江蘇省濱?？h2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page152023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一年級數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)并集運(yùn)算求解.【分析】由題意可得：.故選：B.2.不等式：成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解出一元二次不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】由，解得，因?yàn)檎姘谒圆坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)必要不充分條件是.故選：A3.函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由解析式代入計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】設(shè)，得，則.故選：A.4.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合初等函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)奇偶性的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)，此時(shí)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)，此時(shí)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對于C中，函數(shù)，此時(shí)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意；對于D中，設(shè)，可得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意.故選：D.5.設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】指數(shù)式改為對數(shù)式，然后由對數(shù)的運(yùn)算法則求解．【詳解】，則，所以，故選：D．6.據(jù)市場分析某個(gè)車間產(chǎn)出的總利潤（單位：千萬元）與運(yùn)行年數(shù)滿足二次函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象如圖所示，則這個(gè)車間運(yùn)行（）年時(shí)，其產(chǎn)出的年平均利潤最大．A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【詳解】先求得關(guān)于的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得取得最大值時(shí)對應(yīng)的的值.【分析】，設(shè)，將代入上式得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選：C7.若函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】由題意可知：對一切實(shí)數(shù)恒成立，分和兩種情況，結(jié)合二次方程分析求解.【分析】由題意可知：對一切實(shí)數(shù)恒成立，若，則，符合題意；若，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：C.8.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【分析】依題意，在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知關(guān)于x不等式的解集為，則（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)：一元二次不等式的解集的形式可以確定，B選項(xiàng)：用韋達(dá)定理求出的關(guān)系，進(jìn)而求出的解集；CD選項(xiàng)：用與，與的關(guān)系確定的符號，以及求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，則的兩個(gè)根為與2，且，故A正確；由韋達(dá)定理得：，所以.不等式化簡為：，且，解得：，所以不等式的解集是，故B正確；因?yàn)椋瑒t，故C錯(cuò)誤；不等式即為，且，可得：，解得：或，所以不等式的解集為，故D正確；故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.命題：，的否定是：，.B.命題：，的否定是：，.C.是的充分不必要條件.D.是關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根的充要條件.【答案】ABD【解析】【分析】由含量命題的否定寫出A、B中命題的否定判斷；當(dāng)，假設(shè)即可判斷C；根據(jù)方程根的分布，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求m的范圍，結(jié)合充分、必要性定義判斷D.【詳解】A：全稱命題的否定為特稱命題，原命題的否定為，，對；B：特稱命題的否定為全稱命題，原命題的否定為，，對；C：若，假設(shè)，此時(shí)不成立，故充分性不成立，錯(cuò)；D：要使的根有一正一負(fù)，令，由于開口向上且對稱軸為，故只需，反之也成立，所以是關(guān)于x方程有一正一負(fù)根的充要條件，D對.故選：ABD11.下面四個(gè)命題中，真命題是（）A.若且，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、差比較法、基本不等式、特殊值等知識確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若且，則，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，如，所以，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，則，其中，但的范圍無法確定，所以的大小關(guān)系不確定，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD12.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上有最大值D.的解集為【答案】ABD【解析】【分析】A.由，利用賦值法求解判斷；B.由，令，由奇偶性的定義判斷；C.判斷函數(shù)的單調(diào)性求解；D.利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解判斷.【詳解】解：因函數(shù)滿足，所以，即，則；令，則，故為奇函數(shù)，設(shè)，且，則，即，所以在R上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上有最大值，由，得，由在R上是減函數(shù)，得，即，解得，所以的解集為，故選：ABD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，第16小題第一空2分，第二空3分，共20分．）13.函數(shù)的定義域是__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不等于零及開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零求解即可.【詳解】由，得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14._______.【答案】7【解析】【分析】利用指數(shù)和根式的運(yùn)算求解.【詳解】解：，，故答案為：715.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是_______.【答案】（0處可以取）【解析】【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)分析單調(diào)區(qū)間.【分析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，即，且，且不恒為0，可得，即，則，可知其開口向下，對稱軸為y軸，所以的遞減區(qū)間是.故答案為：.16.考古學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳14的含量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的含量），則經(jīng)過5730年后碳14的含量變?yōu)樵瓉淼腳_____；經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的含量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在______年到5730年之間（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】將代入函數(shù)，可得答案，令，則，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以經(jīng)過5730年后，碳14的含量變?yōu)樵瓉淼模?，則，所以，所以，所以良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間．故答案為：；四、解答題：（本題共6小題，共70分．第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）10；（2）18【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.（2）利用平方的方法求得正確答案.【詳解】（1）原式.（2）∵，∴，∴.18.已知集合，（1）若，求的范圍；（2）若“”的充分不必要條件是“”，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，根據(jù)列不等式來求得的范圍.（2）對是否為空集進(jìn)行分類討論，結(jié)合充分不必要條件列不等式來求得的范圍.小問1詳解】由題意，若，則，∴，解得；【小問2詳解】若是的充分不必要條件，則，若即時(shí)，，若，則，無解．綜上m的取值范圍是．19.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）作圖見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)求解析式；（2）根據(jù)解析式結(jié)合二次函數(shù)作圖；（3）根據(jù)圖象結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列式求解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義在上的奇函數(shù)，所以且，當(dāng)時(shí)，，則，可得，，所以函數(shù)在上的解析式為.【小問2詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，【小問3詳解】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)圖象可知，或或，解得：或或，所以t的取值范圍是.20.廈門市杏南中學(xué)一年一度的校運(yùn)動(dòng)會(huì)將在十月份舉行.學(xué)校各單門已經(jīng)開始各項(xiàng)準(zhǔn)備工作，其中宣傳報(bào)道組制作了各式各樣的宣傳海報(bào)供各個(gè)單位使用.如圖，一份矩形宣傳海報(bào)的排版面積（矩形）為，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白.（1）若，，且該海報(bào)的面積不超過，求的取值范圍；（2）若，，則當(dāng)長多少時(shí)，才能使紙的用量最少？【答案】（1）（2）20cm【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到不等式，求出的取值范圍；（2）設(shè)宣傳單的面積為，，表達(dá)出，利用基本不等式求出面積最小值和的大小.【小問1詳解】依題意可得，即，解得，又∵，∴，故的取值范圍為.【小問2詳解】記宣傳單的面積為，設(shè)，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，∴當(dāng)長為時(shí)，宣傳單面積最小，最小值為.21.（1）已知，求值.（2）已知，，用，表示．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由條件可得，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由得，，∴（2）因?yàn)椋?，即?2.已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，且.（1）求b的值，并用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）若對，都有，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】（1），證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用求得，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證得函數(shù)在上是增函數(shù).（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化簡不等式，結(jié)合不等式恒成立列不等式來求得的取值范圍.【