第14講 特殊的四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第14講特殊的四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.會識別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會用性質(zhì)和判定解決實際問題【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形中心對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形考點二、中點四邊形相關(guān)問題中點四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．考點三、重心1.線段的中點是線段的重心；三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍.平行四邊形對角線的交點是平行四邊形的重心。【典型例題】題型一、特殊的平行四邊形的應(yīng)用例1.如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三個正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，則an=___________．【思路點撥】求a2的長即AC的長，根據(jù)直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以計算，同理計算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2…，an=an-1=（）n-1，可以找出規(guī)律，得到第n個正方形邊長的表達式．【答案】（）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴a2=a1=，同理a3=a2=2，,a4=a3=2，…由此可知：an=an-1=（）n-1故答案為：（）n-1.【總結(jié)升華】考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到an的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式】長為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為________．第一次操作第二次操作第一次操作第二次操作【答案】或.例2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8，點P是AC延長線上的一個動點，過點P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延長線的垂線，垂足為E，則|PE﹣PF|=．【思路點撥】延長BC交PE于G，由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由對頂角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面積的兩種計算方法求出EG，由角平分線的性質(zhì)定理得出PG=PF，得出PE﹣PF=PE﹣PG=EG即可．【答案】4.8．【解析】解：延長BC交PE于G，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，∴AD==5，∠PCF=∠PCG，∵菱形的面積=AD?EG=AC?BD=×6×8=24，∴EG=4.8，∵PE⊥AD，∴PE⊥BG，∵PF⊥DF，∴PG=PF，∴PE﹣PF=PE﹣PG=EG=4.8．故答案為：4.8．【總結(jié)升華】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、菱形面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證出PG=PF是解決問題的關(guān)鍵．題型二、梯形的應(yīng)用例3．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．（1）若點F與B重合，求CE的長；（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．【思路點撥】（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．【答案與解析】（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四邊形ABED為矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作DH⊥BC于H，則DH=AB=7，CH=3．設(shè)AF=CE=x，∵F在線段AB上，∴點E在線段BH上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BEF∽△HDE∴=，∴=，整理得x2-22x+85=0，（x-5）（x-17）=0，∴x=5或17，經(jīng)檢驗，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．∴x=CE=5．（3）作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，∴則HE=x-3，BF=y，當3≤x≤12時，易證△BEF∽△HDE，∴=，∴y=-x2+x-，當0≤x＜3，易證△BEF∽△HDE，則HE=3-x，BF=y，∴=，∴y=x2－x＋．【總結(jié)升華】本題考查直角梯形的知識，同時考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道小的綜合題，注意對這些知識的熟練掌握并靈活應(yīng)用．【變式】如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.題型三、特殊四邊形與其他知識結(jié)合的綜合運用例4.正方形ABCD邊長為2，點E在對角線AC上，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，連接AF，EF．（1）證明：AC⊥AF；（2）設(shè)AD2=AE×AC，求證：四邊形AEDF是正方形；（3）當E點運動到什么位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，最小值是多少？【思路點撥】（1）由已知條件及正方形的性質(zhì)易證△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，進而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由條件∠CAD=∠EAD=45°，易證△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，繼而證明四邊形AEDF為正方形；（3）當E點運動到AC中點位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，則DE最小四邊形的周長最小，問題得解．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四邊形AEDF為正方形（3）當E點運動到AC中點位置時，四邊形AEDF的周長有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，則有AE+AF=AC=2，又DE=DF，則當DE最小時，四邊形AEDF的周長l=AE+AF+DE+DF=4+2DE最小，當DE⊥AC時，E點運動到AC中點位置時，此時DE=2四邊形AEDF的周長最小值為8．【總結(jié)升華】本題用到的知識點有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及四邊形周長最小值的問題、動點問題，題目的綜合性較強，難度中等，是一道不錯的中考題壓軸題．例5．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担舅悸伏c撥】（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得=,故根據(jù)S四邊形AECF=+=+=即可解題；當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據(jù)=S四邊形AECF-，則△CEF的面積就會最大．【答案與解析】（1）證明：連接AC，如下圖所示，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF，故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H點，則BH=2，S四邊形AECF=S△ABC=BC?AH=BC?=，由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則此時△CEF的面積就會最大．∴S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF=-××=．【總結(jié)升華】考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．例6.如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設(shè)正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當y=3時相應(yīng)x的值；

（2）記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1-S2是常數(shù)；

（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．【思路點撥】（1）根據(jù)題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應(yīng)邊成比例可解出x的值．（2）利用（1）得出的y與x的關(guān)系式表示出S1、S2，然后作差即可．（3）延長PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結(jié)合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．【答案與解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，∴=，∵GF=4，CD=DA=1，AF=，∴GD=3-，AG=4-，∴=，即y=，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=，當y=3時，=3，解得x=2.5，經(jīng)檢驗的x=2.5是分式方程的根．故x的值為2.5；（2）∵S1=GP?GD=??（3-）=，S2=GD?CD=（3-x）×1=，∴S1-S2=-=即為常數(shù)；（3）延長PD交AC于點Q．∵正方形ABCD中，AC為對角線，∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，∴∠GDP=∠ADQ=45°．∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，∴3-x=，化簡得：x2-5x+5=0．解得：x=，∵0≤x≤2.5，∴x=，在Rt△DGP中，PD==（3-x）=．【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是用移動的時間表示出有關(guān)線段的長度，然后運用所學(xué)知識進行求解．【變式】如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點，P是AD邊上一動點，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．

（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PHEF是矩形？請予以證明；

（2）在（1）中，動點P運動到什么位置時，矩形PHEF變?yōu)檎叫?？為什么?/p>

【答案】（1）AD=2AB．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E是BC的中點，∴AB=BE=EC=CD；則△ABE、△DCE是等腰Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四邊形PFEH是矩形；（2）點P是AD的中點時，矩形PHEF變?yōu)檎叫?；理由如下：由?）可得∠BAE=∠CDE=45°；∴∠FAP=∠HDP=45°；又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.【中考過關(guān)真題練】一、單選題1．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）下列命題中，假命題是(

)A．矩形的對角線相等 B．矩形對角線交點到四個頂點的距離相等C．矩形的對角線互相平分 D．矩形對角線交點到四條邊的距離相等【答案】D【分析】利用矩形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.【詳解】、矩形的對角線相等，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等，正確，是真命題；、矩形的對角線互相平分，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到一組對邊的距離相等，故錯誤，是假命題.故選.【點睛】本題考查了命題與定理的知識.解題的關(guān)鍵是了解矩形的性質(zhì)，難度不大.2．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列命題中，真命題是()A．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形D．對角線平分一組對角的梯形是直角梯形【答案】C【分析】利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A．對角線互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故錯誤；B．對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故錯誤；C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，正確；D．對角線平分一組對角的梯形是菱形，故錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大．3．（2018·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【分析】由矩形的判定方法依次判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，不符合題意；B、∠A=∠C不能判定這個平行四邊形為矩形，符合題意；C、AC=BD，對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，不符合題意，故選B．【點睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、有三個角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵．4．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）已知平行四邊形ABCD，AC、BD是它的兩條對角線，那么下列條件中，能判斷這個平行四邊形為矩形的是（

）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【答案】C【詳解】A、∠BAC=∠DCA，不能判斷四邊形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四邊形ABCD是菱形；不能判斷四邊形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出對角線相等，能判斷四邊形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判斷四邊形ABCD是矩形；故選C．二、填空題5．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點.將△ABE沿直線BE翻折，點A落在點F處，聯(lián)結(jié)DF，那么∠EDF的正切值是________________.【答案】2【分析】由折疊可得，，由折疊的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到，進而得到.【詳解】如圖所示，由折疊可得，，正方形中，是的中點，，，，又是的外角，，，，.故答案為.【點睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的性狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.6．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，矩形中，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°，點、分別落在點、處，如果點、、在同一條直線上，那么的值為__________．【答案】．【詳解】試題分析：如下圖，設(shè)矩形的邊長CD＝x，由，得，整理，得：，解得：，所以，CD＝，所以，tan∠BA'C==．故答案為．考點：三角形相似的性質(zhì)，一元二次方程，三角函數(shù)．三、解答題7．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB?AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）已知：如圖，、是的兩條弦，且，是延長線上一點，聯(lián)結(jié)并延長交于點，聯(lián)結(jié)并延長交于點．（1）求證：；（2）如果，求證：四邊形是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接，，，證明AO是線段BC的垂直平分線即可得證；（2）先證明，再證明四邊形的四邊相等即可．【詳解】證明：（1）如圖1，連接，，，、是的兩條弦，且，在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，垂直平分，；（2）如圖2，連接，，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)及其逆用，三角形的相似，菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2018·上海·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分別是點E、F．（1）求證：EF=AE﹣BE；（2）連接BF，如果=．求證：EF=EP．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠3，則可判斷△ABE≌△DAF，則BE=AF，然后利用等線段代換可得到結(jié)論；（2）利用和AF=BE得到，則可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再證明∠4=∠5，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如圖，∵，而AF=BE，∴，∴，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，三線合一定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.10．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBE=180°×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．【詳解】（1）在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180°×=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．11．（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）連接BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）．【分析】(1)過C作CE⊥AB于E，推出四邊形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根據(jù)勾股定理得到，即可求出梯形的面積；(2)過C作CH⊥BD于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：(1)過C作CE⊥AB于E，如下圖所示：∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3，∴CE==6，∴梯形ABCD的面積=×(5+8)×6=39，故答案為：39．(2)過C作CH⊥BD于H，如下圖所示：∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD===10，∴，∴CH=3，∴BH===6，∴∠DBC的正切值===．故答案為：．【點睛】本題考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）平行四邊形，若為中點，交于點，連接．(1)若，①證明為菱形；②若，，求的長．(2)以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點記為點，且．若在直線上，求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；②先證點E是△ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點E是△ABC的重心，又在直線上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=AB，根據(jù)重心性質(zhì)得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,則AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，則BC=AE，代入即可求得的值．【詳解】（1）①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形，∴四邊形是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵為中點，∴AP是△ABC的中線，∴點E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=,∴OB=3x=3，∵平行四邊形，∴BD=2OB=6；（2）解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點E是△ABC的重心，又在直線上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=AB，GE=CE，∵CE=AE，∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，∴BC=AE，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考?？碱}目．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題的是（

）A．如果一個四邊形兩條對角線相等，那么這個四邊形是矩形B．如果一個四邊形兩條對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱形C．如果一個四邊形兩條對角線平分所在的角，那么這個四邊形是菱形D．如果一個四邊形兩條對角線互相垂直平分，那么這個四邊形是矩形【答案】C【分析】利用矩形、菱形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A、如果一個四邊形兩條對角線相等，那么這個四邊形不一定是矩形，還有可能是等腰梯形，故錯誤；B、如果一個平行四邊形兩條對角線相互垂直，那么這個平行四邊形是菱形，故錯誤；C、如果一個四邊形兩條對角線平分所在的角，那么這個四邊形是菱形，正確，是真命題；D、如果一個四邊形兩條對角線相互垂直平分，那么這個四邊形是菱形，故錯誤；故選C．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是熟記矩形、菱形的判定定理，屬于基礎(chǔ)題，難度不大2．（2022·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）下列命題中，假命題是（）A．對角線垂直的平行四邊形是菱形B．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形C．對角線互相平分且平分一組內(nèi)角的四邊形是菱形D．對角線相等且垂直的四邊形是菱形【答案】D【分析】利用菱形的判定定理分別對每個選項逐一判斷后即可得到正確的選項．【詳解】解：A、正確，是真命題；B、正確，是真命題；C、正確，是真命題；D、對角線相等且垂直的四邊形也可能是等腰梯形，故錯誤，是假命題，故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定定理，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．3．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（

）A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 D．有一組對角相等的平行四邊形是菱形【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定方法，逐項判斷即可．【詳解】解：A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A是真命題，不符合題意；B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B是真命題，不符合題意；C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，故C是真命題，不符合題意；D．有一組對角相等的平行四邊形仍是平行四邊形，故D是假命題，符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查了菱形的判定方法，理解菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．4．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)校考二模）依次連接等腰梯形各邊的中點得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、中位線定理以及菱形的判定，可推出四邊形為菱形．【詳解】解：如圖所示，等腰梯形中，，，分別是、的中點，連接．E、F分別是的中點，，同理，可得：，又等腰梯形，，，四邊形是菱形．故選A．【點睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)與定理是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當時，四邊形是菱形B．當時，四邊形是菱形C．當時，四邊形是矩形D．當時，四邊形是正方形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和矩形，菱形，正方形判定進行判定.【詳解】A．四邊形是平行四邊形，當時，它是菱形，故A選項正確；B．∵四邊形是平行四邊形，∴對角線互相平分，∵，∴四邊形是菱形，故B選項正確；C．有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；D．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知，當時，它是矩形，不是正方形，故D選項錯誤；綜上所述，符合題意是D選項；故選D．【點睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．6．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）順次聯(lián)結(jié)直角梯形各邊中點所得到的四邊形可能是（

）A．菱形； B．矩形； C．梯形； D．正方形．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，證明四邊形是平行四邊形，即可排除C，根據(jù)鄰邊邊相等，即可求解．【詳解】解：如圖，四邊形是直角梯形，分別為各邊中點，則四邊形是平行四邊形四邊形不能是菱形或正方形，四邊形可能是矩形，如圖故選B【點睛】本題考查了中點四邊形，掌握那個特殊四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海嘉定·統(tǒng)考二模）下列命題：①等腰梯形的兩個底角相等；②兩個底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對角線等；⑤對角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個數(shù)是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對①③進行判斷；根據(jù)等腰梯形的判定方法對②④進行判斷．【詳解】解：等腰梯形的兩個底角相等，所以①為真命題；兩個底角相等的梯形是等腰梯形，所以②為真命題；等腰梯形的對角線相等，所以③為真命題；對角線相等的梯形是等腰梯形，所以④為真命題．故選：D．【點睛】本題考查了命題：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．8．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）下列說法中，不正確的是（

）A．周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合 B．面積相等的兩個圓一定能夠重合C．面積相等的兩個正方形一定能夠重合 D．周長相等的兩個菱形一定能夠重合【答案】D【分析】利用全等圖形的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)分析選項即可．【詳解】解：由題意可知：A.周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合，周長相等說明等邊三角形的邊長相等，且等邊三角形的每一個角都為，故說法正確，不符合題意；B.面積相等的兩個圓一定能夠重合，面積相等說明圓的直徑相等，故說法正確，不符合題意；C.面積相等的兩個正方形一定能夠重合，面積相等說明正方形的邊長相等，且正方形的每個角都為，故說法正確，不符合題意；D.周長相等的兩個菱形一定能夠重合，周長相等雖然可以說明菱形的邊長相等，但是不能保證菱形的每個角對應(yīng)相等，故說法不正確，符合題意；故選：D【點睛】本題考查全等圖形的定義，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握性質(zhì)，并進行分析．9．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）A．對角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個角相等的梯形是等腰梯形C．一組對邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對各個選項逐一分析即可．【詳解】解：A、對角線相等的梯形是等腰梯形，∵四邊形ABCD為梯形，∴DC∥AB，過C作CE∥DB交AB延長線于E，∴四邊形BECD為平行四邊形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項正確；B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項錯誤；C、一組對邊平行的四邊形一定是梯形，錯誤，因為這組對邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當這組對邊不相等時是梯形，故本選項錯誤；D、一組對邊平行，另一組對邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說一定是等腰梯形．故本選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查等腰梯形判定與梯形的識別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識別方法是解題關(guān)鍵．10．（2021·上海青浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．一組對邊平行，且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B．一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是等腰梯形C．一組對邊平行，且一組鄰邊互相垂直的四邊形是矩形D．一組對邊平行，且對角線平分一組對角的四邊形是菱形【答案】D【分析】通過已知條件推導(dǎo)出對應(yīng)圖形以及根據(jù)平行四邊形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、一組對邊平行，且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或等腰梯形，故本選項說法是假命題；B、一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是等腰梯形，本選項說法是假命題；C、一組對邊平行，且一組鄰邊互相垂直的四邊形是矩形或直角梯形，故本選項說法是假命題；D、一組對邊平行，且對角線平分一組對角的四邊形是菱形，故本選項說法是真命題；故選：D．【點睛】本題考查了真命題的定義、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知識，要求學(xué)生能根據(jù)已知條件推導(dǎo)出其對應(yīng)的圖形，考查了學(xué)生對相關(guān)概念的理解與應(yīng)用，該題對學(xué)生的推理分析能力有較高要求．二、填空題11．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）如果一個等腰梯形的周長為50厘米，一條腰長為12厘米，那么這個梯形的中位線長為_____厘米．【答案】13【分析】根據(jù)梯形的周長公式列式進行計算即可得到兩底的和，再根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半求出中位線的長即可．【詳解】∵等腰梯形的周長為50厘米，一條腰長為12厘米，∴兩底的和為（厘米），∴這個梯形的中位線長為（厘米），故答案為：13．【點睛】本題考查了梯形的中位線等知識點，熟練掌握梯形的中位線求法是解題關(guān)鍵．12．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對角線長分別為5和12，那么這個菱形的面積為___________【答案】30【分析】菱形的面積是對角線乘積的一半，由此可得出結(jié)果．【詳解】解：∵菱形的兩條對角線長分別為5和12，∴菱形的面積：．故答案為：30．【點睛】本題考查了菱形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形面積的求解方法有兩種：①底乘以高，②對角線積的一半．13．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a=4，b=3，則大正方形的面積是______．【答案】25【分析】利用勾股定理求出大正方形的邊長即可．【詳解】解：由勾股定理可知大正方形的邊長，∴大正方形的面積為25，故答案為：25．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．14．（2022·上?！ざ＃┤鐖D，將長方形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在BC邊上點A′處，點D的對應(yīng)點為D′，連接A'D′交邊CD于點E，連接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'點為BC的中點，則線段ED'的長為_____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，由線段中點可得，在中，利用勾股定理可得，，利用相似三角形的判定定理及性質(zhì)可得，，代入求解，同時根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：將長方形紙片ABCD沿著MN折疊，使點A落在BC邊上點處，∴，，設(shè)，則，∵是BC的中點，∴，在中，，即，解得：，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案為：【點睛】題目主要考查長方形中的折疊問題，包括勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等，結(jié)合圖形，熟練掌握運用折疊的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在矩形內(nèi)作正方形（如圖所示），矩形的對角線交正方形的邊于點P．如果點F恰好是邊的黃金分割點，且，那么_________．【答案】##【分析】結(jié)合已知條件易證得，，則，根據(jù)點F恰好是邊的黃金分割點可得，求解即可．【詳解】∵四邊形為矩形，四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，∵點F恰好是邊的黃金分割點，，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握黃金分割比的值是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，點E在邊上，聯(lián)結(jié)，將矩形沿所在直線翻折，點D的對應(yīng)點為P，聯(lián)結(jié)．如果，那么的長度是____________．【答案】##【分析】由題意作圖，過點P作PM⊥CD于點M，延長MP，交AB于點N，然后可證四邊形ANMD是矩形，則有，進而根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：如圖，過點P作PM⊥CD于點M，延長MP，交AB于點N，在矩形ABCD中，，CD∥AB，∴，∴四邊形ANMD是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與判定、折疊的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定、折疊的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，矩形DEFG的頂點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的長為_____．【答案】2【分析】證明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形DEFG是矩形，∴EFCD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵ADBC，AB＝CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在RtFGC中，tanC＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（2022·上海·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC內(nèi)部作正方形D1E1F1G1，其中點D1，E1分別在AC，BC邊上，邊F1G1在BC上，它的面積記作S1；按同樣的方法在△CD1E1內(nèi)部作正方形D2E2F2G2，它的面積記作S2，S2=______，…，照此規(guī)律作下去，正方形DnEnFnGn的面積Sn=______．【答案】

【分析】先說明AB=3G1F1、G1F1=3G2F2，再求出AB的長，然后分別求出第一個、第二個正方形的面積，然后尋找規(guī)律，最后再利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵CA=CB，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴AG1=D1G1,BF1=E1F1∵正方形D1E1F1G1，∴F1G1=D1G1=E1F1∴AB=3G1F1同理：G1F1=3G2F2，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2∴AB=∴正方形D1E1F1G1的邊長為，正方形D2E2F2G2邊長為∴S2=·=，正方形DnEnFnGn邊長為∴正方形DnEnFnGn的面積Sn=×=．故答案為：，．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，運用所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律、并靈活利用規(guī)律成為解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于點F，點D為BF上一點，且∠BAD＝∠CAE．(1)求證：AD＝AE；(2)設(shè)BF交AC于點G，若，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明．【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形ADFE是正方形，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合兩個三角形全等的判定定理，得出≌，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出；（2）根據(jù)條件得到，進而判定四邊形ADFE是矩形，再結(jié)合（1）中結(jié)論，即可得證．（1）證明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，，，，，在和中，≌，；（2）四邊形ADFE是正方形．證明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，，，即，，，∠BAC＝90°，，，，，四邊形ADFE是矩形，由（1）知，四邊形ADFE是正方形．【點睛】本題為幾何證明綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定和正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點，并能根據(jù)題中條件與所證結(jié)準確尋找到思路是解決問題的關(guān)鍵．20．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在矩形中，點E在邊的延長線上，，連接，分別交邊、對角線于點F、G，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可知，然后可證，進而問題可求證；（2）由矩形的性質(zhì)可知AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，然后可得，則有，進而可證，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，∴，∴，由（1）可知，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時點A落在點F處，線段EF交CD于點M．過點F作FG⊥BC，交BC的延長線于點G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE與△EFG全等，據(jù)此即可證明BE=FG；（2）證明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL證明△AEM≌△ADM即可解決問題．(1)證明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE與△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)證明：連接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴，即AB?EM=EC?AE，∵AB?DM=EC?AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．22．（2022·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知在菱形ABCD中，E為邊AD的中點，CE與BD交于點G，過點G作GF⊥CD于點F，∠1＝∠2．(1)若DF＝3，求AD的長；(2)求證：BG＝GF＋CE．【答案】(1)6(2)見解析【分析】（1）只需要證明∠1=∠GDC，即可利用三線合一定理求解；（2）如圖所示，延長CE交BA延長線于M，先證明BG=MG，然后分別證明△AEM≌△DEC得到CE=ME，△DGF≌△DGE得到GF=GE，由此即可證明結(jié)論．（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠GDC=∠2，AD=CD∵∠1=∠2，∴∠1=∠GDC，∴CG=DG，∵GF⊥CD，∴CD=2DF=6，∴AD=CD=6（2）解：如圖所示，延長CE交BA延長線于M，∵四邊形ABCD是菱形，∴，AD=CD∴∠M=∠1，∠MAE=∠CDE，∠ABD=∠CDB，又∵∠2=∠1=∠CDB，∴∠ABD=∠M，∴BG=MG，∵E是AD的中點，F(xiàn)是CD中點∴DF=DE=AE，∴△AEM≌△DEC（AAS），∴CE=ME，∵DF=DE，∠GDF=∠GDE，DG=DG，∴△DGF≌△DGE（SAS），∴GF=GE，∴BG=MG=EG+ME=CE+GF．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形中，，對角線、交于，平分，點在底邊上，連結(jié)交對角線于，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，然后可得，則有，由角平分線及平行線的性質(zhì)可得，進而問題可求證；（2）由（1）可知，然后可得，進而可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．（1）證明：∵，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）證明：由（1）可知，∵DE=DE，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（2022·上海金山·校考一模）已知四邊形是正方形，點是邊的中點，點在邊上．聯(lián)結(jié)、、．(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）設(shè)CF=x，則DF=3x，CD=4x，BE=CE=2x，勾股定理求出AE2，EF2，AF2，證得△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，利用線段比例得到，證得△ABE∽△AEF，即可得到結(jié)論；（2）過點A作AH⊥EF于H，則∠AHE=∠B=90°，證明△ABE≌△AHE（AAS），得到AH=AB，BE=HE，設(shè)BE=a，則CE=BE=a，BC=2BE=2a，AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，由此得到Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），得到DF=HF，設(shè)DF=HF=m，則CF=2a-m，在Rt△CEF中，勾股定理得到CE2+CF2=EF2，求出DF=，即可得到結(jié)論．（1）解：∵四邊形是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，∵DF=3CF，∴設(shè)CF=x，則DF=3x，CD=4x，∵點是邊的中點，∴BE=CE=2x，∵，，,∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，∵，，∴，∴△ABE∽△AEF，∴；（2）過點A作AH⊥EF于H，則∠AHE=∠B=90°，∵，AE=AE，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AH=AB，BE=HE，設(shè)BE=a，∵點E是BC的中點，∴CE=BE=a，BC=2BE=2a，∴AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，∵∠AHF=∠D=90°，AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF=HF，設(shè)DF=HF=m，則CF=2a-m，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴a2+（2a-m）2=（a+m）2，解得m=，即DF=，∴．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握正方形的性質(zhì)設(shè)未知數(shù)表示線段的長度，由此利用全等和相似進行證明是解題的關(guān)鍵．25．（2022·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┮阎?如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點E，點M是CD中點，聯(lián)結(jié)EM并延長，交∠DCB的外角∠DCN的平分線于點F．(1)求證:ME=MF；(2)聯(lián)結(jié)DF，如果AB2=EB·BD，求證:四邊形DECF是正方形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，根據(jù)已知條件以及中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角以及角平分線的性質(zhì)可得，進而可得，即可證明（2）根據(jù)已知恒等式可證明，進而可得，則四邊形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，由（1）可得出四邊形DECF是矩形，根據(jù)鄰邊相等，即可證明四邊形DECF是正方形．（1）四邊形是菱形對角線AC、BD交于點E，點M是CD中點，，是的外角，是∠DCN的角平分線，又（2）AB2=EB·BD，又四邊形是菱形四邊形是正方形由（1）可知四邊形是矩形四邊形是正方形【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．26．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，對角線BD平分∠ABC，（1）求邊BC的長；（2）過點A作AE⊥BD，垂足為點E，求的值．【答案】（1）13；（2）【分析】（1）過點D作DF⊥BC于點F，則可得CF的長，由BD平分∠ABC，可得AB=AD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可求得BC的長；（2）在直角△DFC中，由勾股定理可求得DF，易得∠BDF=∠DAE，從而在直角△DBF中，可求得結(jié)果．【詳解】（1）如圖，過點D作DF⊥BC于點F則∵CD=5∴CF=4∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB=∠ABD∴AD=AB=5∵AB=CD∴四邊形ABCD是等腰梯形∴∴BC=13（2）∵AE⊥BD，DF⊥BC∴∠AED=∠DFC=90゜∵∠ADB=∠CBD∴∠BDF=∠DAE∴∵BF=BC-CF=13-4=9，∴∴【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，關(guān)鍵是過點D作BC的垂線．另外求∠DAE的余切值轉(zhuǎn)化為與之相等的∠BDF的余切值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，也是求三角函數(shù)值的一種常用方法．27．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）已知：如圖，在四邊形中，，、相交于點，（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）找到兩對相同角即可證明相似（2）證明出后可推出．【詳解】證明：（1）∵兩個三角形有一公共角∠BAC∴．（2）為等腰三角形為等腰三角形．【點睛】本題考查四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，28．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，點E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求證：CE?AD＝DE2；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）通過證明△ADE∽△DEC，利用相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，即可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE?AD＝DE2；（2）∵△ADE∽△DEC，∴，∴，∴．．【點睛】本題綜合考查了等腰梯形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生理解并掌握相關(guān)內(nèi)容，能運用有關(guān)知識求出相等的角，能證明出相似的三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)解決不同的邊之間的關(guān)系等問題，要求學(xué)生能在不同的三角形之間進行邊和角的轉(zhuǎn)化，蘊含了轉(zhuǎn)化的思想方法．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O，以下能推出ABCD是菱形的是（）A．OA＝OB＝OC＝OD B．AC＝BD C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB∥CD，AD∥BC【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行判定．【解答】解：A、OA＝OB＝OC＝OD，是矩形，錯誤；B、AC＝BD符合矩形，錯誤；C、AB＝BC＝CD＝DA，四條邊都相等的四邊形是菱形，正確；D、AB∥CD，AD∥BC，是平行四邊形，錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了菱形的判定，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．二．填空題（共10小題）2．（2012?長寧區(qū)校級自主招生）如圖，兩個完全相同的等腰直角三角形，左圖中正方形的面積是2004平方厘米，那么右圖中正方形的面積是2254.5平方厘米．【分析】根據(jù)第一個圖形中正方形EFNM的面積，可知等腰直角三角形ABC的腰長，第二個圖形中正方形ADQG的邊長為等腰直角三角形腰長的一半，進而可得出右圖中正方形的面積．【解答】解：設(shè)正方形EFNM的邊長為2a∵OE＝a，AE＝a，BE＝EM＝2a，∴AB＝3a∵正方形EFNP的面積為2004，即（2a）2＝2004，∴a2＝501，∵AG＝GQ＝AB，∴正方形ADQG的面積為：GQ2＝（AB）2＝AB2＝×（3a）2＝a2＝×501＝2254.5，∴正方形的面積為2254.5平方厘米．故答案為2254.5．【點評】解答本題要充分利用正方形和等腰直角三角形的特殊性質(zhì)．3．（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，點D為斜邊AB上的一個動點，過D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則線段EF長度的最小值為．【分析】連接CD，由題意可證四邊形DECF是矩形，可得CD＝EF，根據(jù)垂線段最短，可得當CD⊥AB時，EF長度最短，即根據(jù)三角形的面積公式可求CD的長度，即可得線段EF長度的最小值．【解答】解：如圖連接CD∵∠C＝90°，DF⊥AC，DE⊥BC∴四邊形DECF是矩形∴EF＝CD∵垂線段最短∴當CD⊥AB時，CD的長度最短，即EF的長度最短．∵BC＝4，AC＝3，∠C＝90°∴AB＝5∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD∴CD＝∴EF長度的最小值為故答案為【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，利用垂線段最短求CD的長度最小值是本題的關(guān)鍵．4．（2005?上海自主招生）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，AD＝BC，E是AD的中點，EB⊥BC，則梯形ABCD的面積是3．【分析】先延長CD交BE延長線上點G，過點A作AM⊥DC，過點B作BH⊥DC，根據(jù)AB∥CD，E是AD的中點得出△AEB≌△DEG，再根據(jù)AB＝2，得出DG和GC的長，再根據(jù)ABCD是等腰梯形，AM⊥DC，BH⊥DC，得出DM＝HC的值，再根據(jù)EB⊥BC，BH⊥DC得出△BGC∽△HBC，從而得出BC和BG的值，即可求出S△BGC的值，再根據(jù)△AEB≌△DEG，即可得出梯形ABCD的面積．【解答】解：延長CD交BE延長線上點G，過點A作AM⊥DC，過點B作BH⊥DC，∵AB∥CD，∴∠GDE＝∠EAB，∵E是AD的中點，∴AE＝ED，∵∠GED＝∠AEB，∴△AEB≌△DEG，∵AB＝2，∴DG＝2，∴GC＝CD+GD＝4+2＝6，∵AM⊥DC，BH⊥DC，AD＝BC，∴DM＝HC＝1，∵EB⊥BC，BH⊥DC，∴∠EBC＝∠BHC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△BGC∽△HBC，∴＝，∴BC2＝GC?HC，∴BC＝＝，∴BG2＝GC2﹣BC2，∴BG＝＝，∴S△BGC＝?BC?BG＝××＝3，∵△AEB≌△DEG，∴梯形ABCD與三角形BGC的面積相等，∴S梯形ABCD＝3；故答案為：3．【點評】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，本題通過作輔助線，把等腰梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為三角形BGC的面積是解題的關(guān)鍵．5．（2002?閔行區(qū)校級自主招生）對角線長分別為6cm和8cm的菱形的邊長為5cm．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出邊長．【解答】解：∵菱形的對角線互相垂直平分∴兩條對角線的一半與菱形的邊長構(gòu)成直角三角形∴菱形的邊長＝＝5cm故答案為5．【點評】本題主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，以及勾股定理的內(nèi)容．6．（2020?寶山區(qū)校級自主招生）直線l1∥l2∥l3∥l4，其中l(wèi)1，l2之間距離和l3，l4之間距離均為1，l2，l3之間距離為2．正方形ABCD的四個頂點分別在l1，l2，l3，l4上，則S四邊形ABCD＝10．【分析】過A作AE⊥l1于E，過C點作CF⊥l2于F，根據(jù)AAS定理證得△ABE≌△BCF，得到AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，由勾股定理求得AB2＝10，即為正方形的面積．【解答】解：過A作AE⊥l1于E，過C點作CF⊥l2于F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝1，EB＝CF＝3，∴AB2＝AE2+EB2＝12+32＝10，∴S正方形ABCD＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、正方形的面積，解題的關(guān)鍵是利用了同角的余角相等證得∠ABE＝∠BCF．7．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖，梯形ABCD的面積為43cm2，AE＝BF，CE與DF相交于O，△COD的面積為16cm2，則陰影部分面積是11cm2．【分析】已知AE＝BF，可設(shè)梯形的高為H，E到AD的距離為m．則可根據(jù)梯形性質(zhì)和三角形面積求解．【解答】解：設(shè)梯形的高為H，E到AD的距離為m．則：S△ADE+S△BCF＝m①S△ADF+S△BCE＝?（H﹣m）