安徽省合肥市普通高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

合肥市普通高中聯(lián)盟20232024學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．請(qǐng)將答案寫在答題卡上．考試結(jié)束后，只交“答題卡”．第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出過兩點(diǎn)的直線的斜率，結(jié)合傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意得經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的斜率為，而直線傾斜角范圍為，故經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，故選：C2.已知向量，，則向量（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的加減運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.3.在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】利用等差公式下標(biāo)和性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，所以，即，解得.故選：B.4.如果直線與互相垂直，那么a的值等于（）A.－1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】直接利用直線垂直的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得.故選：C.5.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為O(0,0)，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓相交所得弦長(zhǎng)計(jì)算，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.大衍數(shù)列來源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則該數(shù)列第18項(xiàng)為A.200 B.162 C.144 D.128【答案】B【解析】【分析】由題意，首先猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解該數(shù)列第18項(xiàng)即可.【詳解】偶數(shù)項(xiàng)分別為2，8，18，32，50，即，，，，，即偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的第18項(xiàng)為第9個(gè)偶數(shù)即，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)列尋找偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．7.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴=（2，0，1），=（2，2，0），且為平面BB1D1D的一個(gè)法向量．∴．∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為考點(diǎn)：直線與平面所成的角8.如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A B. C. D.3【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得|是等邊三角形，即即，又∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，即解之得由此可得雙曲線C的離心率故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.滿足下列條件的數(shù)列是遞增數(shù)列的為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)與的大小關(guān)系判斷是否為遞增數(shù)列.【詳解】A．因?yàn)椋允沁f減數(shù)列；B．因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列；C．因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列；D．因?yàn)椋允沁f增數(shù)列；故選：BD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知數(shù)列，根據(jù)與的大小關(guān)系判斷的單調(diào)性：（1）若，則為遞增數(shù)列；（2）若，則為遞減數(shù)列；（3）若，則為常數(shù)列.10.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)B.直線在y軸上截距為1C.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為D.直線的傾斜角為120°【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，整理直線方程，合并出參數(shù)的系數(shù)，令其等于零，建立方程，可得答案；對(duì)于B，將代入直線方程，結(jié)合截距的定義，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)直線之間的垂直關(guān)系，設(shè)未知直線方程，代入點(diǎn)，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)直線的一般式方程，明確直線的斜率，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由直線方程，整理可得，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，將代入直線方程，可得，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由直線方程，則其垂線的方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入上式，可得，解得，則方程為，故C正確；對(duì)于D，由直線方程，可得其斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知曲線C：，則（）A.存在m，使C表示圓B.當(dāng)時(shí)，則C的漸近線方程為C.當(dāng)時(shí)，則C的焦點(diǎn)是，D.當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，則或【答案】AD【解析】【分析】由圓方程的特征得到，從而判斷A；利用雙曲線漸近線公式判斷B；由題意得，從而由橢圓方程特征得到焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而判斷C；由雙曲線方程的特征得到，從而判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，即時(shí)，為圓，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，顯然C的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，，則或，故D正確.故選：AD.12.如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).則（）A. B. C.平面ANMD D.BD與平面ANMD所在的角為30°【答案】CD【解析】【分析】通過反證法證明A，B錯(cuò)誤，通過線面垂直判定定理證明C正確，通過作出線面角求得D正確.【詳解】對(duì)A，若，又，則面，與底面ABCD矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則平面，則，在題中給出的直角梯形中，顯然不可能，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以平面ANMD，故C正確；對(duì)D，連接DN，因?yàn)槠矫鍭DMN，所以是BD與平面ADMN所成的角在中，，所以BD與平面ADMN所成的角為，故D正確；故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線垂直、線面垂直的證明、線面角的求解，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意準(zhǔn)確作出線面角，再?gòu)娜切沃羞M(jìn)行求解.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若，則的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可求向量的坐標(biāo).【詳解】為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則..故答案為：.14.已知拋物線上一點(diǎn)的距離到焦點(diǎn)的距離為5，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．【答案】【解析】【詳解】由拋物線定義得,即這點(diǎn)的坐標(biāo)為15.已知等差數(shù)列的公差，若成等比數(shù)列，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】由得,所以,故答案為：16.光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為________．【答案】【解析】【分析】求得直線與直線交點(diǎn)后，再求直線上一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，是本題的關(guān)鍵所在.【詳解】由得即直線與直線交點(diǎn)為在直線上取點(diǎn)設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則即則反射光線所在直線的方程為故答案為：四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，其中．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系式，分類討論與即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消求和法即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以，；【小問2詳解】因?yàn)椋?；所以，因?18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用表示向量；（2）求BM的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用空間向量基本定理用基底表示；（2）在第一問的基礎(chǔ)上運(yùn)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.【小問1詳解】【小問2詳解】，所以，則BM的長(zhǎng)為.19.已知雙曲線的漸近線方程為，且雙曲線C過點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意得，解方程組求出，從而可求得雙曲線C的方程，（2）將直線方程代入雙曲線方程中化簡(jiǎn)，然后二次項(xiàng)系數(shù)為零和二次項(xiàng)系數(shù)不為零，兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得，解得所以雙曲線方程為.【小問2詳解】由，得，由題意得，解得.當(dāng)，即時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以或.20.如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．（1）求證：BE∥平面DCF；（2）求點(diǎn)B到平面DCF的距離．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）通過證明平面ABE∥平面DFC即可得解；（2）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的計(jì)算可得解.【小問1詳解】證明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，∵平面ABE,平面ABE,∴平面ABE∥平面DFC，∵BE?平面ABE，∴BE∥平面DCF．【小問2詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，則△ADB∽△BCD?，∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，，．設(shè)平面DCF的法向量為，則，∴，令x＝1，y＝2，z＝0．∴.∴．∴B到平面DCF的距離為2．21.已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）首先由已知構(gòu)造得，從而能證明是等比數(shù)列.并能求出的通項(xiàng)公式.（2）由.利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列的前項(xiàng).【小問1詳解】∵數(shù)列滿足，，∴，又，∴是首項(xiàng)為，公比為3的等比