智愛高中數(shù)學(xué)-橢圓焦半徑公式及應(yīng)用

智愛高中數(shù)學(xué)橢圓焦半徑公式及應(yīng)用在橢圓曲線中，焦半徑是一個非常重要的幾何量，與其有關(guān)的問題是各類考試的熱點(diǎn)，故值得我們深入研究。思路1：由橢圓的定義有：故只要設(shè)法用等表示出〔或〕，問題就可迎刃而解。由題意知，兩式相減得聯(lián)立<1>、<2>解得：點(diǎn)評：在與中，前的符號不表示正、負(fù)，真正的正、負(fù)由確定。思路2：設(shè)焦點(diǎn)那么，即另有<2>÷<1>得：<1>、<3>聯(lián)立解得：點(diǎn)評：把<1>、<3>兩式左邊的兩個根式看成兩個未知數(shù)，構(gòu)建方程組得解。思路3：推敲的溝通渠道，應(yīng)從消除差異做起，根式中理應(yīng)代換。由點(diǎn)M在橢圓上，易知那么由，知故同理點(diǎn)評：上述思路表達(dá)了先消元轉(zhuǎn)換成關(guān)于的二次三項式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常數(shù)與，容易推出〔時取得〕，〔時取得〕。思路4：橢圓的第二定義為求焦半徑鋪設(shè)了溝通的橋梁。如圖，作橢圓的左準(zhǔn)線，作MH⊥于H點(diǎn)那么即同理可求得：點(diǎn)評：應(yīng)用橢圓的第二定義求焦半徑的優(yōu)越性是將兩點(diǎn)的距離等價轉(zhuǎn)化成平行于x軸的直線上點(diǎn)M、H的距離輕松得解，是上述四條思路中的最正確途徑。請你獨(dú)立探求焦點(diǎn)在y軸上的橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑〔〕。一、橢圓焦半徑公式P是橢圓＝1上一點(diǎn)，E、F是左、右焦點(diǎn)，e是橢圓的離心率，那么〔1〕，〔2〕。P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是上、下焦點(diǎn)，e是橢圓的離心率，那么〔3〕。以上結(jié)論由橢圓的第二定義及第一定義和橢圓的方程易得?！惨弧秤脵E圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式例1點(diǎn)P〔x，y〕是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1〔-c,0〕和F2(c,0)是橢圓的兩個焦點(diǎn).求證：|PF1|=a+；|PF2|=a-.【分析】可用距離公式先將|PF1|和|PF2|分別表示出來.然后利用橢圓的方程“消y”即可.【解答】由兩點(diǎn)間距離公式，可知|PF1|=(1)從橢圓方程解出(2)代〔2〕于〔1〕并化簡，得|PF1|=(-a≤x≤a)同理有|PF2|=(-a≤x≤a)【說明】通過例1，得出了橢圓的焦半徑公式r1=a+exr2=a-ex(e=)從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點(diǎn)P〔x,y〕橫坐標(biāo)的一次函數(shù).r1是x的增函數(shù)，r2是x的減函數(shù)，它們都有最大值a+c,最小值a-c.從焦半徑公式，還可得橢圓的對稱性質(zhì)〔關(guān)于x,y軸，關(guān)于原點(diǎn)〕.〔二〕、用橢圓的定義求橢圓的焦點(diǎn)半徑用橢圓方程推導(dǎo)焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依賴的.為了看清焦半徑公式的根底性，我們考慮從橢圓定義直接導(dǎo)出公式來.橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標(biāo)化”后的產(chǎn)物,按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一點(diǎn)，P到兩定點(diǎn)F1〔-c，0〕，F(xiàn)2〔c，0〕的距離的和為2a〔a>c>0〕.試用x，y的解析式來表示r1=|PF1|和r2=|PF2【分析】問題是求r1=f〔x〕和r2=g〔x〕.先可視x為參數(shù)列出關(guān)于r1和r2的方程組，然后從中得出r1和r2.【解答】依題意，有方程組②-③得代①于④并整理得r1-r2=⑤聯(lián)立①，⑤得【說明】橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導(dǎo)出，對橢圓的方程有自己的獨(dú)立性.由于公式中含c而無b，其根底性顯然.焦半徑公式與準(zhǔn)線的關(guān)系用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點(diǎn)P〔x，y〕是以F1〔-c,0〕為焦點(diǎn)，以l1：x=-為準(zhǔn)線的橢圓上任意一點(diǎn).PD⊥l1于D.按橢圓的第二定義，那么有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.橢圓的這個第二定義有很大的“人為性”.準(zhǔn)線缺乏定義的“客觀性”.因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合邏輯性.例3．P〔x，y〕是以F1〔-c，0〕，F(xiàn)2〔c，0〕為焦點(diǎn)，以距離之和為2a的橢圓上任意一點(diǎn).直線l為x=-，PD1⊥l交l于D1.求證：.【解答】由橢圓的焦半徑公式|PF1|=a+ex.對|PD1|用距離公式|PD1|=x-=x+.故有.【說明】此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點(diǎn)，到定點(diǎn)F1〔-c,0〕〔F2〔c,0〕〕與定直線l1:x=-(l2：x=)的距離之比為定值e〔0<e<1〕.三、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程在橢圓局部，只完成了“從曲線到方程”的單向推導(dǎo)，實(shí)際上這只完成了任務(wù)的一半.而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學(xué)生〔關(guān)于這一點(diǎn)，被許多學(xué)生所忽略了可逆推導(dǎo)過程并不簡單,特別是逆過程中的兩次求平方根〕.其實(shí)，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明.例4．設(shè)點(diǎn)P〔x，y〕適合方程.求證：點(diǎn)P〔x，y〕到兩定點(diǎn)F1〔-c,0〕和F2〔c，0〕的距離之和為2a〔c2=a2-b2〕.【分析】這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程.利用例2導(dǎo)出的焦點(diǎn)半徑公式，很快可推出結(jié)果.【解答】P〔x，y〕到F1〔-c,0〕的距離設(shè)作r1=|PF1|.由橢圓的焦點(diǎn)半徑公式可知r1=a+ex①同理還有r2=a-ex②①+②得r1+r2=2a即|PF1|+|PF2|=2a即P〔x，y〕到兩定點(diǎn)F1〔-c，0〕和F2〔c,0〕的距離之和為2a【說明】橢圓方程是二元二次方程，而橢圓的焦半徑公式是一元一次函數(shù).因此，圍繞著橢圓焦半徑的問題，運(yùn)用焦半徑公式比運(yùn)用橢圓方程要顯得簡便.四、橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是左、右焦點(diǎn)，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔1〕；〔2〕。P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是上、下焦點(diǎn)，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，那么〔3〕；〔4〕。證明：〔1〕設(shè)P在x軸上的射影為Q，當(dāng)不大于90°時，在三角形PEQ中，有由橢圓焦半徑公式〔1〕得。消去后，化簡即得〔1〕。而當(dāng)大于90°時，在三角形PEQ中，有，以下與上述相同?！?〕、〔3〕、〔4〕的證明與〔1〕相仿，從略。五、變式的應(yīng)用對于橢圓的一些問題，應(yīng)用這幾個推論便可容易求解。例5.P是橢圓上一點(diǎn)，E、F是左右焦點(diǎn)，過P作x軸的垂線恰好通過焦點(diǎn)F，假設(shè)三角形PEF是等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是___________。解：因為PF⊥EF，所以由〔2〕式得。再由題意得＋。注意到。例6.P是橢圓上且位于x軸上方的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是左右焦點(diǎn)，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設(shè)PF的傾斜角為，那么：。因為a＝10，b＝8，c＝6，由變式〔2〕得所以三角形PEF的面積例7．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為60°的直線和橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)，求橢圓的離心率。解：由題意及變式〔2〕得化簡得。例8．設(shè)F是橢圓的上焦點(diǎn)，共線，共線，且＝0。求四邊形PMQN面積的最大值和最小值。解：設(shè)PF傾斜角為，那么由題意知PF⊥MF，所以MF傾斜角為90°＋α，而，由題意及〔3〕式得同理得。由題意知四邊形PMQN面積所以當(dāng)時，；當(dāng)時，＝。四、利用焦半徑公式解橢圓題橢圓的焦半徑公式：設(shè)P(x，y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)、F分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，對于橢圓+=1(a＞b＞0)而言，有|PF|=a＋，|PF|=a－．在涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦的一些問題，用焦半徑公式解題可以簡化運(yùn)算過程．下面介紹其應(yīng)用．例9、在橢圓+=1上求一點(diǎn)，使它與兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直。解：由橢圓方程可知a=3，b=2，并求得c=5，離心率=，設(shè)P(,)，依焦半徑公式，得：|PF|=3+x，|PF|=3－x．〔3+x+〔3－x=100。解得：x=3或x=－3，故知(3,4)、(3,－4)、(－3,4)、(－3,－4)為所求。評析：一般地，涉及到橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的連結(jié)線段時，均可以用焦半徑公式來解。例10、在橢圓=1上求一點(diǎn)P,使它到一個焦點(diǎn)的距離為它到另一焦點(diǎn)距離的3倍。解：由橢圓方程可知a=2，b=2，c=2，焦點(diǎn)在y軸上，=，設(shè)P(,)，依焦半徑公式，得：|PF|=2+y，|PF|=2－y，依題意有：|PF|=3|PF|或|PF|=3|PF|。即：2+y=3(2－y)或2－y=3(2+y)解得：y=2或y=－2。由此可知所求點(diǎn)P為(，2)或(，－2)或(－，2)或(－,－2)評析：在涉及到橢圓上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離，如果直接用兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)算將非常復(fù)雜，而選用焦半徑公式使得運(yùn)算走向合理化．例11、設(shè)F、F為橢圓＋=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)．P、F、F是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且|PF|＞|PF|，求的值．解：由橢圓方程可知a=3，b=2，并求得c=，離心率=，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P(x，y)(x＞0，y＞0)是橢圓上的一點(diǎn)，那么由題意知|PF|應(yīng)為左焦半徑，|PF|應(yīng)為右焦半徑．由焦半徑公式，得|PF|=3＋x，|PF|=3－x．⑴假設(shè)∠PFF為直角，那么|PF|=|PF|＋|FF|，即(3+x)=(3－x)＋(2)，解得x=，故==；⑵假設(shè)∠FPF為直角，那么|PF|＋|PF|=|FF|，即(3+x)＋(3－x)=(2)，解得x=1，故==2．評析：當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離時，常利用焦半徑公式把問題轉(zhuǎn)化，此例就利用焦半徑公式成功地求出x值．例12、橢圓C：+=1，F(xiàn)、F為其兩個焦點(diǎn)，問能否在橢圓C上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是|MF|與|MF|的等比中項？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．解：設(shè)存在點(diǎn)M(x，y)，使|MN|=|MF|·|MF|，由得a=2，b=，c=1，左準(zhǔn)線為x=－4，那么|＋4|=(a＋)(a－)=a－=4－，即＋32＋48=0，解得=－4[－2，2]，或=－[－2，2]，因此，點(diǎn)M不存在．評析：在涉及到橢圓上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的距離，發(fā)現(xiàn)用焦半徑求解優(yōu)越于其它解法。三.求變量范圍例13、.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為其上動點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是__________。解：設(shè)，那么為鈍角代入解得四.求最值例14、.是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，求的最大值和最小值。解：設(shè)，那么在橢圓上的最大值為4，最小值為1五.求弦長例15.求過橢圓的左焦點(diǎn)，傾斜角為的弦AB的長度。解：由可得，所以直線AB的方程為，代入橢圓方程得設(shè)，那么，從而六.用于證明例16.設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，求證：以為直徑的圓C與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。證明：設(shè)，圓C的半徑為r即也就是說：兩圓圓心距等于兩圓半徑之差。故兩圓相內(nèi)切同理可證以為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。以上只是簡單介紹了橢圓的一種形式的焦半徑公式的應(yīng)用，希望同學(xué)們能觸類旁通，靈活運(yùn)用焦半徑公式解決其他有關(guān)問題，提高解題效率。例17、點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，又點(diǎn)P在x軸上方，為橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，求的面積。解析：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由條件，得：依題意得：所以由得：故點(diǎn)評：也可先求直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，解二元二次方程組求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y，那么。圓錐曲線的焦半徑巧用圓錐曲線的焦半徑概念，是圓錐曲線中的一個重要的概念．許多圓錐曲線的求解問題，往往都牽涉到它，且運(yùn)用圓錐曲線的焦半徑分析問題可給解題帶來生機(jī)．因此，掌握它是非常重要的．橢圓焦半徑：R左=a+xe,R右=a-xe,右支雙曲線焦半徑：R左=xe+a，R右=xe-a(x>0)，左支雙曲線焦半徑：R左=-(xe+a)，R右=-(xe-a)(x<0),拋物線焦半徑：R拋=x+．對于這些結(jié)論我們無須花氣力去記，只要掌握相應(yīng)的準(zhǔn)線方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種定義，可直接推得．如對雙曲線而言：當(dāng)P(x0,y0)是雙曲線b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b>0)右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是其左右焦點(diǎn)．那么有左準(zhǔn)線方程為．由雙曲線的第二定義得，左焦半徑為;由|PF1|-|PF2|=2a，得|PF2|=|PF2|-2a=ex0-a．(|PF例1F1，F(xiàn)2是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓與拋物線的一個交點(diǎn)，如果橢圓E的離心率e滿足|PF1|=e|PF2|，那么e的值為()解法1設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0,y0)，于是，拋物線的方程為y2=2(4c)(x+c),拋物線的準(zhǔn)線l：x=-3c，橢圓的準(zhǔn)線m：設(shè)點(diǎn)P到兩條準(zhǔn)線的距離分別為d1,d2．于是，由拋物線定義，得d1=|PF2|,…①又由橢圓的定義得|PF1|=ed2，而|PF1|=e|PF2|，………………②由①②得d2=|PF2|,故d1=d2，從而兩條準(zhǔn)線重合．∴．應(yīng)選(C)．解法2由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=e|PF2∴|PF2|(1+e)=2a，又由拋物線定義得|PF2|=x0+3c,即x0=|PF2|-3c由橢圓定義得|PF2|=a-ex0,………③由②③得|PF2|=a-e|PF2|+3ec，即|PF2|(1+e)=a+3ec，…………④由①④得2a=a+3ec，解得，應(yīng)選(C)．點(diǎn)評結(jié)合橢圓、拋物線的定義，并充分運(yùn)用焦半徑是解答此題的根本思想．例2設(shè)橢圓E：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)，的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，右頂點(diǎn)為A,如果點(diǎn)M為橢圓E上的任意一點(diǎn)，且|MF1|·|MF2|的最小值為．(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)雙曲線Q：是以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)任取Q上一點(diǎn)P，試問是否存在常數(shù)λ(λ>0)，使得∠PAF1=λ∠PF1A分析對于(1)可利用焦半徑公式直接求解．而(2)是一探索型的命題，解題應(yīng)注重探索．由于在解析幾何中對角的問題的求解，往往要主動聯(lián)想到斜率．而∠PF1A顯然是一銳角，又易知∠PAF1是(0,120o)內(nèi)的角，且90o是斜率不存在的角．于是，抓住90o這一特殊角試探，可得解法1，假設(shè)注重斜率的研究，考查所兩角差的正切，可得解法2；假設(shè)轉(zhuǎn)變角的角度來觀察，將∠PF1A變?yōu)椤螾NF1，使∠PAF1變成△PNA的外角，可得解法3；假設(shè)考查角平分線的性質(zhì)可得解法4；假設(shè)從圖像與所求式的特點(diǎn)分析得知，所求的λ必須是大于1的正數(shù)，從常規(guī)看來可以猜測到它可能是二倍角或三倍角的關(guān)系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分線定理，可得解法5；假設(shè)是考查∠PF1A與∠PAF1(1)解設(shè)M(x0,y0),由橢圓的焦半徑定義得|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0，|MF1|·|MF2|=(a+ex0)(a-ex0)=a2-e2x02,∵|MF1|·|MF2|的最小值為,且|x0|≤a，∴a2-e2x02≥a2-e2a2=，解得．(2)解法1由題意得雙曲線的離心率e=2,且雙曲線的實(shí)半軸長為c,半焦距為2c,故設(shè)雙曲線Q的方程為，假設(shè)存在適合題意的常數(shù)λ(λ>0)，考慮特殊情形的λ值．當(dāng)PA⊥x軸時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2c從而點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=3c，而|AF1|=3∴△PAF1是等腰直角三角形，即∠PAF1=,∠PF1A=,從而可得λ=2．PA不與x軸垂直時，那么要證∠PAF1=2∠PF1A由于點(diǎn)P(x1,y1)在第一象限內(nèi)，故PF1,PA的斜率均存在，從而，有,，且有,…………※又∵，將※代入得,由此可得tan2∠PF1A=tan∠PAF1∵P在第一象限，A(2c,0),∴,又∵∠PF1A為銳角，于是，由正切函數(shù)的單調(diào)性得2∠PF1A=∠PAF1綜合上述得，當(dāng)λ=2時，雙曲線在第一象限內(nèi)所有點(diǎn)均有∠PAF1=2∠PF1A解法2由題意得雙曲線的離心率e=2,且雙曲線的實(shí)半軸長為c,半焦距為2c故設(shè)雙曲線Q的方程為，由于點(diǎn)P(x1,y1)在第一象限內(nèi)，故PF1,PA的斜率均存在．且∠PF1A又∵,……………………※設(shè)∠PF1A=β，那么設(shè)∠PAF1=,≠90o時,那么tan(),而tan(-)．∴tan(-)=tan．∵∠PF1A=為銳角，又∠PAF1=∈,∴tan(-)=tan>0,故-是銳角，由正切函數(shù)的單調(diào)性得λ=2．顯然，當(dāng)λβ=90o時亦成立．故存在λ=2，使得雙曲線在第一象限內(nèi)所有點(diǎn)均有2∠PF1A=∠PAF1解法3由上述①，得λ=2，設(shè)P′是射線PA上的一點(diǎn),其橫坐標(biāo)為x0(x0>c)，在x軸上取一點(diǎn)N(2x0+c,0)，使△P′F1N為等腰三角形，∴∠P′F1N=∠P′NF1．故當(dāng)∠P′AF1=2∠P′F1A時，有∠P′AF1=2∠P′PF1F2yxONDAHPF1F2yxONDAH又A(2c,0)，于是|AN|=|AP′|=2x0-c過P′作P′H垂直于準(zhǔn)線l于H，如圖9-5．那么|P′H|=x0-．故=2=e．圖9-5故點(diǎn)P′是雙曲線上的點(diǎn)，且與P重合．圖9-5由x0>c的任意性得，當(dāng)λ=2時，雙曲線在第一象限內(nèi)所有點(diǎn)均有2∠PF1A=∠PAF1解法4由題意得，設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)，∵點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又A(2c∴|AP|=2x1-c，|AF1|=3c，設(shè)AD為∠F1AP的平分線，由角平分線性質(zhì)及定比分點(diǎn)公式，得，由此可得，點(diǎn)D在雙曲線的右準(zhǔn)線上，從而可得準(zhǔn)線是AF1的中垂線，故△AF1D為等腰三角形，且∠PF1A=∠DAF1又由※得∠PAF1=2∠PAD=2∠DAF1，∴∠PAF1=2∠PF1A，故λ解法5由題意得，設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)，因為點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又A(2c,0)是一焦點(diǎn)，于是，有|AP|=2x1-c，|AF1|=3|PF1|2=(x1+c)2+y12=x12+2x1c+c2+3x12-3c2=4x12+2x1c-在△APF1中有，，于是，有2()2-1=,即2(cos∠F1)2-1=cos2∠F1=cos∠A,∵∠A、∠F1是△APF1中的內(nèi)角，且∠F1是銳角，故有2∠F1=∠A,即∠PAF1=2∠PNF1，所以λ=2時，能使得雙曲線在第一象限內(nèi)所有點(diǎn)均有∠PAF1=2∠PF1A解法6設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)是雙曲線第一象限的點(diǎn)．∵A(2c,0)，F(xiàn)1(-c,0)，連AP，F(xiàn)1由雙曲線的焦半徑定義得|AP|=2x1-c,又設(shè)點(diǎn)N是點(diǎn)F1關(guān)于直線x=x1的對稱點(diǎn)，那么有|PF1|=|PN|,且N(2x1+c,0)，從而∠PF1N=∠PNF1．又|AN|=2x1+c-2c=2x1-c=|AP|,∠APN=∠PNF1由此可得∠F1AP=2∠PNF1，即∠F1AP=2∠PNF