第14講 特殊的四邊形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第14講特殊的四邊形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.會(huì)識(shí)別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會(huì)用性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對(duì)角線矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對(duì)稱圖形菱形四條邊相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形中心對(duì)稱圖形正方形四條邊相等四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對(duì)角線垂直的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形4、對(duì)角線相等的菱形是正方形中心、軸對(duì)稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個(gè)角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.軸對(duì)稱圖形考點(diǎn)二、中點(diǎn)四邊形相關(guān)問題中點(diǎn)四邊形的概念：把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．若中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直；若中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線相等；若中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直且相等．考點(diǎn)三、重心1.線段的中點(diǎn)是線段的重心；三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的重心。【典型例題】題型一、特殊的平行四邊形的應(yīng)用例1.如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF、再以對(duì)角線AE為邊作笫三個(gè)正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________．【思路點(diǎn)撥】求a2的長(zhǎng)即AC的長(zhǎng)，根據(jù)直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以計(jì)算，同理計(jì)算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出規(guī)律，得到第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)的表達(dá)式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,a4=a3=2，…由此可知：an=an-1=（）n-1故答案為：（）n-1.【總結(jié)升華】考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到an的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式】長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作【答案】或.例2．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=6，BD=8，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E，則|PE﹣PF|=．【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)BC交PE于G，由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由對(duì)頂角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面積的兩種計(jì)算方法求出EG，由角平分線的性質(zhì)定理得出PG=PF，得出PE﹣PF=PE﹣PG=EG即可．【答案】4.8．【解析】解：延長(zhǎng)BC交PE于G，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，∴AD==5，∠PCF=∠PCG，∵菱形的面積=AD?EG=AC?BD=×6×8=24，∴EG=4.8，∵PE⊥AD，∴PE⊥BG，∵PF⊥DF，∴PG=PF，∴PE﹣PF=PE﹣PG=EG=4.8．故答案為：4.8．【總結(jié)升華】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、菱形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證出PG=PF是解決問題的關(guān)鍵．題型二、梯形的應(yīng)用例3．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)F與B重合，求CE的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長(zhǎng)；（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【思路點(diǎn)撥】（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．【答案與解析】（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四邊形ABED為矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作DH⊥BC于H，則DH=AB=7，CH=3．設(shè)AF=CE=x，∵F在線段AB上，∴點(diǎn)E在線段BH上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BEF∽△HDE∴=，∴=，整理得x2-22x+85=0，（x-5）（x-17）=0，∴x=5或17，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．∴x=CE=5．（3）作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，∴則HE=x-3，BF=y，當(dāng)3≤x≤12時(shí)，易證△BEF∽△HDE，∴=，∴y=-x2+x-，當(dāng)0≤x＜3，易證△BEF∽△HDE，則HE=3-x，BF=y，∴=，∴y=x2－x＋．【總結(jié)升華】本題考查直角梯形的知識(shí)，同時(shí)考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道小的綜合題，注意對(duì)這些知識(shí)的熟練掌握并靈活應(yīng)用．【變式】如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點(diǎn)，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.題型三、特殊四邊形與其他知識(shí)結(jié)合的綜合運(yùn)用例4.正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，連接AF，EF．（1）證明：AC⊥AF；（2）設(shè)AD2=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AEDF的周長(zhǎng)有最小值，最小值是多少？【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件及正方形的性質(zhì)易證△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，進(jìn)而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由條件∠CAD=∠EAD=45°，易證△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，繼而證明四邊形AEDF為正方形；（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形AEDF的周長(zhǎng)有最小值，由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四邊形AEDF的周長(zhǎng)l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，則DE最小四邊形的周長(zhǎng)最小，問題得解．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四邊形AEDF為正方形（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形AEDF的周長(zhǎng)有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，則當(dāng)DE最小時(shí)，四邊形AEDF的周長(zhǎng)l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)位置時(shí)，此時(shí)DE=2四邊形AEDF的周長(zhǎng)最小值為8．【總結(jié)升華】本題用到的知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及四邊形周長(zhǎng)最小值的問題、動(dòng)點(diǎn)問題，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考題壓軸題．例5．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担舅悸伏c(diǎn)撥】（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得=,故根據(jù)S四邊形AECF=+=+=即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)=S四邊形AECF-，則△CEF的面積就會(huì)最大．【答案與解析】（1）證明：連接AC，如下圖所示，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF，故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=，由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．∴S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF=-××=．【總結(jié)升華】考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．例6.如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長(zhǎng)分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長(zhǎng)為y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)y=3時(shí)相應(yīng)x的值；

（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；

（3）當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長(zhǎng)度，再由△GCD∽△APG，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可解出x的值．（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可．（3）延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長(zhǎng)度．【答案與解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，∴=，∵GF=4，CD=DA=1，AF=，∴GD=3-，AG=4-，∴=，即y=，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，當(dāng)y=3時(shí)，=3，解得x=2.5，經(jīng)檢驗(yàn)的x=2.5是分式方程的根．故x的值為2.5；（2）∵S1=GP?GD=??（3-）=，S2=GD?CD=（3-x）×1=，∴S1-S2=-=即為常數(shù)；（3）延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)Q．∵正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，∴∠GDP=∠ADQ=45°．∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，∴3-x=，化簡(jiǎn)得：x2-5x+5=0．解得：x=，∵0≤x≤2.5，∴x=，在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是用移動(dòng)的時(shí)間表示出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．【變式】如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn)，P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．

（1）當(dāng)矩形ABCD的長(zhǎng)與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PHEF是矩形？請(qǐng)予以證明；

（2）在（1）中，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫?？為什么?/p>

【答案】（1）AD=2AB．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E是BC的中點(diǎn)，∴AB=BE=EC=CD；則△ABE、△DCE是等腰Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四邊形PFEH是矩形；（2）點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，矩形PHEF變?yōu)檎叫危焕碛扇缦拢河桑?）可得∠BAE=∠CDE=45°；∴∠FAP=∠HDP=45°；又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.【中考過關(guān)真題練】一、單選題1．（2019·上海·中考真題）下列命題中，假命題是(

)A．矩形的對(duì)角線相等 B．矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C．矩形的對(duì)角線互相平分 D．矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四條邊的距離相等【答案】D【分析】利用矩形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】、矩形的對(duì)角線相等，正確，是真命題；、矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正確，是真命題；、矩形的對(duì)角線互相平分，正確，是真命題；、矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊的距離相等，故錯(cuò)誤，是假命題.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí).解題的關(guān)鍵是了解矩形的性質(zhì)，難度不大.2．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列命題中，真命題是()A．對(duì)角線互相垂直的梯形是等腰梯形B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形C．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形D．對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是直角梯形【答案】C【分析】利用特殊四邊形的判定定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A．對(duì)角線互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故錯(cuò)誤；B．對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故錯(cuò)誤；C．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，正確；D．對(duì)角線平分一組對(duì)角的梯形是菱形，故錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大．3．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【分析】由矩形的判定方法依次判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，不符合題意；B、∠A=∠C不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，符合題意；C、AC=BD，對(duì)角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，不符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵．4．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對(duì)角線，那么下列條件中，能判斷這個(gè)平行四邊形為矩形的是（

）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【答案】C【詳解】A、∠BAC=∠DCA，不能判斷四邊形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四邊形ABCD是菱形；不能判斷四邊形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出對(duì)角線相等，能判斷四邊形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判斷四邊形ABCD是矩形；故選C．二、填空題5．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn).將△ABE沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，那么∠EDF的正切值是________________.【答案】2【分析】由折疊可得，，由折疊的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得到.【詳解】如圖所示，由折疊可得，，正方形中，是的中點(diǎn)，，，，又是的外角，，，，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的性狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.6．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，如果點(diǎn)、、在同一條直線上，那么的值為__________．【答案】．【詳解】試題分析：如下圖，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)CD＝x，由，得，整理，得：，解得：，所以，CD＝，所以，tan∠BA'C==．故答案為．考點(diǎn)：三角形相似的性質(zhì)，一元二次方程，三角函數(shù)．三、解答題7．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進(jìn)而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對(duì)邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進(jìn)而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB?AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．8．（2019·上海·中考真題）已知：如圖，、是的兩條弦，且，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：四邊形是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接，，，證明AO是線段BC的垂直平分線即可得證；（2）先證明，再證明四邊形的四邊相等即可．【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，，、是的兩條弦，且，在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，垂直平分，；（2）如圖2，連接，，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)及其逆用，三角形的相似，菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分別是點(diǎn)E、F．（1）求證：EF=AE﹣BE；（2）連接BF，如果=．求證：EF=EP．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠3，則可判斷△ABE≌△DAF，則BE=AF，然后利用等線段代換可得到結(jié)論；（2）利用和AF=BE得到，則可判定Rt△BEF∽R(shí)t△DFA，所以∠4=∠3，再證明∠4=∠5，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如圖，∵，而AF=BE，∴，∴，∴Rt△BEF∽R(shí)t△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，三線合一定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.10．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBE=180°×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．【詳解】（1）在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180°×=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．11．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）連接BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）．【分析】(1)過C作CE⊥AB于E，推出四邊形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根據(jù)勾股定理得到，即可求出梯形的面積；(2)過C作CH⊥BD于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：(1)過C作CE⊥AB于E，如下圖所示：∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3，∴CE==6，∴梯形ABCD的面積=×(5+8)×6=39，故答案為：39．(2)過C作CH⊥BD于H，如下圖所示：∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD===10，∴，∴CH=3，∴BH===6，∴∠DBC的正切值===．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）平行四邊形，若為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)若，①證明為菱形；②若，，求的長(zhǎng)．(2)以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)，且．若在直線上，求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；②先證點(diǎn)E是△ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長(zhǎng)；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點(diǎn)E是△ABC的重心，又在直線上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=AB，根據(jù)重心性質(zhì)得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,則AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，則BC=AE，代入即可求得的值．【詳解】（1）①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形，∴四邊形是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵為中點(diǎn)，∴AP是△ABC的中線，∴點(diǎn)E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=,∴OB=3x=3，∵平行四邊形，∴BD=2OB=6；（2）解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點(diǎn)E是△ABC的重心，又在直線上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=AB，GE=CE，∵CE=AE，∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，∴BC=AE，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題的是（

）A．如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線相等，那么這個(gè)四邊形是矩形B．如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)四邊形是菱形C．如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線平分所在的角，那么這個(gè)四邊形是菱形D．如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線互相垂直平分，那么這個(gè)四邊形是矩形【答案】C【分析】利用矩形、菱形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A、如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線相等，那么這個(gè)四邊形不一定是矩形，還有可能是等腰梯形，故錯(cuò)誤；B、如果一個(gè)平行四邊形兩條對(duì)角線相互垂直，那么這個(gè)平行四邊形是菱形，故錯(cuò)誤；C、如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線平分所在的角，那么這個(gè)四邊形是菱形，正確，是真命題；D、如果一個(gè)四邊形兩條對(duì)角線相互垂直平分，那么這個(gè)四邊形是菱形，故錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟記矩形、菱形的判定定理，屬于基礎(chǔ)題，難度不大2．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，假命題是（）A．對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形B．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線互相平分且平分一組內(nèi)角的四邊形是菱形D．對(duì)角線相等且垂直的四邊形是菱形【答案】D【分析】利用菱形的判定定理分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可得到正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、正確，是真命題；B、正確，是真命題；C、正確，是真命題；D、對(duì)角線相等且垂直的四邊形也可能是等腰梯形，故錯(cuò)誤，是假命題，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定定理，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．3．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（

）A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形C．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形 D．有一組對(duì)角相等的平行四邊形是菱形【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A是真命題，不符合題意；B．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B是真命題，不符合題意；C．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，故C是真命題，不符合題意；D．有一組對(duì)角相等的平行四邊形仍是平行四邊形，故D是假命題，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定方法，理解菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．4．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┮来芜B接等腰梯形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、中位線定理以及菱形的判定，可推出四邊形為菱形．【詳解】解：如圖所示，等腰梯形中，，，分別是、的中點(diǎn)，連接．E、F分別是的中點(diǎn)，，同理，可得：，又等腰梯形，，，四邊形是菱形．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)與定理是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形D．當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和矩形，菱形，正方形判定進(jìn)行判定.【詳解】A．四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，它是菱形，故A選項(xiàng)正確；B．∵四邊形是平行四邊形，∴對(duì)角線互相平分，∵，∴四邊形是菱形，故B選項(xiàng)正確；C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確；D．根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)時(shí)，它是矩形，不是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；綜上所述，符合題意是D選項(xiàng)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．6．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）順次聯(lián)結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形可能是（

）A．菱形； B．矩形； C．梯形； D．正方形．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，證明四邊形是平行四邊形，即可排除C，根據(jù)鄰邊邊相等，即可求解．【詳解】解：如圖，四邊形是直角梯形，分別為各邊中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形四邊形不能是菱形或正方形，四邊形可能是矩形，如圖故選B【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，掌握那個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海嘉定·統(tǒng)考二模）下列命題：①等腰梯形的兩個(gè)底角相等；②兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對(duì)角線等；⑤對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對(duì)①③進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的判定方法對(duì)②④進(jìn)行判斷．【詳解】解：等腰梯形的兩個(gè)底角相等，所以①為真命題；兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形，所以②為真命題；等腰梯形的對(duì)角線相等，所以③為真命題；對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，所以④為真命題．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．8．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）下列說法中，不正確的是（

）A．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個(gè)圓一定能夠重合C．面積相等的兩個(gè)正方形一定能夠重合 D．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形一定能夠重合【答案】D【分析】利用全等圖形的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)分析選項(xiàng)即可．【詳解】解：由題意可知：A.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形一定能夠重合，周長(zhǎng)相等說明等邊三角形的邊長(zhǎng)相等，且等邊三角形的每一個(gè)角都為，故說法正確，不符合題意；B.面積相等的兩個(gè)圓一定能夠重合，面積相等說明圓的直徑相等，故說法正確，不符合題意；C.面積相等的兩個(gè)正方形一定能夠重合，面積相等說明正方形的邊長(zhǎng)相等，且正方形的每個(gè)角都為，故說法正確，不符合題意；D.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)菱形一定能夠重合，周長(zhǎng)相等雖然可以說明菱形的邊長(zhǎng)相等，但是不能保證菱形的每個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故說法不正確，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查全等圖形的定義，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)，并進(jìn)行分析．9．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）A．對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形C．一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】解：A、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，∵四邊形ABCD為梯形，∴DC∥AB，過C作CE∥DB交AB延長(zhǎng)線于E，∴四邊形BECD為平行四邊形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項(xiàng)正確；B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個(gè)角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形，錯(cuò)誤，因?yàn)檫@組對(duì)邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當(dāng)這組對(duì)邊不相等時(shí)是梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說一定是等腰梯形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形判定與梯形的識(shí)別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識(shí)別方法是解題關(guān)鍵．10．（2021·上海青浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．一組對(duì)邊平行，且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．一組對(duì)邊平行，且對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形C．一組對(duì)邊平行，且一組鄰邊互相垂直的四邊形是矩形D．一組對(duì)邊平行，且對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形【答案】D【分析】通過已知條件推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)圖形以及根據(jù)平行四邊形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、一組對(duì)邊平行，且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形，故本選項(xiàng)說法是假命題；B、一組對(duì)邊平行，且對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形，本選項(xiàng)說法是假命題；C、一組對(duì)邊平行，且一組鄰邊互相垂直的四邊形是矩形或直角梯形，故本選項(xiàng)說法是假命題；D、一組對(duì)邊平行，且對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)說法是真命題；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了真命題的定義、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知識(shí)，要求學(xué)生能根據(jù)已知條件推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的圖形，考查了學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解與應(yīng)用，該題對(duì)學(xué)生的推理分析能力有較高要求．二、填空題11．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為50厘米，一條腰長(zhǎng)為12厘米，那么這個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為_____厘米．【答案】13【分析】根據(jù)梯形的周長(zhǎng)公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得到兩底的和，再根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半求出中位線的長(zhǎng)即可．【詳解】∵等腰梯形的周長(zhǎng)為50厘米，一條腰長(zhǎng)為12厘米，∴兩底的和為（厘米），∴這個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為（厘米），故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握梯形的中位線求法是解題關(guān)鍵．12．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和12，那么這個(gè)菱形的面積為___________【答案】30【分析】菱形的面積是對(duì)角線乘積的一半，由此可得出結(jié)果．【詳解】解：∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和12，∴菱形的面積：．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形面積的求解方法有兩種：①底乘以高，②對(duì)角線積的一半．13．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若a=4，b=3，則大正方形的面積是______．【答案】25【分析】利用勾股定理求出大正方形的邊長(zhǎng)即可．【詳解】解：由勾股定理可知大正方形的邊長(zhǎng)，∴大正方形的面積為25，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．14．（2022·上海·二模）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)A′處，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，連接A'D′交邊CD于點(diǎn)E，連接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則線段ED'的長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，由線段中點(diǎn)可得，在中，利用勾股定理可得，，利用相似三角形的判定定理及性質(zhì)可得，，代入求解，同時(shí)根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿著MN折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)處，∴，，設(shè)，則，∵是BC的中點(diǎn)，∴，在中，，即，解得：，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】題目主要考查長(zhǎng)方形中的折疊問題，包括勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等，結(jié)合圖形，熟練掌握運(yùn)用折疊的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在矩形內(nèi)作正方形（如圖所示），矩形的對(duì)角線交正方形的邊于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊的黃金分割點(diǎn)，且，那么_________．【答案】##【分析】結(jié)合已知條件易證得，，則，根據(jù)點(diǎn)F恰好是邊的黃金分割點(diǎn)可得，求解即可．【詳解】∵四邊形為矩形，四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，∵點(diǎn)F恰好是邊的黃金分割點(diǎn)，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握黃金分割比的值是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在邊上，聯(lián)結(jié)，將矩形沿所在直線翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，聯(lián)結(jié)．如果，那么的長(zhǎng)度是____________．【答案】##【分析】由題意作圖，過點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MP，交AB于點(diǎn)N，然后可證四邊形ANMD是矩形，則有，進(jìn)而根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MP，交AB于點(diǎn)N，在矩形ABCD中，，CD∥AB，∴，∴四邊形ANMD是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與判定、折疊的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定、折疊的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的頂點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的長(zhǎng)為_____．【答案】2【分析】證明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形DEFG是矩形，∴EFCD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵ADBC，AB＝CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在RtFGC中，tanC＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC內(nèi)部作正方形D1E1F1G1，其中點(diǎn)D1，E1分別在AC，BC邊上，邊F1G1在BC上，它的面積記作S1；按同樣的方法在△CD1E1內(nèi)部作正方形D2E2F2G2，它的面積記作S2，S2=______，…，照此規(guī)律作下去，正方形DnEnFnGn的面積Sn=______．【答案】

【分析】先說明AB=3G1F1、G1F1=3G2F2，再求出AB的長(zhǎng)，然后分別求出第一個(gè)、第二個(gè)正方形的面積，然后尋找規(guī)律，最后再利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴AG1=D1G1,BF1=E1F1∵正方形D1E1F1G1，∴F1G1=D1G1=E1F1∴AB=3G1F1同理：G1F1=3G2F2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2∴AB=∴正方形D1E1F1G1的邊長(zhǎng)為，正方形D2E2F2G2邊長(zhǎng)為∴S2=·=，正方形DnEnFnGn邊長(zhǎng)為∴正方形DnEnFnGn的面積Sn=×=．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、并靈活利用規(guī)律成為解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于點(diǎn)F，點(diǎn)D為BF上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠CAE．(1)求證：AD＝AE；(2)設(shè)BF交AC于點(diǎn)G，若，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明．【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形ADFE是正方形，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合兩個(gè)三角形全等的判定定理，得出≌，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出；（2）根據(jù)條件得到，進(jìn)而判定四邊形ADFE是矩形，再結(jié)合（1）中結(jié)論，即可得證．（1）證明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，，，，，在和中，≌，；（2）四邊形ADFE是正方形．證明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，，，即，，，∠BAC＝90°，，，，，四邊形ADFE是矩形，由（1）知，四邊形ADFE是正方形．【點(diǎn)睛】本題為幾何證明綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定和正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并能根據(jù)題中條件與所證結(jié)準(zhǔn)確尋找到思路是解決問題的關(guān)鍵．20．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，，連接，分別交邊、對(duì)角線于點(diǎn)F、G，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可知，然后可證，進(jìn)而問題可求證；（2）由矩形的性質(zhì)可知AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，然后可得，則有，進(jìn)而可證，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，∴，∴，由（1）可知，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M．過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE與△EFG全等，據(jù)此即可證明BE=FG；（2）證明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL證明△AEM≌△ADM即可解決問題．(1)證明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE與△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)證明：連接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴，即AB?EM=EC?AE，∵AB?DM=EC?AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．22．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知在菱形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，CE與BD交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF⊥CD于點(diǎn)F，∠1＝∠2．(1)若DF＝3，求AD的長(zhǎng)；(2)求證：BG＝GF＋CE．【答案】(1)6(2)見解析【分析】（1）只需要證明∠1=∠GDC，即可利用三線合一定理求解；（2）如圖所示，延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線于M，先證明BG=MG，然后分別證明△AEM≌△DEC得到CE=ME，△DGF≌△DGE得到GF=GE，由此即可證明結(jié)論．（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠GDC=∠2，AD=CD∵∠1=∠2，∴∠1=∠GDC，∴CG=DG，∵GF⊥CD，∴CD=2DF=6，∴AD=CD=6（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)CE交BA延長(zhǎng)線于M，∵四邊形ABCD是菱形，∴，AD=CD∴∠M=∠1，∠MAE=∠CDE，∠ABD=∠CDB，又∵∠2=∠1=∠CDB，∴∠ABD=∠M，∴BG=MG，∵E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)∴DF=DE=AE，∴△AEM≌△DEC（AAS），∴CE=ME，∵DF=DE，∠GDF=∠GDE，DG=DG，∴△DGF≌△DGE（SAS），∴GF=GE，∴BG=MG=EG+ME=CE+GF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形中，，對(duì)角線、交于，平分，點(diǎn)在底邊上，連結(jié)交對(duì)角線于，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，然后可得，則有，由角平分線及平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）可知，然后可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．（1）證明：∵，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）證明：由（1）可知，∵DE=DE，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（2022·上海金山·?？家荒＃┮阎倪呅问钦叫?，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上．聯(lián)結(jié)、、．(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）設(shè)CF=x，則DF=3x，CD=4x，BE=CE=2x，勾股定理求出AE2，EF2，AF2，證得△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，利用線段比例得到，證得△ABE∽△AEF，即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，則∠AHE=∠B=90°，證明△ABE≌△AHE（AAS），得到AH=AB，BE=HE，設(shè)BE=a，則CE=BE=a，BC=2BE=2a，AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，由此得到Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），得到DF=HF，設(shè)DF=HF=m，則CF=2a-m，在Rt△CEF中，勾股定理得到CE2+CF2=EF2，求出DF=，即可得到結(jié)論．（1）解：∵四邊形是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，∵DF=3CF，∴設(shè)CF=x，則DF=3x，CD=4x，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴BE=CE=2x，∵，，,∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，∵，，∴，∴△ABE∽△AEF，∴；（2）過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，則∠AHE=∠B=90°，∵，AE=AE，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AH=AB，BE=HE，設(shè)BE=a，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE=a，BC=2BE=2a，∴AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，∵∠AHF=∠D=90°，AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF=HF，設(shè)DF=HF=m，則CF=2a-m，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴a2+（2a-m）2=（a+m）2，解得m=，即DF=，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握正方形的性質(zhì)設(shè)未知數(shù)表示線段的長(zhǎng)度，由此利用全等和相似進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．25．（2022·上海·上海市婁山中學(xué)?？级＃┮阎?如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EM并延長(zhǎng)，交∠DCB的外角∠DCN的平分線于點(diǎn)F．(1)求證:ME=MF；(2)聯(lián)結(jié)DF，如果AB2=EB·BD，求證:四邊形DECF是正方形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，根據(jù)已知條件以及中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角以及角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可證明（2）根據(jù)已知恒等式可證明，進(jìn)而可得，則四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，由（1）可得出四邊形DECF是矩形，根據(jù)鄰邊相等，即可證明四邊形DECF是正方形．（1）四邊形是菱形對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，，是的外角，是∠DCN的角平分線，又（2）AB2=EB·BD，又四邊形是菱形四邊形是正方形由（1）可知四邊形是矩形四邊形是正方形【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，對(duì)角線BD平分∠ABC，（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，求的值．【答案】（1）13；（2）【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則可得CF的長(zhǎng)，由BD平分∠ABC，可得AB=AD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可求得BC的長(zhǎng)；（2）在直角△DFC中，由勾股定理可求得DF，易得∠BDF=∠DAE，從而在直角△DBF中，可求得結(jié)果．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F則∵CD=5∴CF=4∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB=∠ABD∴AD=AB=5∵AB=CD∴四邊形ABCD是等腰梯形∴∴BC=13（2）∵AE⊥BD，DF⊥BC∴∠AED=∠DFC=90゜∵∠ADB=∠CBD∴∠BDF=∠DAE∴∵BF=BC-CF=13-4=9，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，關(guān)鍵是過點(diǎn)D作BC的垂線．另外求∠DAE的余切值轉(zhuǎn)化為與之相等的∠BDF的余切值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，也是求三角函數(shù)值的一種常用方法．27．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）已知：如圖，在四邊形中，，、相交于點(diǎn)，（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）找到兩對(duì)相同角即可證明相似（2）證明出后可推出．【詳解】證明：（1）∵兩個(gè)三角形有一公共角∠BAC∴．（2）為等腰三角形為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，28．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，點(diǎn)E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求證：CE?AD＝DE2；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）通過證明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，即可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE?AD＝DE2；（2）∵△ADE∽△DEC，∴，∴，∴．．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰梯形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生理解并掌握相關(guān)內(nèi)容，能運(yùn)用有關(guān)知識(shí)求出相等的角，能證明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)解決不同的邊之間的關(guān)系等問題，要求學(xué)生能在不同的三角形之間進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化，蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的思想方法．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以下能推出ABCD是菱形的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；四條邊都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定．【解答】解：A、OA＝OB＝OC＝OD，是矩形，錯(cuò)誤；B、AC＝BD符合矩形，錯(cuò)誤；C、AB＝BC＝CD＝DA，四條邊都相等的四邊形是菱形，正確；D、AB∥CD，AD∥BC，是平行四邊形，錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．二．填空題（共10小題）2．（2012?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，左圖中正方形的面積是2004平方厘米，那么右圖中正方形的面積是2254.5平方厘米．【分析】根據(jù)第一個(gè)圖形中正方形EFNM的面積，可知等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)，第二個(gè)圖形中正方形ADQG的邊長(zhǎng)為等腰直角三角形腰長(zhǎng)的一半，進(jìn)而可得出右圖中正方形的面積．【解答】解：設(shè)正方形EFNM的邊長(zhǎng)為2a∵OE＝a，AE＝a，BE＝EM＝2a，∴AB＝3a∵正方形EFNP的面積為2004，即（2a）2＝2004，∴a2＝501，∵AG＝GQ＝AB，∴正方形ADQG的面積為：GQ2＝（AB）2＝AB2＝×（3a）2＝a2＝×501＝2254.5，∴正方形的面積為2254.5平方厘米．故答案為2254.5．【點(diǎn)評(píng)】解答本題要充分利用正方形和等腰直角三角形的特殊性質(zhì)．3．（2017?楊浦區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D為斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為．【分析】連接CD，由題意可證四邊形DECF是矩形，可得CD＝EF，根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)CD⊥AB時(shí)，EF長(zhǎng)度最短，即根據(jù)三角形的面積公式可求CD的長(zhǎng)度，即可得線段EF長(zhǎng)度的最小值．【解答】解：如圖連接CD∵∠C＝90°，DF⊥AC，DE⊥BC∴四邊形DECF是矩形∴EF＝CD∵垂線段最短∴當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的長(zhǎng)度最短，即EF的長(zhǎng)度最短．∵BC＝4，AC＝3，∠C＝90°∴AB＝5∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD∴CD＝∴EF長(zhǎng)度的最小值為故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，利用垂線段最短求CD的長(zhǎng)度最小值是本題的關(guān)鍵．4．（2005?上海自主招生）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，AD＝BC，E是AD的中點(diǎn)，EB⊥BC，則梯形ABCD的面積是3．【分析】先延長(zhǎng)CD交BE延長(zhǎng)線上點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AM⊥DC，過點(diǎn)B作BH⊥DC，根據(jù)AB∥CD，E是AD的中點(diǎn)得出△AEB≌△DEG，再根據(jù)AB＝2，得出DG和GC的長(zhǎng)，再根據(jù)ABCD是等腰梯形，AM⊥DC，BH⊥DC，得出DM＝HC的值，再根據(jù)EB⊥BC，BH⊥DC得出△BGC∽△HBC，從而得出BC和BG的值，即可求出S△BGC的值，再根據(jù)△AEB≌△DEG，即可得出梯形ABCD的面積．【解答】解：延長(zhǎng)CD交BE延長(zhǎng)線上點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AM⊥DC，過點(diǎn)B作BH⊥DC，∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠EAB，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED，∵∠GED＝∠AEB，∴△AEB≌△DEG，∵AB＝2，∴DG＝2，∴GC＝CD+GD＝4+2＝6，∵AM⊥DC，BH⊥DC，AD＝BC，∴DM＝HC＝1，∵EB⊥BC，BH⊥DC，∴∠EBC＝∠BHC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△BGC∽△HBC，∴＝，∴BC2＝GC?HC，∴BC＝＝，∴BG2＝GC2﹣BC2，∴BG＝＝，∴S△BGC＝?BC?BG＝××＝3，∵△AEB≌△DEG，∴梯形ABCD與三角形BGC的面積相等，∴S梯形ABCD＝3；故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，本題通過作輔助線，把等腰梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為三角形BGC的面積是解題的關(guān)鍵．5．（2002?閔行區(qū)校級(jí)自主招生）對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm和8cm的菱形的邊長(zhǎng)為5cm．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出邊長(zhǎng)．【解答】解：∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分∴兩條對(duì)角線的一半與菱形的邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形∴菱形的邊長(zhǎng)＝＝5cm故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，以及勾股定理的內(nèi)容．6．（2020?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）直線l1∥l2∥l3∥l4，其中l(wèi)1，l2之間距離和l3，l4之間距離均為1，l2，l3之間距離為2．正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3，l4上，則S四邊形ABCD＝10．【分析】過A作AE⊥l1于E，過C點(diǎn)作CF⊥l2于F，根據(jù)AAS定理證得△ABE≌△BCF，得到AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，由勾股定理求得AB2＝10，即為正方形的面積．【解答】解：過A作AE⊥l1于E，過C點(diǎn)作CF⊥l2于F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，∴AB2＝AE2+EB2＝12+32＝10，∴S正方形ABCD＝10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、正方形的面積，解題的關(guān)鍵是利用了同角的余角相等證得∠ABE＝∠BCF．7．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，梯形ABCD的面積為43cm2，AE＝BF，CE與DF相交于O，△COD的面積為16cm2，則陰影部分面積是11cm2．【分析】已知AE＝BF，可設(shè)梯形的高為H，E到AD的距離為m．則可根據(jù)梯形性質(zhì)和三角形面積求解．【解答】解：設(shè)梯形的高為H，E到AD的距離為m．則：S△ADE+S△BCF＝m①S△ADF+S△BCE＝?（H﹣m）