CD和EF，D，F(xiàn)相隔1000步，并且AB，CD和EF在同一平面內(nèi)，從D處后退123步到G處時(shí)，A，C，G在一條直線上；從F處后退127步到H處時(shí)，A，E，H在一條直線上，則山峰的高度AB為_(kāi)_______步．16．如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD，點(diǎn)F是eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，AF與邊DC交于點(diǎn)E，那么eq\f(EF,AE)＝________．17．如圖，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的頂點(diǎn)D，E在AB上，點(diǎn)F，G分別在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．18.2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)，這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形(Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA)拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF，EG，BH分別相交于點(diǎn)P，O，Q，若BE∶EQ＝3∶2，則eq\f(OP,OE)的值是______．三、解答題(19～21題每題12分，其余每題15分，共66分)19．如圖，已知DE∥BC，AD＝15，AE＝9，BD＝4，求AC的長(zhǎng)．20．如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(2，2)．(1)在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作△OAB的位似圖形△OA1B1，使新圖與原圖的相似比為2∶1；(2)A1B1的長(zhǎng)為_(kāi)_______(結(jié)果保留根號(hào))；(3)△OA1B1的面積為_(kāi)_______．21.清朝《數(shù)理精蘊(yùn)》里有一首小詩(shī)《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開(kāi)門，南門直行八里止，腳下有座塔聳立，又出西門二里停，切城角恰見(jiàn)塔形．請(qǐng)問(wèn)諸君能算者，方城每邊長(zhǎng)是幾？如圖所示，詩(shī)的意思：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口(點(diǎn)D)直行8里有一塔(點(diǎn)A)，自西門(點(diǎn)E)直行2里至點(diǎn)B，切城角(點(diǎn)C)也可以看見(jiàn)塔，問(wèn)這座方城每面城墻的長(zhǎng)是多少里？22．(母題：教材P44習(xí)題T14)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與B，C不重合)，PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，連接AP，設(shè)CP＝x，△ADP的面積為S.(1)用含x的代數(shù)式表示AD的長(zhǎng)；(2)求S與x的函數(shù)解析式，并求當(dāng)S隨x增大而減小時(shí)x的取值范圍及S的最大值．23．[2023·恩施州]如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC＝4eq\r(2)，求FG的長(zhǎng)．

答案一、1．D2．B3C【點(diǎn)撥】∵AD∥BE∥CF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，∵AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，∴eq\f(1,3)＝eq\f(1.2,EF)，∴EF＝3.6，故選C．4．B5．D【點(diǎn)撥】A．當(dāng)∠ABP＝∠C時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；B．當(dāng)∠APB＝∠ABC時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；C．當(dāng)eq\f(AP,AB)＝eq\f(AB,AC)時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB；D．無(wú)法得到△ABP∽△ACB．故選D．6．C【點(diǎn)撥】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴eq\f(DE,BM)＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(2BF,BF)＝2，∴BM＝eq\f(3,2)，∴CM＝BC＋BM＝eq\f(15,2).故選C．7．B【點(diǎn)撥】測(cè)河寬也可采用構(gòu)造全等三角形進(jìn)行測(cè)量的方法，在實(shí)際應(yīng)用中，這種方法雖然能直接通過(guò)測(cè)量對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)得出未知量，但是往往會(huì)受到場(chǎng)地、測(cè)量?jī)x器等的限制，而利用相似三角形的知識(shí)，通過(guò)能測(cè)量的三角形的邊長(zhǎng)及相似三角形的性質(zhì)求此距離可以減少限制，所以其應(yīng)用面更廣．8．C【點(diǎn)撥】由CD∥OB易知△ACD∽△AOB，得eq\f(AC,AO)＝eq\f(CD,OB).根據(jù)ACOC＝12得eq\f(AC,AO)＝eq\f(1,3)，根據(jù)C，D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1，3，得CD＝2，所以eq\f(2,OB)＝eq\f(1,3)，解得OB＝6.即可得出答案．9．D【點(diǎn)撥】由題意可知樹(shù)葉先放大到原來(lái)的300倍，再向右平移200個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向下平移100個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)位似比等于相似比，面積比等于相似比的平方即可求解．10．B【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是正方形，AF＝2，F(xiàn)B＝1，∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠GBM＝90°，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝3eq\r(2).∵EF⊥AB，∴易知EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(EF,CB)＝eq\f(AF,AB)，∴eq\f(EF,3)＝eq\f(2,3)，∴EF＝2，∴AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝2eq\r(2)，∴CE＝AC－AE＝eq\r(2).∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，∴eq\f(AD,CM)＝eq\f(AE,CE)，∴eq\f(3,CM)＝eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，∴CM＝eq\f(3,2).∴BM＝eq\f(3,2)＝CM.在△CDM和△BGM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCM＝∠GBM＝90°，,CM＝BM,∠CMD＝∠BMG))∴△CDM≌△BGM，∴CD＝BG＝3，∴MG＝eq\r(BG2＋BM2)＝eq\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(3,2)eq\r(5).故選B．二、11.16012.eq\f(5,7)【點(diǎn)撥】∵eq\f(2a－b,a＋b)＝eq\f(3,4)，∴4(2a－b)＝3(a＋b)，∴a＝eq\f(7b,5)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(b,\f(7b,5))＝eq\f(5,7).13.eq\f(2\r(3),3)14.3∶115．1255【點(diǎn)撥】先證明△GCD∽△GAB，利用相似比得到eq\f(5,AB)＝eq\f(123,123＋BD)①，再證明△HEF∽△HAB得到eq\f(EF,AB)＝eq\f(HF,HB)，即eq\f(5,AB)＝eq\f(127,127＋1000＋BD)②，所以eq\f(123,123＋BD)＝eq\f(127,127＋1000＋BD)，接著利用比例的性質(zhì)求出BD，然后計(jì)算AB的長(zhǎng)．16.eq\f(\r(2)－1,2)【點(diǎn)撥】連接OF，交CD于點(diǎn)G，連接AC，根據(jù)題意得出GF∥AD，設(shè)AD＝a，則AC＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)a，證明△ADE∽△FGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．17.eq\f(12,5)18.eq\f(\r(5),3)【點(diǎn)撥】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a和b，且a＞b，∴BE＝b，EH＝a－b．∵BE∶EQ＝3∶2，∴EQ＝eq\f(2,3)b．∴BQ＝BE＋EQ＝b＋eq\f(2,3)b＝eq\f(5,3)b，QH＝EH－EQ＝a－b－eq\f(2,3)b＝a－eq\f(5,3)b．易得AH∥EC，∴△AHQ∽△CEQ.∴AH∶CE＝HQ∶EQ.∴b∶a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,3)b))∶eq\f(2,3)b．∴3a2－5ab－2b2＝0.∴a＝2b．∵∠BEC＝90°，BE＝b，CE＝a＝2b，∴BC＝eq\r(BE2＋CE2)＝eq\r(5)b．易得∠QEO＝∠QCB＝45°，又∵∠EQO＝∠CQB，∴△QEO∽△QCB．∴eq\f(QO,QB)＝eq\f(OE,BC).∴eq\f(QO,OE)＝eq\f(QB,BC)＝eq\f(\f(5,3)b,\r(5)b)＝eq\f(\r(5),3).易得OP＝OQ.∴eq\f(OP,OE)＝eq\f(OQ,OE)＝eq\f(\r(5),3).三、19.【解】∵DE∥BC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，又∵AD＝15，AE＝9，BD＝4，∴eq\f(15＋4,15)＝eq\f(AC,9)，∴AC＝11.4.20．【解】(1)∵O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(2，2)，相似比為2∶1，∴A1(－6，0)，B1(－4，－4)，∴如圖所示的△OA1B1即為所求．(2)2eq\r(5)(3)1221．【解】設(shè)這座方城每面城墻的長(zhǎng)為x里，由題意得，BE∥CD，∠BEC＝∠ADC＝90°，CE＝CD＝eq\f(1,2)x里，BE＝2里，AD＝8里，∴∠B＝∠ACD，∴△CEB∽△ADC，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(CE,AD)，即eq\f(2,\f(1,2)x)＝eq\f(\f(1,2)x,8)，∴x＝8.答：這座方城每面城墻的長(zhǎng)為8里．22．【解】(1)∵PD∥AB，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(CP,CB)，即eq\f(CD,3)＝eq\f(x,4