平面向量基本定理高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修二

平面向量基本定理第六章平面向量及其應(yīng)用思考

已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過來，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力．類似地，我們能否通過作平行四邊形，將向量a分解為兩個(gè)向量，使向量a是這兩個(gè)向量的和呢？

e1e2a移到同一起點(diǎn)；向量a可以分解為兩個(gè)向量的和作平行四邊形OACBMNa

e1e2一、平面向量基本定理問題1

如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)與e1，e2都不共線的向量.請(qǐng)你將向量a按e1，e2的方向分解，并用e1，e2表示出a.e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2追問1

當(dāng)a是與e1或e2共線的非零向量時(shí)，a也可以表示成λ1e1+λ2e2的形式嗎？

結(jié)論：一般地，對(duì)給定不共線的向量e1，e2，任意一個(gè)向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．追問2

當(dāng)a是零向量時(shí)，a可以表示成λ1e1+λ2e2的形式嗎？為什么？表示形式是唯一的若a=μ1e1+μ2e2，則λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2．得（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0．理由：則λ1－μ1，λ2－μ2全為0，即λ1=μ1，λ2=μ2．問題3

平面內(nèi)任何一個(gè)向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，這種表示形式是唯一的嗎？假設(shè)λ1－μ1，λ2－μ2不全為0，不妨假設(shè)λ1－μ1≠0，則

．由此可得e1，e2共線，與已知e1，e2不共線矛盾．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a=λ1e1+λ2e2．

如果e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底（base）．(1)同一平面內(nèi)的基底有無數(shù)個(gè)，只要兩向量不共線即可.(2)當(dāng)基底確定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一確定的.注意點(diǎn)：C

二、例題解析跟蹤訓(xùn)練1因?yàn)閧a，b}是一個(gè)基底，所以a與b不共線，

已知向量{a，b}是一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝_____.3所以x－y＝3.例2

如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝

AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個(gè)基底表示．CADB可選為基底，表示，．證明，從而證得△ABC是直角三角形．例2

如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝

AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形．CADB證明：如圖，設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝a－b．．因?yàn)镃D＝AB，所以CD＝DA．因?yàn)閍2＝CD2，b2＝DA2，所以．因此CA⊥CB．結(jié)論成立．例2

如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝

AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形．CADB結(jié)論：可以，基地的選取要靈活，選擇合適的基底解決問題跟蹤訓(xùn)練2用基底表示向量的一般方法(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個(gè)基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量.用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上是利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.(2)基底的選取要靈活，必要時(shí)可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量.反思感悟例3課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽視基底中的向量必須是不共線的兩個(gè)向量.1.設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：{a，b}可以作為一個(gè)基底；假設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2).所以λ不存在.故a與b不共線，可以作為一個(gè)基底.三、課堂練習(xí)(2)以{a，b}為基底表示向量c＝3e1－e2.設(shè)c＝ma＋nb