第5練 基本不等式（解析版）-2023屆高三數(shù)學一輪復習五層訓練（新高考地區(qū)）

第5練基本不等式

一、課本變式練

1.（人A必修一P48習題2.2T1（1）變式）已知x>l,則函數(shù)〃耳=鼻的最小值為（）

A.2+夜B.2C.2拒D.4

【答案】D

【解析】當時/（引=工=［（'/）+11=@_1）+-^+2.2/,_［）—^+2=4,當*=2時取等號,

x-1x-1x-iVx-1

故選D.

2.（人A必修一P48習題2.2T1（2）變式）已知0<x<g,則2x（1-3x）取得最大值時x=（）

1n1-1nl

AA.—B.—C.—D.—

6548

【答案】A

【解析】2x（l-3x）=2-3x（l-3司432￡土1二灰丫=1.，當3x=l-3x,即x=1時取等號，故選A.

3312J66

3.（人A必修一P48習題2.2T5變式）x<0,y<0,則土耳+—--的最小值為____.

x+y2x+3y

【答案】26-2

【解析】—J=2x+3y+3x+3y_2226_2,當（2犬+3?=3（3+.）2時取等號.

x+y2x+3yx+y2x+3y

4.（人A必修一P57復習參考題2T5變式）若a>0,力>0,且曲=。+。+3,則最小值為.

【答案】6

【解析】因為"=a+6+3,所以（°一1）傳一1）=4,所以4+6=（〃一1）+0-1）+222小（」一1）（6-1）+2=6,當

a=6=3時取等號.

二、考點分類練

（一）利用基本不等式求最值

5.（2022屆安徽省“皖東縣中聯(lián)盟”高三期末聯(lián)考）已知x>0,y>0,2x+y=3,則9，+3>的最小值為（）

A.27B.12A/3C.12D.

【答案】D

［解析］因為X>0,y>。,2x+y=3,則9*+3、=32x+3y>2-j32x+y=，

a

當且僅當2x=y=］時，等號成立，因此,9、+3-'的最小值為.故選D.

41

6.（2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學期一模）設4>0*>1,若°+方=2,則2+1、的最小值為（）

ao-l

A.6B.9C.34D.18

【答案】B

【解析】。>0,〃>1,且。+。=2,「.匕一1>0且4+(力-1)=1,

.41414(/?-1)a=、/4(Z?-1)~a~.

??-+-)［t/+(^-l)］=5+———-+---..5+2/--------------7=9,

ab-\ab-\ab-1Vab-\

當且僅當迎二2=二,即4=］目/,=2時取等號，故&+工的最小值為9；故選B

ah-\33ah-i

7.(2022屆天津市南開區(qū)高三下學期一模)若”>0,6>0,00,4+6+。=2,則’7+史史的最小值為

a+bc

【答案】2+2叵

【解析】由題意,。>0./?>（）,<:>0,。+/?+。=2得：a+b=2-c,

設2-c=m,c=〃,Q〃>0,〃>0)，則加+〃=2,

4a+b

故----------F--------

a+bc2-cc2-ccmn

=WX(±+2)_I=3+&+%*2+2、耳=2+2&

2mnmn\mn

當且僅當/=2/,即%=4-2&,“=C=2&-2時取得等號,

故」7+色也的最小值為2+2應

（二）利用基本不等式判斷不等關系

8.（2022屆寧夏銀川高三二模）下列不等式恒成立的是（）

A.x+—>2B.a+b>2\fab

x

c/tz+6丫、Cl~4-b~n272C,

C.------>---------D.a~-^b2>2ab

I2）2

【答案】D

【解析】對于A選項，當x<0時，不等式顯然不成立，故錯誤；對于B選項,〃+此2疝成立的條件為

此0,心0,故錯誤；對于C選項，當。=-30時,不等式顯然不成立，故錯誤；對于D選項，由于

a2+/-2H?=(a-Z?y之o,故。2+〃之2",正確.故選D

9.(2022屆四川省攀枝花市高三5月統(tǒng)考)已知函數(shù)/(刈=€,+b-28$巴若不相等的實數(shù)4力,。成等比數(shù)歹1」,

〃+「

/?="(號),S=/S),7=/(0),則R、S、T的大小關系為()

A.R<S<TB.T<R<S

C.S<R<TD.T<S<R

【答案】D

【解析】y=e*+ef,y=8sx均為偶函數(shù),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

/'(x)=e*-e?+2sinx,令g(x)=e*-e?+2sinx,g'(x)=e*+e-v-2cosx,

e'+e「.2>/^F=2-cosxe“1,l],.,.g'(x)..O,故g(x)單調遞增，即/(x)單調遞增，

又?尸(0)=0,...在(0,y)上/''(x)..0恒成立，故在(0,+8)函數(shù)f(x)遞增，且/(0)=0,

故函數(shù)在(-oo,0)遞減，在(0,+8)遞增,且函數(shù)/(X)..0恒成立，。功,C成等比數(shù)列,.?0=ac

當a.c均為正數(shù)時一，由均值不等式有：a+g晟2屹|,①，

當C均為負數(shù)時，由均值不等式有：a+c=-[(-a)+(-c)l,-2疝=-2|回，②，

由①②有：|專|…SI.又.互不相等，故專>|以，故/(等)>/3)>/(0),

:.T<S<R,^&D.

10.(2022屆江蘇省泰州市靖江市高三調研)十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和">"符號，并逐步被數(shù)學界接受,不等號的引入對不等

式的發(fā)展影響深遠.若a>0,6>0,則下面結論正確的有()

149

A.若—F—=4,則4+2N—

ah4

口\la2+b2-Jl

〃+b2

C.若a+b=2,則必有最大值1

D.若就+從=2,則a+b24

【答案】AC

【解析】因為a>0,6>0,若:+，4廁a+b=*+/心+4=；(5+3+撲[+2噲耳卜\,當且僅當

”半且，+2=4.即1時取等號,A正確；

ahah42

因為當￡之(甲J,即行否2日(a+3,當且僅當a時取等號，

所以‘"+"22也,B錯誤;若a+b=2,則"d字丫=1,當且僅當。=6=］時取等號,c正確;

a+b2＜2）

若而+廿=2,則“二?一?！?。,解得0＜人＜血，所以a+6=?＞0,D錯誤.故選AC.

bb

（三）利用基本不等式求參數(shù)范圍

X

IL

（2儂屆山西省呂梁市高三核心模擬）“玉＞。,使得Z中？成立，，的充要條件是（)

A.a<-B.a>-C.aW-D.a>—

3322

【答案】A

x

【解析】玉＞O,aW，等價于aW

x2+x+\

x1I1

---------------、-----=^=-=-

又f+x+11+%+￡1+2FT3,當且僅當x=I時等號成立,

=：,故故選A.

max°3

12.（2022屆上海市復興高級中學高三4月自我定位檢測）已知芯＞0,已＞0,〃=曰+人。=丁學+孫+/,

c=四國.若。力,c構成三角形的三邊，則m的取值范圍是.

【答案】（2-后2+6）

【解析】若a,b,c為三邊可構成三角形，則A+c＞a.目.。+Z?＞c成立，即yjx2+xy+y2+my［xy＞x+y,且

x+y-yjx2+xy+y2

x+y+^jr+xy+y2成立，即桃〉成立，而

2

x+y-yjx+孫+;/1,令〃=1+32,

R=

則滅=〃一，—1=---1、11,易知在［2,+oo）上遞減,

w+Vw-1

所以R=〃—\Ju2—1<2—V3，所以機>2—^3.

又小》尸碎五成立，而、+產(chǎn)學^孫+y72歷歹=2+3

gyjxyy/xy

當且僅當x=y時，等號成立,所以機＜2+百；所以2-6＜機＜2+石.

（四）基本不等式在其他知識中的應用

13.（2022屆重慶市中學校高三下學期月考）己知生,0為平面的單位向量,且其夾角為手，若

"烏+民卜&（x,yeR）,則2x+y的最大值為（）

A.2上B.2夜C._布＞D.-2百

【答案】B

【解析】在等式Rxq+yej=&兩邊平方得.[2咫+丹2『=4/+y2+4xyq-e?=4x2+y2-2xy=2,

所以（2x+4-2=6xy＜3（笥？＞=3（2x；y）2，得42x+y42&,當2x=y=夜時，滿足題意,

故選B

14.已知點尸為拋物線V=4x上一動點,A。,。）,8（3,0）,則N4P3的最大值為（）

【答案】B

【解析】根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設P（x,y）（y＞0）,若x=l,則2（1,2）.|?川=2,|四|=2,所以

tanZAPS=|=l=>ZAPfi=^;若x=3.則PB|=J40=2,所以

tanZAPB=-4==—=>ZAPB=-;若xw1且XH3,此時）w2且y*26,

2>/336

y____y_

%二=弋,所以tanZAPB=X-32y

Ix-31+』.yx2-4x+3+y2

x~3x—1

_2y_2_2<_______2_______=

因為y2二叔,所以tanl3111，則

16'16'y16'yyy\16?yyy

0<ZAPBV；,當且僅當另3=J.=y=2時取“=”，

416y

TT7T

而"2,所以。＜ZAM〈“綜上：旃的最大值為“故選B.

三、最新模擬練

22

15.（2022屆安徽省宣城市高三下學期第二次調研）已知正實數(shù)〃力滿足2〃+匕=4,則一+7的最小值是

a+2b

993夜

應

A-十4C-+

4B.2D.4-2

【答案】D

［解析】設x=a+2,y=0,則a=x_2,/?=y,故2x+y=8,其中x>2,y>0,

當且僅吟wny=VIrnx=4（2-0）,y=8（忘-1）時等號成立,

此時x>2,y>0滿足，

故焉+；的最小值為:（6+40）=5+],故選D.

16.（2022屆湖北省十堰市高三4月月考）函數(shù)/（x）=6+（+擊的最小值為（

）

A.4B.2&C.3D.472

【答案】A

【解析】因為⑹+*2停=2x2\當且僅當16,=/，即x=0時等號成立,

2x2，+擊=2x2，+924=4,當且僅當2x2，=*即x=0時等號成立，

所以,f（x）的最小值為4.故選A

17.（2022屆安徽省“皖南八校”高三下學期第三次聯(lián)考）已知tanatan尸=1,則cosecos尸的最大值為（）

A.；B.-C.—D.—

2424

【答案】A

【解析】'**tancrtan/7=1,sinasin=cosacos/7,

2222

/m2..Q“sina+coscrsin>?+cos/71/也口e小

/.（cosacosp）=sinacosa-sinpcos----------------------------------------=—=>cosacosp<—.（當JI僅當

tana=tan4=1時等號成立），故選A.

18.（2022屆廣西南寧市高三第二次適應性測試）已知〃?>0,”>0,命題。：2機+/1=〃?〃,命題4：根+〃23+2夜,

則p是4的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析]因為相由2m+〃=得—I■—=1，貝ijm+n=（m+〃）—H—=3H-----n—?3+2>/2,

mn\rnn）mn

n_2m

當且僅當，二一丁，即%=應+1，〃=2+0時取等號，因此

2nl+〃=inn

因為加>0.〃>0,由機+〃23+2夜,可取加=l,"=10，

則2m+〃=12,〃”?=10,此時2?7+〃h〃?”，因此夕4P,

所以P是4的充分不必要條件.故選A.

19.（2022屆黑龍江省哈爾濱市高三下學期第三次模擬）己知x,y都是正數(shù)，且x*y,則下列選項不恒成立的

是（）

A.B.—+—>2

2yx

【答案】D

【解析必，都是正數(shù)，由基本不等式,苫八向（+已2,奈忘患=而,這三個不等式都是當且僅當

x=y時等號成立,而題中xxy,因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立：

口+,22中當且僅當個=1時取等號，如x=!，y=2即可取等號,D中不等式不恒成立.故選D.

孫2

20.（多選）（2022屆廣東省韶關市高三綜合測試）已知10"=2,貯嚏5則下列結論正確的是（）

A.a+2b=\B.ah<-

8

C.ab>lg22D.a>b

【答案】ABC

【解析】由題可知a=lg2,6=；lg5=lg石，又石>2,所以a<b,D錯誤；因為10".IO?"=io"+2〃=1（）,有

a+2b=\.所以A正確；由基本不等式得a+2822同，所以仍當且僅當時，取等號；又因為

a=lg2,26=lg5,所以，故必<：,B正確；由于。=電2>0為=1g有>愴2,所以而>lg22c正確.故選

8

ABC.

21.（2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三二模）已知函數(shù)〃x）是R上的奇函數(shù)，且〃x）=x3+3x,若非零正實數(shù)機〃滿

足/（〃?—2〃加）+/⑺=0,則—+-的小值是.

mn

【答案】2

【解析】因為函數(shù)“可為奇函數(shù)，可得/（—x）=-f[x）,

由/(〃Z—2/M+F(")=0,可得/(m-2,加)=-/(〃)=/(-"),

乂因為〃x)=V+3x,可得/'(x)=3x2+3>0,所以函數(shù)/(x)為單調遞增函數(shù),

所以〃2-2mn=一〃.即+〃=2mn，即一+—=2,

mn

1111I、，、1小〃機、、1小八Intn、八

貝MlUl—i—二—z?（—i—）（加+〃）=—?（2H1—）2—?（2+2、----）=2,

mn2mn2mn2\mn

當且僅當即加=〃=1時，等號成立，

mn

所以_L+_L的小值是2.

mn

22.（2022屆廣東省潮州市高三下學期二模）設函數(shù)/（力=手；,點4（〃,/（叫（〃€通）在〃》）圖象上，

4+64

點4為坐標原點,設向量i=（1，0）,若向量a“=AM+A4++AiA，且必是￡與，的夾角，則tan，的最大值

是.

【答案】72

16

【解析】由向量的線性運算，得=44+A4++A,-,A,=44，

因為點4黑在函數(shù)/（、）=直為的圖象上，

4為坐標原點，向量：=（1,0）,6,是￡與，的夾角,

\

所以=「2"2"+%2瘋16.

4"+64X

（當且僅當2"=詈64，即”=3時取等號），即tan4的最大值是I白.

216

23.（2022屆四川省瀘州市高三第三次教學質量診斷性考試）已知x、yeR,且2'+2'=4,給出下列四個結

論：

①x+y<2；②孫21；③2*+y43；@4'+4V>8.

其中一定成立的結論是（寫出所有成立結論的編號）.

【答案】①④

【解析】對于①,???2,>0,2>>0,

二由2"+2'=4得,4=2*+T>2$2*-2y=2萬7,

即422歷，解得x+y<2（當且僅當x=y=l時取等號），故①一定成立：

對于②，當x=0,y=log23時,2'+2'=4成立，但x”1不成立，故②不一定成立；

對于③,當y=g時，由2*+2〉=4得2*=4-忘，

則2*+y—3=4-&+g-3=g—&>0,即2*+y>3,故③不一定成立；

④將2*+2>=4兩邊平方得4*+4，+2*+刈=16,

xvv+y+,

二4+4=16-2,

由①可知：x+y42nx+y+143n2**刈<23=8=>-2t+y+l>-8

=16-2”刑216-8=8,

.?.4，+4）28,當且僅當*=〉=1時取等號,因此@一定成立.故答案為①④.

四、高考真題練

22

24.（2021新高考I卷）已知小鳥是橢圓C：5+?=l的兩個焦點，點〃在C上,則|加不.|嶼1的最大值

為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】￡,尸2是橢圓C:、■+?=1的兩個焦點，點M在C匕|時用+15|=6,

所以|A/片|.|幗|（改上士返彳=9.當且僅當|=|ME|=3時，取等號，

所以|〃耳卜|肥耳|的最大值為9.故選C.

25.（2020新高考山東卷）11.己知。>0力>0,且。+%=1,則（）

A.a2+b2>-B.2--b>-

22

c.log,?+log2Z>>-2D.4a+\/b<y/2

【答案】ABD

/-I、2]]

【解析】對于A,tz2+Z;2=a2+（l-6z）2=2a2-2a+\=2a——,

'，I22

當且僅當a=〃=L時，等號成立，故A正確；

2

對于B,。=加一1>一1,所以2"“>2一|=1，故B正確；

2

對T'C,log2a+log2b=log2ah<log2-------=log2—=-2,

\2J4

當且僅當a=b=L時，等號成立，故C不正確；

2

對于D,因為（6+北『=1+2?^<1+4+方=2,

所以&+振Wx/5,當且僅當a=b=；時，等號成立，故D正確：故選ABD

五、綜合提升練

26.（2022屆新疆高三第二次適應性檢測）實數(shù)x,y,z分別滿足log^%=—,21'=22,20：=21,則》，V,z的

2021

大小關系為（）

A.x>>>zB.x>z>yC.z>x>yD.y>%>z

【答案】B

22

【解析】由題意得,y=log2122,z=log2021,則

1g21lg22lg221-lg20-lg22

z-y=log21-log22=

202llg20lg21—一lg20.lg21

因為lg20/g22<g(lg20+lg22)=(|lg440

所以城21g20.叱121-2440)回+蓊可回小時海

lg201g21>lg201g21-lg201g21

所以z>y,

設/(x)=—，則/(X)=匕毀，當X6(e,+8)時J'(x)<0,所以f(x)在(e,+8)上單調遞減，所以

X廠

/(21)</(20),即電包〈生型，所以201n21<211n20,

2120

2|21

所以ln2P<ln2(P,所以2產(chǎn)<202',所以2]<20次所以￥>1°g2o21=z,

22

因為X=(且￥>>里,所以x>z,所以x>z>y,故選B

U0J20

27.（上海市中學高三下學期期中）設AM為_ABC中BC邊上的中線，且AP=PM.若NBAC*,BC=2,

則PBPC的最大值為

【答"

【解析】PBPC=(AB-AP\(AC-AP]?

"為8C中點，尸為AW中點(由AP=PM得至IJ)

AP=-(AB-^AC),代入①式

4、

A8+AC、

得尸3PC二AB_^AC}?AC-

4A

—AB1-—\Acf+-AC-AB

1616l18

又AB-AC=kBHAC|-cosA=kBHA4cosq=J~U~~

代入得甌無啕河阿舄阿-得阿

由余弦定理,cosA=n得b2+c2=be+4,\AB\=c,\AC\=b,\BC\=a

:.PB-PC=-—(b2+c2}+—-bc=-—(bc+4]+—bc=~~-

16v71616'71684

由b24-c2=bc+4結合基本不等式得bc+4=/+c2..2bc

所以歷44

當且僅當b=c=2取等

131311

PB-PC=-/?c--<—x4--=--PBPC最大值為一:

848444

28.(2022屆江西省八所重點中學高三4月聯(lián)考)已知正數(shù)滿足

：=個一氏2=(x+y)(J12-x2+J12_y2),則z的取值范圍是.

【答案】(6+6/,120]

【解析】由三+“=---6可得:f+y2+&=6,因為x>0,y>0,以及爐+,2>2xyy

y工個

可得0V孫K3(2-0),故Z?=(/+y2+2盯)[24-(f+y2)+2

=(6+(2—碼同[(2+夜)孫+18+120]

=2/>2+(12夜+24)町+108+7272,

令沖一則對0,3（2-夜））,

乂y=2產(chǎn)+（120+24》+108+72也在（0,3（2-啦））單調遞增,

故可得36（3+2碼<z2?288.于是6（夜+1）<Z412亞

29.（2022屆內蒙古赤峰市高三模擬）已知“8C為非直角三角形，鬻=cos（A+3）.

（1）證明：上吆=一2

tanB

⑵求cosA的最小值.

sinA

【解析】⑴.?.^=COS(A+B),A+B+C5

sin(B+C)=-sinBcosC,sinBcosC+sinCeosB=-sinBcosC,

/.cosBsinC=-2sinBcosC.

又丁A3c為非直角三角形,

/.tanC=-2tanB.

(2)由^^=cos(A+B),4+8+C=TT,得

sinB

sinA=-cosCsin8及正弦、余弦定理，得

a=一一/.3a2+尸=/，即a2c2-b2

lab3

22

,22C~b破2

?2.220+C-------------------------------1-----22

,b+c-a333廠2h+c2y/2bc2>/2.

cosA=--------------=---------------------=-------—=----2--------