雷達數據處理及應用（第四版） 課件 第3章 線性濾波方法

于洪波雷達數據處理及應用雷達數據處理及應用

第3章線性濾波方法3.2卡爾曼濾波（**）

3.2.1系統模型

3.2.2濾波模型

3.2.3卡爾曼濾波器的初始化

3.2.4卡爾曼濾波算法應用舉例狀態(tài)方程（1）勻速（CV-constantvelocity）模型3.2.1系統模型取狀態(tài)向量為魯棒估計問題-實際噪聲分布偏離所假設的噪聲分布時估計算法的穩(wěn)健性問題。當噪聲的真實概率分布與估計算法事先假定的概率分布不一致時，將面臨如下幾個問題：（1）原有的跟蹤算法是否仍然有效？（2）如何定量描述和分析這種噪聲分布特性的變化對跟蹤算法的影響；（3）如何構造既能抑制這種偏差，又能基本保持傳統跟蹤算法性能指標的算法。魯棒性是指系統中存在不確定性因素時，系統保持其正常工作性能的能力。三維空間離散時間系統的狀態(tài)方程為其中狀態(tài)轉移矩陣其中：，則，(2)常加速度（CA-constantacceleration）模型取狀態(tài)向量為滿足

狀態(tài)轉移矩陣為（1.16）式滿足

v(k)

（1.16）離散時間系統的狀態(tài)方程可表示為：

量測方程可表示為：其中：H(k)為量測矩陣，X(k)為狀態(tài)向量，W(k)為量測噪聲序列，一般假定其為零均值的附加高斯白噪聲序列。噪聲相關以及模型不精確、不完全等時的濾波穩(wěn)定性問題。非線性系統問題；系統能觀性問題：系統狀態(tài)的變化能夠由系統的輸出反映出來；全局最優(yōu)性問題；動平臺系統誤差配準等問題其中：轉換測量值zc(k)為系統的先驗信息與假設初始狀態(tài)X(0)是高斯分布的隨機向量的，具有均值向量和協方差；

根據已知j時刻和j以前時刻的量測值對k時刻狀態(tài)X(k)作出的某種估計若記為，則當k=j時，是濾波問題，為k時刻狀態(tài)X(k)的濾波值;當k>j時，是預測問題，為k時刻狀態(tài)X(k)的預測值;當k<j時，是平滑問題，為k時刻狀態(tài)X(k)的平滑值；小結卡爾曼濾波器的系統模型狀態(tài)方程量測方程于洪波雷達數據處理及應用雷達數據處理及應用

第3章線性濾波方法3.2卡爾曼濾波（**）

3.2.1系統模型

3.2.2濾波模型

3.2.3卡爾曼濾波器的初始化

3.2.4卡爾曼濾波算法應用舉例3.2.2

濾波模型卡爾曼濾波基本思想構建線性無偏最小方差估計的遞推形式。

在卡爾曼濾波器啟動時給出的狀態(tài)估計初值和估計誤差協方差陣的初值若滿足、，則濾波估計從開始就是無偏的，即，而且估計的誤差協方差陣最小。為狀態(tài)的一步預測。=F(k)預測值的誤差為為零均值。為一步預測協方差。結論：狀態(tài)估計誤差是零均值的;一步預測協方差為對稱陣，它用來衡量預測的不確定性；Г(k)q(k)Г’(k)為量測的預測。稱為量測殘差或新息。量測的預測值和量測值之間的差值結論：新息是高斯的，；新息序列是白色的，；新息序列是正交序列；為量測的預測協方差(或新息協方差)

結論：新息協方差為對稱陣，它用來衡量新息的不確定性。狀態(tài)和量測之間的協方差為為增益。k+1時刻的估計(狀態(tài)更新方程)為其中：v(k+1)為新息或量測殘差

量測矩陣H(k)僅僅是一個從狀態(tài)空間映射到觀測空間的運算符；當增益很大，即“大于”S(k+1)時，置信度放在量測值z(k)上；相反，當增益很小，即“小于”S(k+1)時，則觀測中會有很大的誤差，此時狀態(tài)更新值取決于。卡爾曼濾波方程的預測-修正結構新息v(k+1)k時刻協方差更新方程為卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器的優(yōu)點(1)具有全局最優(yōu)性：等價于利用已有全部觀測的最優(yōu)估計；(2)遞推格式，避免了增維矩陣求逆，計算量和存儲量??；(3)適應性強，可用于非平穩(wěn)隨機過程的濾波；(4)應用背景廣，可應用于軍事、工業(yè)、社會、經濟等各領域?？柭鼮V波算法在實際應用中存在的問題：(1)建模難的問題；(2)模型的限制問題?？柭鼮V波器要求過程噪聲分布為白噪聲，否則不穩(wěn)定。色噪聲情況；非高斯情況；量測噪聲和過程噪聲相關等等。3.2.3濾波器的初始化1．二維狀態(tài)向量估計的初始化狀態(tài)向量為，量測噪聲為均值為零、方差為r的高斯白噪聲，且和過程噪聲相互獨立。初始狀態(tài)為=初始協方差陣為二維卡爾曼濾波器通常在x、y、z軸解耦濾波的情況下使用。初始狀態(tài)為二維狀態(tài)向量初始協方差陣為例題

設目標在x軸方向上做勻速直線運動，狀態(tài)方程為其中：狀態(tài)向量

過程噪聲為均值為零、方差為q

的高斯白噪聲，且，采樣間隔T=1。目標真實的初始狀態(tài)為

量測方程為其中：量測噪聲為均值為零、方差為r

的高斯白噪聲，且，過程噪聲和量測噪聲相互獨立，量測矩陣。要求：1.畫出目標真實運動軌跡和估計軌跡；

2.畫出目標預測和更新的位置和速度方差。2．四維狀態(tài)向量估計的初始化

系統狀態(tài)向量為，而量測值z(k)為

系統的初始狀態(tài)初始協方差陣為四維狀態(tài)向量估計的初始化3．六維狀態(tài)向量估計的初始化系統狀態(tài)向量為，量測值z(k)為系統的初始狀態(tài)該情況下k時刻直角坐標系下的量測噪聲協方差為：其中：六維狀態(tài)向量情況下的初始協方差陣為4．九維狀態(tài)向量估計的初始化系統的狀態(tài)向量為，由于此時含加速度項，所以系統的初始狀態(tài)需利用前三個時刻的測量值z(0)、z(1)和z(2)確定，即初始協方差陣為測量數據小結一、卡爾曼濾波模型二、濾波器的初始化思考題：3D雷達跟蹤問題目標為飛機，且在雷達跟蹤時間段在空中做勻速直線飛行，速度大小360m/s，目標高度為8公里；目標和3D雷達間的初始距離為58公里左右。3D雷達的位置假設在原點，且固定不動。徑向距離測量誤差的標準差為500米，方位和俯仰角測量誤差的標準差均為2度，采樣間隔0.5秒。過程噪聲標準差x軸和y軸均為6m/s2，z軸為2m/s2。思考題：設觀測模型為zi=x+vi,i=1,2,…其中隨機變量x以等概率取{-2,-1,0,1,2}諸值，噪聲干擾vi以等概率取{-1,0,1}諸值，且E{xvi}=0，E{vivj}=，試根據1次、2次、3次測量數據求參量x的線性最小均方誤差估計，并問隨著觀測數據的增多線性最小均方估計呈現什么趨勢？

解：無偏性由正交條件2次測量數據3次測量數據于洪波雷達數據處理及應用雷達數據處理及應用

第3章線性濾波方法3.2卡爾曼濾波（**）

3.2.1系統模型

3.2.2濾波模型

3.2.3卡爾曼濾波器的初始化

3.2.4卡爾曼濾波算法應用舉例3.3穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波3.4常增益濾波器3.3穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波

濾波穩(wěn)定性問題就是要研究濾波初值的選取對濾波穩(wěn)定性的影響問題，即若隨著濾波時間的增長，估計值和估計誤差的方差陣各自都不受所選的初始估計值和的影響，則濾波器是穩(wěn)定的，否則估計是有偏的，估計誤差方差陣也不是最小的。

穩(wěn)定性是指系統受到某一擾動后恢復原有運動狀態(tài)的能力，即如果系統受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，在擾動撤除后，系統都能以足夠的準確度恢復到原來的平衡狀態(tài)。(1)濾波器穩(wěn)定的數學定義；

(2)穩(wěn)定性判斷；(3)隨機線性系統的可控制性和可觀測性；(4)濾波誤差的界；(5)穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波；主要內容(1)濾波器穩(wěn)定的數學定義

若對于任意給定正數ε>0，都可以找到正數δ>0，使得對任意滿足不等式的初始狀態(tài)(i=1,2)，有成立，則稱濾波器穩(wěn)定。濾波穩(wěn)定性定理如果隨機線性系統是一致完全可控和一致完全可觀測的，則Kalman濾波器是一致漸近穩(wěn)定的，即當濾波時間充分長后，它的Kalman濾波值將漸近地不依賴于濾波初值的選取。對于隨機線性定常系統，一致完全可控和一致完全可觀測就是完全可控和完全可觀測。(2)穩(wěn)定性判斷定義(完全可控)

隨機線性離散系統完全可控的充分必要條件是存在正整數N，使可控性矩陣成立。對于隨機線性定常系統

隨機線性離散系統的可控性就是考察過程噪聲V(k)影響系統狀態(tài)的能力。(3)隨機線性系統的可控制性和可觀測性定義(完全可觀測)

隨機線性離散系統完全可觀測的充分必要條件是對于時刻k，存在某一個正整數N，使得矩陣成立。對于隨機線性定常系統若一個隨機系統是可觀測的，則根據觀測數據通過某種算法完全能夠獲得目標的位置信息。式中n為狀態(tài)變量維數。

對于一般系統都有Q(k)>0和R(k)>0，因此對于隨機線性定常系統完全可控與完全可觀測的充分必要條件分別為

如果系統是時常的，即狀態(tài)轉移矩陣F、輸入控制項矩陣G和量測矩陣H是常數矩陣，并且噪聲是平穩(wěn)的(Q和R是常數矩陣)，而且滿足以下兩個條件

(1)

F、H對是完全可觀測的；

(2)

F、Г對是完全可控制的。則存在一個惟一的正定矩陣，使得從任意的初始方差陣P(0|0)出發(fā)，當k→∞，Riccati方程收斂到惟一的正定矩陣

。(4)濾波誤差的界Riccati方程，即一步預測協方差的單遞推式狀態(tài)一步預測的單遞推式為在穩(wěn)態(tài)濾波中狀態(tài)一步預測為卡爾曼濾波穩(wěn)態(tài)增益(5)穩(wěn)態(tài)卡爾曼濾波引起濾波發(fā)散的主要原因：系統過程噪聲和量測噪聲參數的選取與實際物理過程不符。系統的初始狀態(tài)和初始協方差的假設值偏差過大。不適當的線性化處理或降維處理。計算誤差。濾波發(fā)散問題

在P(0|0)、Q(k)和R(k)無法精確獲得的情況下，若知道它們可能的取值范圍，則可以采用它們可能的較大值。3.4.1α-β濾波器

α-β濾波器是針對勻速運動目標模型的一種常增益濾波器，此時目標的狀態(tài)向量中只包含位置和速度項，3.4常增益濾波器α-β濾波器增益具有如下形式目標機動指標λα-β濾波器增益工程上常采用與采樣時刻k有關的α、β確定方法當α、β減小到某一值時可規(guī)定其保持不變。、α、β值與k的關系k123456789101112…α115/67/103/511/2113/285/1217/4519/557/2223/78…β

11/23/101/51/73/281/121/153/551/221/26…

單目標情況下：狀態(tài)的一步預測：

狀態(tài)更新方程：

其中：新息

多目標情況下協方差的一步預測

新息協方差

協方差更新方程3.4.2自適應α-β濾波器3.4.3α-β濾波算法的應用舉例針對一個勻速直線運動目標設計常增益濾波器，系統的狀態(tài)方程為

其中：v(k)是零均值的白噪聲