數(shù)學建?；顒樱褐芷诂F(xiàn)象的描述高一下學期數(shù)學人教B版（2019）必修第三冊

數(shù)學建?；顒樱褐芷诂F(xiàn)象的描述問題情境問題1

溫州市著名景點——江心嶼，是中國四大名嶼之一．江心嶼上面有座寺廟——江心寺，在寺院大門兩邊有題為宋王十月撰書的疊字聯(lián)：云朝朝朝朝朝朝朝朝散，下聯(lián)是：潮長長長長長長長長消．該對聯(lián)巧妙地運用了疊字詩展現(xiàn)了甌江湖水漲落的壯闊畫面．下面是甌江江心嶼碼頭在某年某個季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：時間0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.55（1）仔細觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能從中得到一些什么信息？（2）以時間為橫坐標，水深為縱坐標，建立直角坐標系，將上面表格中的數(shù)據(jù)對應(yīng)點描在直角坐標系中，你能得到什么結(jié)論？（1）水深隨時間的變化呈周期變化．（2）若用平滑的曲線連接各點，則大致呈正弦曲線．新知探究問題2生活中有哪些周期現(xiàn)象呢？周期現(xiàn)象模型一潮汐現(xiàn)象模型海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（1）選用一個三角函數(shù)來近似地描述這個港口的水深值與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點時水深的近似數(shù)值：（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能停多久？（3）某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減小，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（1）選用一個三角函數(shù)來近似地描述這個港口的水深值與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點時水深的近似數(shù)值：將這個港口的水深值與時間的關(guān)系表作出散點圖，以時間為x軸，又水深值為y軸，建立直角坐標系，如下圖所示．經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)散點的變化規(guī)律比較符合正弦型函數(shù)圖像變化規(guī)律．xy864286421614121024222018O新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（1）選用一個三角函數(shù)來近似地描述這個港口的水深值與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點時水深的近似數(shù)值：設(shè)y＝Asin（ωx＋φ）＋h，顯然A＝2.5，ω＝

，φ＝0，h＝5，所以函數(shù)解析式為y＝＋5，所以整點時的水深的近似數(shù)值如下表所示．時間0123456789101112水深值5.006.257.177.507.176.255.003.752.832.502.833.755.00時間131415161718192021222324水深值6.257.177.507.176.255.003.752.832.502.833.755.00新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表貨船的吃水深度為4m，加上安全間隙1.5m，水深值要大于5.5m，用作圖軟件作出函數(shù)y＝

＋5與y＝5.5的圖象，找到四個交點A，B，C，D，如下圖所示．（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能停多久？即y＝

＋5＞5.5xy864286421614121024222018OABCDy＝5.5度量出四個點的橫坐標分別為xA＝0.38，xB＝5.62，xC＝12.38，xD＝17.62，即分別對應(yīng)的時刻約為：00：23，5：37，12：23，17：37．新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能停多久？因此，該船在00：23至5：37或12：23至17：37能安全進港．若欲于當天安全離港，它在港內(nèi)最多停留17h14min．新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表設(shè)在時刻x該船安全水深為z，則z＝4＋1.5－0.3（x－2）（x≥2），（3）某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減小，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？這時水深y＝

＋5．若使該船安全，則4＋1.5－0.3（x－2）≤

＋5，即6.1－0.3x≤

＋5．新知探究問題3下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）時刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0記錄表如圖所示，用作圖軟件畫出兩個函數(shù)y＝6.1－0.3x與y＝

＋5的圖像，得到交點E，F(xiàn)，G．xy864286421614121024222018OEFG通過度量點F的橫坐標為xF＝6.72，即對應(yīng)時刻約為6：43．因此，該船在6：43必須停止卸貨，駛向較安全的水域．（3）某船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的速度減小，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究周期現(xiàn)象模型二

單擺彈簧等簡諧振動模型如圖是單擺的示意圖，點O為擺球的平衡位置，如果規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，則當擺球到達點O時，擺球的位移y為0；OCD當擺球到達點D時，擺球的位移y達到反向最大值－A；當擺球再次到達點O時，擺球的位移y又一次為0；當擺球再次到達點C時，擺球的位移y又一次達到最大值A(chǔ)．這樣周而復(fù)始，形成周期變化．當擺球到達點C時，擺球的位移y達到最大值A(chǔ)；新知探究周期現(xiàn)象模型二單擺彈簧等簡諧振動模型單擺、彈簧等簡諧振動可以用三角函數(shù)表達為y＝Asin（ωx＋φ）其中x表示時間，y表示位移，A表示振幅，

表示頻率，φ表示初相位．說明：單擺是生活中常見的模型，也是常用的簡單模型．物理學科中所討論的單擺是一種理想化的模型，也稱數(shù)學擺．它是由一根不可伸縮的細線（質(zhì)量不計），一端固定，另一端懸掛一質(zhì)量為M的小球（視為質(zhì)點）而構(gòu)成的振動系統(tǒng)．新知探究周期現(xiàn)象模型三三音叉發(fā)出的純音振動可以用三角函數(shù)表達為y＝Asinωx，其中x表示時間，y表示純音振動時音叉的位移，

表示純音振動的頻率（對應(yīng)音高），A表示純音振動的振幅（對應(yīng)音強）．新知探究周期現(xiàn)象模型四交變電流可以用三角函數(shù)表達為y＝Asin（ωx＋φ），其中x表示時間，y表示電流，A表示最大電流，

表示頻率．φ表示初相位．初步應(yīng)用例1

如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b．解答：（1）由圖可知：這段時間的最大溫差是20℃；（2）從圖可以看出：從6～14是y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半個周期的圖象，（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．∴

＝14－6＝8，∴T＝16，∵∵又∵∴初步應(yīng)用例1

如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b．（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．∴，將點（6，10）代入得：∴∴取∴初步應(yīng)用例1

如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）＋b．（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．注意：一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應(yīng)當特別注意自變量的變化范圍．追問：有沒有其它解法？初步應(yīng)用例2

如圖表示的是電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系I＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜

）在一個周期內(nèi)的圖象．（1）根據(jù)圖象寫出I＝Asin（ωx＋φ）的解析式；（2）為了使I＝Asin（ωx＋φ）中的t在任意一段s的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值為多少？解答：（1）由圖知A＝300，第一個零點為

，第二個零點為∴解得ω＝100π，φ＝

，∴初步應(yīng)用例2

如圖表示的是電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系I＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜

）在一個周期內(nèi)的圖象．（1）根據(jù)圖象寫出I＝Asin（ωx＋φ）的解析式；（2）為了使I＝Asin（ωx＋φ）中的t在任意一段s的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值為多少？（2）依題意有T≤

，即∴ω≥200π．故ωmin＝629．歸納小結(jié)2．解決問題的一般程序是：1