【數(shù)學(xué)】廣東省深圳市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試題（解析版）

《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》圖書聯(lián)系電話：4000-916-716廣東省深圳市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．已知集合，，1，2，，則A．， B．， C．， D．，【解析】集合，，1，2，，，．【答案】A2．設(shè)復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．【答案】B3．已知向量，，且，則A． B． C． D．2【解析】，，且，，解得．【答案】D4．已知，，則的值為A． B． C． D．【解析】，，，．【答案】A5．已知直線，與平面，，，則能使成立的充分條件是A．， B．， C．， D．，，【解析】對(duì)于A，平面間的垂直關(guān)系，不具有傳遞性，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，在長(zhǎng)方體中，平面，平面，但平面平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則必在中存在直線，因?yàn)?，則，故，故C正確；對(duì)于D，如圖，平面平面，，平面，但平面與平面不垂直，故D錯(cuò)誤．【答案】C6．下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】對(duì)于，異號(hào)是顯然不成立，不正確；對(duì)于，異號(hào)是顯然不成立，不正確；對(duì)于，均小于0時(shí)，顯然不成立，不正確；對(duì)于，，正確．【答案】D7．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，故，故易知，故可得，故．【答案】A8．已知函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【解析】令，得，則方程的解的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)．【答案】C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．根據(jù)第七次全國(guó)人口普查結(jié)果，女性人口約為68844萬(wàn)人，總?cè)丝谛詣e比（以女性為100，男性對(duì)女性的比例）為105.07，與2010年第六次全國(guó)人口普查基本持平．根據(jù)下面歷次人口普查人口性別構(gòu)成統(tǒng)計(jì)圖，下面說(shuō)法正確的是A．近20年來(lái)，我國(guó)總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢(shì) B．歷次人口普查，2000年我國(guó)總?cè)丝谛詣e比最高 C．根據(jù)第七次全國(guó)人口普查總?cè)丝谛詣e比，估計(jì)男性人口為72334萬(wàn)人 D．根據(jù)第七次全國(guó)人口普查總?cè)丝谛詣e比，估計(jì)男性人口為73334萬(wàn)人【解析】近20年來(lái)，我國(guó)總?cè)丝谛詣e比呈遞減趨勢(shì)，所以A正確；由統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)知，歷次人口普查，1953年我國(guó)總?cè)丝谛詣e比最高，所以B不正確；根據(jù)第七次全國(guó)人口普查總?cè)丝谛詣e比，設(shè)男性人口為，，，則估計(jì)男性人口為72334萬(wàn)人，故C正確，D不正確．【答案】AC10．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是A．最小正周期為 B．在區(qū)間上的最大值為 C．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為 D．圖象的一條對(duì)稱軸為直線【解析】的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象；所以函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1．【答案】AD11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞減 C．的解集為， D．存在實(shí)數(shù)滿足【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得，可得時(shí)，在時(shí)取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得在上取得最小值，故A正確；在遞減，在遞增，故B錯(cuò)誤；由或，解得：，或，故C正確；由，（2），即存在實(shí)數(shù)滿足，故D正確．【答案】ACD12．如圖，在菱形中，，，將沿折起，使到，點(diǎn)不落在底面內(nèi)，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，以下命題中正確的是A．四面體的體積的最大值為1 B．存在某一位置，使得 C．異面直線，所成的角為定值 D．當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，四面體的外接球的半徑為【解析】連接交于，連接，取的中點(diǎn)，連接，，對(duì)于A，當(dāng)平面平面時(shí)，四面體的體積最大，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)在菱形中，，則，都是等邊三角形，則，此時(shí)四面體的體積為，所以四面體的體積的最大值為1，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且，由題意，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以異面直線，所成的角即為或其補(bǔ)角，，因?yàn)椴粸槎ㄖ?，所以不為定值，即異面直線，，所成的角不為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以即為二面角的平面角，則，所以，所以四面體為正四面體，如圖，補(bǔ)全正四面體為正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，則這個(gè)正方體外接球的半徑為，即四面體的外接球的半徑為，故D正確．【答案】ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．計(jì)算的結(jié)果為．【解析】，【答案】214．從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)相差為2的概率是．【解析】由題意可得：從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，共有6個(gè)基本事件，即，，，，，；而符合條件的共有，共2個(gè)，故所求概率為：【答案】15．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為．【解析】邊長(zhǎng)為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，則所得幾何體的側(cè)面積為：．【答案】16．已知，若存在，使得，的取值范圍是．【解析】當(dāng)時(shí)，則，，所以，，即，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以；當(dāng)，，所以，，所以，不存在，使得；當(dāng)時(shí)，則，，因?yàn)?，所以，所以，則，令，，，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，即，所以函?shù)在，上遞增，所以（1），即，，綜上所述，的取值范圍是，．【答案】，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，可得，可得，所以；（2）由（1）可得，令，，解得，，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，，．18．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，，求的值．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理，所以?9．（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）若，求的值；（2）若，時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，即，則，符合題意，又，即，即，即，即，解得；（2）因?yàn)椋栽诙x域上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在，恒成立，等價(jià)于在，上恒成立，即在，上恒成立，即，，恒成立，令，，，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，（3），所以，所以，即，；20．（12分）（身體質(zhì)量指數(shù)）是目前國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，其計(jì)算公式是：．在我國(guó)，成人的數(shù)值參考標(biāo)準(zhǔn)為：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．某大學(xué)為了解學(xué)生的身體肥胖情況，研究人員從學(xué)校的學(xué)生體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了60名男學(xué)生，40名女學(xué)生的身高體重?cái)?shù)據(jù)，計(jì)算出他（她們的，整理得到如圖的頻率分布表和頻率分布直方圖．同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，用樣本估計(jì)總體．分組頻數(shù)頻率，150.15，400.40，300.30，100.10，50.05合計(jì)1001.00（1）根據(jù)及頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生為肥胖的百分比；（2）已知樣本中60名男學(xué)生的平均數(shù)為，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本中40名女學(xué)生的平均數(shù)．解：（1）由頻率分布直方圖可知的頻率為，所以的頻率為：，所以估計(jì)該校學(xué)生為肥胖的百分比為；（2）樣本的的平均數(shù)為，則，解得：，所以估計(jì)樣本中40名女學(xué)生的平均數(shù)20.8．21．（12分）如圖，在四棱錐，底面為梯形，且，，等邊三角形所在的平面垂直于底面，．（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．證明：（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面，，，且，平面；如圖所示，連接，，過(guò)點(diǎn)，作，，分別與交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，，則，由（1）得平面，即為直線與平面所成角的平面角，平面，，則，解得：，故，且，即，解得，又，所以平面，，，且，即，解得，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)也為線段中點(diǎn)，所以，所以即為二面角的平面角，．22．（12分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且是偶函數(shù)，方程有兩相等實(shí)根．（1）求的解析式；（2）討論函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）設(shè)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以，又方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ，解得舍去），所以；（2）由（1）得，令，則，即，即，令，，則，故所求轉(zhuǎn)化為方程在實(shí)根的個(gè)數(shù)，令，，①