2024屆遼寧省鐵嶺高中高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆遼寧省鐵嶺高中高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試題試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，．當(dāng)變化時(shí)，若存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．4．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．5．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為-45，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．6．甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（）A．B．C．D．7．費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如：)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A． B． C． D．8．定義在上函數(shù)滿(mǎn)足，且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．10．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則12．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是．14．若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______.15．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______．16．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則＝_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.18．（12分）已知，，設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系.（1）設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，若直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A．B，求AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)M、N是曲線C上的兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.20．（12分）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于，與交于，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.22．（10分）已知變換將平面上的點(diǎn)，分別變換為點(diǎn)，．設(shè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，在上單調(diào)遞減，，錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，在上單調(diào)遞增，，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.3、C【解析】

因?yàn)?，，所以根?jù)正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正?shù)的取值范圍為，故選C．4、D【解析】

用列舉法，通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出與的值，得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿(mǎn)足條件，，，滿(mǎn)足條件，，，滿(mǎn)足條件，，，由題意，此時(shí)應(yīng)該不滿(mǎn)足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.5、D【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開(kāi)，結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)，即可求得的值.【詳解】∵所以展開(kāi)式中的系數(shù)為，∴解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.7、B【解析】

基本事件總數(shù)，能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有，，，共有個(gè)，根據(jù)古典概型求出概率．【詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有，，，共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.9、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.10、B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當(dāng),或時(shí)，則不成立.則，，均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，也可以滿(mǎn)足∥，b∥，故本命題不正確；B：當(dāng)時(shí)，也可以滿(mǎn)足，，故本命題不正確；C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)∥，，時(shí)，能得到，故本命題是正確的；D：當(dāng)時(shí)，也可以滿(mǎn)足，b∥，故本命題不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.12、A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時(shí)，，排除C，只有A可滿(mǎn)足．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等等排除，可通過(guò)特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導(dǎo)公式知，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式．14、【解析】

注意平移是針對(duì)自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.15、9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16、【解析】

利用求出公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，?所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類(lèi)問(wèn)題的通性通法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)證明【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對(duì)任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時(shí)，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對(duì)數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過(guò)求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得，對(duì)任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時(shí)取得最大值.又∵，∴對(duì)任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時(shí)，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，.∵，∴當(dāng)時(shí)，，即②.綜上①②可得，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力，屬于難題．，18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結(jié)果.（2）利用絕對(duì)值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）由，所以由當(dāng)時(shí)，則所以當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則綜上所述：（2）由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以由，所以所以令根據(jù)柯西不等式，則當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)由故，又則【點(diǎn)睛】本題考查使用零點(diǎn)分段法求解絕對(duì)值不等式以及柯西不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（2），，由（1）通過(guò)計(jì)算得到，即最大值為1.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為，即；再將，，代入上式，得，故曲線C的極坐標(biāo)方程為，顯然直線l與曲線C相交的兩點(diǎn)中，必有一個(gè)為原點(diǎn)O，不妨設(shè)O與A重合，即.（2）不妨設(shè)，，則面積為當(dāng)，即取時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，三角形面積的最值問(wèn)題，是一道容易題.20、（1）,；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可設(shè)．結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．半徑，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，則其方程為，由弦長(zhǎng)公式可得．聯(lián)立直線與拋物線的方程有．設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得．則．即．詳解：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．已知在直線上，故可設(shè)．因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榕c軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，那么其方程為，則到的距離，所以．由消去并整理得：．設(shè)，則，那么．所以．所以，即．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．21、（1）見(jiàn)解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問(wèn)題為與的交點(diǎn)問(wèn)題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當(dāng)時(shí),直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或,即或時(shí),直線和函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí),直線與函數(shù)的象沒(méi)有交點(diǎn),即函數(shù)無(wú)零點(diǎn).（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,即在上恒成立,設(shè),則,①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故,單調(diào)遞減,不符合題