桿件的內(nèi)力、強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性-組合變形（建筑力學(xué)）

概述建筑力學(xué)組合變形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解受組合變形時(shí)構(gòu)件的受力和變形特點(diǎn)；2.掌握構(gòu)件受斜彎曲時(shí)的應(yīng)力與變形的分析與計(jì)算；3.掌握拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算；4.掌握偏心拉壓時(shí)構(gòu)件的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算；5.了解彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)構(gòu)件的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算；6.理解截面核心的概念及應(yīng)用。13.1概述13.1概述【引言】組合變形是兩種或兩種以上基本變形的組合。分析組合變形問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)疊加原理將外力進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸馀c簡(jiǎn)化。只要能將組合變形分解成幾種基本變形，便可應(yīng)用疊加原理來(lái)解決這類構(gòu)件在組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題。13.1概述一、什么是組合變形前文中分別討論了桿件在基本變形（拉、壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲）時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算。實(shí)際工程中不少構(gòu)件同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形。例如左圖為工業(yè)廠房的立柱，由于偏心外力不通過(guò)立柱的軸線，產(chǎn)生偏心彎矩，所以立柱的變形既有壓縮變形，又有彎曲變形；13.1概述如圖所示屋架上的檁條受鉛直方向荷載作用，由于荷載不是作用在檁條的兩個(gè)縱向?qū)ΨQ平面上，所以使檁條會(huì)在y和z兩個(gè)方向彎曲變形；13.1概述再如圖所示的煙囪，除由自重引起的軸向壓縮外，還有因水平方向的風(fēng)力作用而產(chǎn)生的彎曲變形。這類由兩種或兩種以上基本變形組合的情況，稱為組合變形。13.1概述二、如何計(jì)算組合變形分析組合變形時(shí)，假設(shè)構(gòu)件的變形在彈性范圍內(nèi)、小變形條件下，可以認(rèn)為組合變形中的每一種基本變形都是相互獨(dú)立、互不影響的，所以構(gòu)件可按其原始形狀和尺寸進(jìn)行汁算。計(jì)算時(shí)，先將外力進(jìn)行分解或簡(jiǎn)化，使每一種荷載只對(duì)應(yīng)著一種基本變形。分別計(jì)算每一種基本變形下發(fā)生的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，然后根據(jù)各基本變形單獨(dú)作用時(shí)引起的應(yīng)力與變形，利用疊加原理、強(qiáng)度理論進(jìn)行組合與疊加，最后進(jìn)行強(qiáng)度、剛度計(jì)算?！咀ⅰ咳绻麡?gòu)件的變形超出了線彈性范圍，或雖未超出彈性范圍但變形過(guò)大，而不能按其原始尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算，這時(shí)由于各基本變形之間相互影響，疊加原理不能使用。對(duì)于這類問(wèn)題本教材不做討論，讀者可參閱有關(guān)資料。13.4偏心壓縮與截面核心13.4偏心壓縮與截面核心13.4偏心壓縮與截面核心【引言】作用在桿件上的外力，當(dāng)其作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí)，桿件就受到偏心壓縮（或拉伸）。偏心壓拉是軸向壓縮（拉伸）與彎曲的組合變形，可以分為單向偏心與雙向偏心，是工程實(shí)際中常見(jiàn)的組合變形（右圖所示為單向偏心）?，F(xiàn)以矩形截面梁（柱）為例說(shuō)明其應(yīng)力分析的方法。13.4偏心壓縮與截面核心一、單向偏心壓縮（拉伸）當(dāng)偏心力F通過(guò)截面一根形心主軸時(shí)，則稱為單向偏心壓縮。如圖所示矩形截面桿，壓力F作用在y軸上的E點(diǎn)處，E點(diǎn)到形心O的距離e稱為偏心距。13.4偏心壓縮與截面核心1.荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算首先將偏心力F向截面形心平移，得到一個(gè)通過(guò)形心的軸向壓力F和一個(gè)力偶矩為Fe的力偶。運(yùn)用截面法可求得任意橫截面上的內(nèi)力為：軸力：FN

=F，（壓力）

彎矩：Mz=Fe。13.4偏心壓縮與截面核心2．應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度條件偏心受壓桿截面中任意一點(diǎn)處的應(yīng)力,可以由兩種基本變形各自在該點(diǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力疊加求得軸向壓縮時(shí)，截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力均相同，其值為平面彎曲時(shí)，截面上任意點(diǎn)處的應(yīng)力為13.4偏心壓縮與截面核心截面上各點(diǎn)處的總應(yīng)力為

=

/+

//

即：式中：A為橫截面面積；Iz為截面對(duì)z軸的慣性矩；y為所求點(diǎn)的坐標(biāo)13.4偏心壓縮與截面核心應(yīng)用式（13－8）計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，F(xiàn)、Mz、y都可用絕對(duì)值代入，式中彎曲正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)可由觀察變形情況來(lái)判定。當(dāng)點(diǎn)處于彎曲變形的受壓區(qū)時(shí)取負(fù)號(hào)；處于受拉區(qū)時(shí)取正號(hào)。截面上最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力（即最大壓應(yīng)力）分別發(fā)生在BC邊緣及AD邊緣上的各點(diǎn)處，其值為13.4偏心壓縮與截面核心由于截面上各點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，故強(qiáng)度條件為13.4偏心壓縮與截面核心3.對(duì)結(jié)論的討論當(dāng)偏心受壓柱是矩形截面時(shí)，A

=bh，Wz=bh2/6，Mz=Fe，將各值代入式（13－9）得13.4偏心壓縮與截面核心邊緣B－C上的正應(yīng)力σmax的正負(fù)號(hào)，由上式中的符號(hào)決定，可能出現(xiàn)三種情況：13.4偏心壓縮與截面核心當(dāng)e＜h/6時(shí)，σmax為壓應(yīng)力。截面全部受壓，如圖所示。當(dāng)e=h/6時(shí)，σmax為零。截面上應(yīng)力分布如圖所示，整個(gè)截面受壓，而邊緣B-C正應(yīng)力恰好為零。當(dāng)e＞h/6時(shí)，σmax為拉應(yīng)力。截面部分受拉，部分受壓。應(yīng)力分布如圖所示。可見(jiàn)，截面上應(yīng)力分布情況隨偏心距e而變化，與偏心力F的大小無(wú)關(guān)。當(dāng)偏心距e＞h/6時(shí)，截面上出現(xiàn)受拉區(qū)；當(dāng)偏心距e≤h/6時(shí)，截面全部受壓。13.4偏心壓縮與截面核心二、雙向偏心壓縮（拉伸）當(dāng)偏心壓力F的作用線與柱軸線平行，但不通過(guò)截面任一形心主軸時(shí)，稱為雙向偏心壓縮，如圖所示。13.4偏心壓縮與截面核心1.荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算設(shè)壓力F至z軸的偏心距為ey，到y(tǒng)軸的偏心距為ez。先將壓力F平移到z軸上，產(chǎn)生附加力偶矩Mz=Fey，再將力F從z軸上平移到截面的形心，又產(chǎn)生附加力偶矩My=Fez。偏心力經(jīng)過(guò)兩次平移后，得到軸向壓力F和兩個(gè)力偶Mz、My，可見(jiàn)，雙向偏心壓縮就是軸向壓縮和兩個(gè)相互垂直的平面彎曲的組合。13.4偏心壓縮與截面核心由截面法可求得任一橫截面上的內(nèi)力為：軸向壓力：FN

=F；F對(duì)z軸的力偶矩引起對(duì)z軸的彎矩：Mz=Fey；F對(duì)y軸的力偶矩引起對(duì)y軸的彎矩：My=

Fez。13.4偏心壓縮與截面核心2.應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度條件橫截面上任一點(diǎn)（y、z）處的應(yīng)力為應(yīng)為三部分應(yīng)力的疊加軸向壓力F引起的應(yīng)力為Mz引起的應(yīng)力為My引起的應(yīng)力為13.4偏心壓縮與截面核心疊加以上結(jié)果可得截面上任一點(diǎn)處的應(yīng)力為即：彎矩引起的應(yīng)力

//及

///的正負(fù)，仍然可根據(jù)及的轉(zhuǎn)向和所求點(diǎn)的位置決定。截面上應(yīng)力的正負(fù)情況如圖所示。13.4偏心壓縮與截面核心最大正應(yīng)力在A點(diǎn)處，最小正應(yīng)力在C點(diǎn)處，其值為由于危險(xiǎn)點(diǎn)A、C都處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以強(qiáng)度條件為13.4偏心壓縮與截面核心比較可知，前面分析單向偏心受壓所得的公式（13－9）、（13－10）式實(shí)際上是（13－13）及（13－14）式的特殊情況：壓力作用在端截面的一根形心主軸上，其中一個(gè)偏心距為零。13.4偏心壓縮與截面核心例13-4

如圖所示矩形截面柱，柱頂有屋架傳來(lái)的壓力F1=100kN，牛腿上承受吊車梁傳來(lái)的壓力F2=30kN與柱軸有一偏心距e

=0.2m?，F(xiàn)已知柱寬b

=180mm，試問(wèn)截面高度h為多大時(shí)才不會(huì)使截面上產(chǎn)生拉應(yīng)力？在所選h尺寸下，柱截面中的最大壓應(yīng)力為多少？13.4偏心壓縮與截面核心解：將作用力向截面形心O簡(jiǎn)化，得軸向力F=F1+F2=130kN對(duì)z軸的力偶矩Mz=F2e

=30kN×0.2m=6kN·m要使截面上不產(chǎn)生拉應(yīng)力，應(yīng)滿足：即：解得：h≥0.28m，此時(shí)截面中的最大壓應(yīng)力為13.4偏心壓縮與截面核心例13-5

擋土墻的橫截面形狀和尺寸如圖如示，C點(diǎn)為其形心。土壤對(duì)墻的側(cè)壓力每米長(zhǎng)為F=30kN，作用在離底面h/3處，方向水平向左。擋土墻材料的密度ρ為2.3×103kg/m3。試畫出基礎(chǔ)面m-n上的應(yīng)力分布圖。13.4偏心壓縮與截面核心解：（1）內(nèi)力計(jì)算。擋土墻很長(zhǎng)，且是等截面的，通常取1m長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算。每1m長(zhǎng)墻自重為土壤側(cè)壓力為：F=30kN用截面法求得基礎(chǔ)面的內(nèi)力為：軸力：FN=G=103.5kN

13.4偏心壓縮與截面核心（2）應(yīng)力計(jì)算基礎(chǔ)底面的面積A=b2×1m=2m×1m=2m2=2×106mm2抗彎截面系數(shù)

基礎(chǔ)面m-m邊上的應(yīng)力為n-n邊上的應(yīng)力為?；A(chǔ)面應(yīng)力分布如圖所示。13.4偏心壓縮與截面核心三、截面核心1．截面核心的概念在前面的研究中，我們知道，偏心受壓桿件截面中是否出現(xiàn)拉應(yīng)力與偏心距的大小有關(guān)。當(dāng)外力作用在截面形心附近的某一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)使中性軸在橫截面邊緣以外，桿件整個(gè)截面上正應(yīng)力全部為壓應(yīng)力而不出現(xiàn)拉應(yīng)力，則形心附近的這個(gè)外力作用區(qū)域稱為截面核心。土建工程中大量使用的磚、石、混凝土材料，其抗拉能力遠(yuǎn)低于抗壓能力，主要用作承壓構(gòu)件。這類構(gòu)件在偏心壓力作用下，應(yīng)力求使全截面上只出現(xiàn)壓應(yīng)力而不出現(xiàn)拉應(yīng)力，為此，就需將外力F作用點(diǎn)控制在截面核心內(nèi)。13.4偏心壓縮與截面核心2．截面核心的確定我們知道，中性軸將截面分為兩個(gè)區(qū)域：一邊是拉應(yīng)力區(qū)，一邊是壓應(yīng)力區(qū)。倘若中性軸位置正好與截面的輪廓線相重合，則截面全部處在中性軸一邊，整個(gè)截面上只有一種符號(hào)的應(yīng)力。據(jù)此，可用以確定的核心的位置。若設(shè)中性軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為y0、z0，由偏心受壓時(shí)截面上任意點(diǎn)處的應(yīng)力計(jì)算式：所以有13.4偏心壓縮與截面核心在上式中，ey、y0（ez、z0）同號(hào)時(shí)，應(yīng)力為負(fù)，所以中性軸與偏心距一定處于形心的兩側(cè)，而且中性軸的位置與外力大小無(wú)關(guān)，只與力作用點(diǎn)的位置及截面形狀、尺寸有關(guān)。因此有由此得中性軸方程式（13－15）是一個(gè)直線的截距式方程，表明中性軸是一根不通過(guò)形心的直線。在形心主軸z及y上的截距分別為13.4偏心壓縮與截面核心中性軸在形心主軸z及y上的截距分別為如果讓中性軸與截面的某條輪廓線相重合，使截面內(nèi)只產(chǎn)生一種符號(hào)的應(yīng)力，由（13－16）式可以確定此時(shí)外力作用點(diǎn)的位置（即偏心距）為13.4偏心壓縮與截面核心再讓中性軸與截面各條輪廓線一一重合，便可得到截面上只產(chǎn)生一種符號(hào)的應(yīng)力時(shí)外力作用點(diǎn)的軌跡，即截面核心的輪廓。例13-6求如圖所示矩形截面的截面核心。13.4偏心壓縮與截面核心解：（1）計(jì)算有關(guān)參數(shù)（2）將AB

邊作為中性軸I-I

，從圖中可得，其截距為

13.4偏心壓縮與截面核心代入（13-17）式，得到力的作用點(diǎn)1的坐標(biāo)為：從而可在截面上定出點(diǎn)1位置13.4偏心壓縮與截面核心再以AD邊作為中性軸II-II，其截距為代入(13－17)式，得到力作用點(diǎn)2的坐標(biāo)：類似地以CD、BC為中性軸,可分別得3、4點(diǎn)坐標(biāo)。

13.4偏心壓縮與截面核心中性軸由Ⅰ-Ⅰ繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到時(shí)Ⅱ-Ⅱ，力的作用點(diǎn)將沿直線從1點(diǎn)移到2點(diǎn)。這可以從中性軸方程（13－15）式看出：當(dāng)中性軸繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，各條中性軸上都含A點(diǎn)坐標(biāo)（y0=yA，z0=zA），將它代入（13－16）式，得到力作用點(diǎn)的變化規(guī)律為式中yA、zA為不變量，所以ey與ez間成線性關(guān)系。因此，將前面所得各點(diǎn)間依次聯(lián)成直線，便得整個(gè)截面核心的圖形。13.4偏心壓縮與截面核心如圖所示為一些圖形的截面核心。13.4偏心壓縮與截面核心確定截面核心的步驟如下：（1）以截面外凸邊界為作中性軸，將截距代入（13－17）式，求得截面核心圖形的角點(diǎn)；（2）連接相鄰角點(diǎn)，便到得截面核心圖形。另外，在確定截面核心時(shí)須注意，對(duì)周邊有凹進(jìn)部分的截面，如工字形、槽形、T形等，不能將凹進(jìn)部分的邊界取作中性軸，因?yàn)檫@種線穿過(guò)截面，將截面分為拉、壓兩個(gè)區(qū)域。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形是機(jī)械工程中最常見(jiàn)的情況。機(jī)器中的大多數(shù)轉(zhuǎn)軸都是以彎曲與扭組合的方式工作的?，F(xiàn)以如圖所示曲拐中的AB段圓桿為例，介紹彎曲與扭轉(zhuǎn)組合時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算方法。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合將外力F向截面B形心簡(jiǎn)化，得AB段計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b所示。橫向力F使軸發(fā)生平面彎曲，而力偶矩為Me=Fa的力偶使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)。其彎矩圖和扭矩圖如圖所示。可見(jiàn)，危險(xiǎn)截面在固定端A，其上的內(nèi)力為：

彎矩M=Fl，扭矩Mn=Me=Fa13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合根據(jù)前面章節(jié)的討論,可得截面A的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的分布圖,如圖所示,可以看出,點(diǎn)C1和C2為危險(xiǎn)點(diǎn),點(diǎn)C1的單元體如圖所示,由應(yīng)力計(jì)算公式得點(diǎn)C1的正應(yīng)力與剪應(yīng)力為

式中Wz=

d3/32，WP=

d3/16，分別是圓軸的抗彎和抗扭截面系數(shù)。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合危險(xiǎn)點(diǎn)Cl或C2處于二向應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力為對(duì)塑性材料，采用第三或第四強(qiáng)理論。若按第三強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件為：

將式(13－19)代入上式，得：將式(13－18)中的

和

代入上式（13－20），并注意到圓截面的參數(shù)WP=2Wz，于是可得出圓桿的彎扭組合變形下的強(qiáng)度條件為：13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合若按第四強(qiáng)度理論，其強(qiáng)度條件為：將式(13－19)代入上式，經(jīng)簡(jiǎn)化后得：再以式(13－18)代入上式，即得到按第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為式中，Wz為圓截面桿的抗彎截面系數(shù)。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合例13-7如圖所示為一鋼制實(shí)心圓軸，軸上齒輪的受力如圖所示。齒輪C的節(jié)圓直徑dC=500mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=300mm。許用應(yīng)力[

]=100Mpa，試按第四強(qiáng)度理論計(jì)算軸的直徑。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合解：先將齒輪上的外力向AB的軸線簡(jiǎn)化，得到如圖所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。根據(jù)軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖,分別作出軸的扭矩圖Mn圖、垂直平面內(nèi)的彎矩My圖和水平面內(nèi)的彎矩Mz圖。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合對(duì)于圓軸，因?yàn)橥ㄟ^(guò)圓心的任何直徑都是形心主軸，所以圓軸在兩個(gè)方向彎曲時(shí)可以直接求其合成彎矩，即對(duì)于C截面對(duì)于B截面

由于BCD段軸上的扭矩相同，所以截面B是危險(xiǎn)截面。13.5彎曲與扭轉(zhuǎn)組合由第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件式（13－23）可知將Wz=

d3/32代入上式，得【討論】從該例可知，對(duì)于彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的桿件，在進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，可以直接用式(13-21)和式(13-23)，所以主要工作量是確定各截面上的彎矩和扭矩。組合變形小結(jié)組合變形小結(jié)1．疊加原理成立的條件：（l）材料的應(yīng)力-應(yīng)變之間保持線性關(guān)系。（2）構(gòu)件必須是產(chǎn)生小變形，且每一種荷載作用下桿件的變形不會(huì)影響其他荷載作用時(shí)桿件所產(chǎn)生的內(nèi)力。2．構(gòu)件受組合變形時(shí)，其強(qiáng)度問(wèn)題的解決步驟是：（1）將外力向截面形心簡(jiǎn)化，分解為幾種基本變形。（2）根據(jù)所給各基本變形的內(nèi)力圖，判斷可能的危險(xiǎn)截面，并確定危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力分量。（3）根據(jù)危險(xiǎn)截面上與各內(nèi)力分量的應(yīng)力分布．判斷危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。（4）計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)處各基本變形產(chǎn)生的應(yīng)力，如為單向應(yīng)力狀態(tài)即進(jìn)行疊加，如為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)則應(yīng)按照強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。組合變形小結(jié)3．熟練掌握桿件在拉（壓）、彎曲組合與偏心壓縮清況下的應(yīng)力分析及強(qiáng)度計(jì)算，由于危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以可使用單向拉（壓）時(shí)的強(qiáng)度條件。即組合變形小結(jié)4．圓軸受彎曲、扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)，危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，故強(qiáng)度條件(塑性材料)為按照第三強(qiáng)度理論：按照第四強(qiáng)度理論：13.2斜彎曲13.2斜彎曲13.2斜彎曲中曾介紹，如果構(gòu)件有一縱向?qū)ΨQ平面，當(dāng)橫向外力作用于這一對(duì)稱面內(nèi)時(shí)，構(gòu)件在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。但是，在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，作用于梁上的橫向力有時(shí)并不在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。如圖所示，屋面桁條傾斜地放置于屋頂桁架上，所受外力不在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，此時(shí)構(gòu)件就要發(fā)生斜彎曲。13.2斜彎曲為了說(shuō)明問(wèn)題，以矩形截面懸臂梁為例，介紹斜彎曲的應(yīng)力和變形的分析方法。設(shè)外力F作用于梁自由端，過(guò)形心且與y軸夾角為

。取Oxyz坐標(biāo)系如圖所示。將F向兩個(gè)形心主軸方向分解，其分量分別為

Fy=Fcos

，F(xiàn)z=Fsin

由圖知，F(xiàn)y將使梁在xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲；而Fz則使梁在xz面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。所以，構(gòu)件在F作用下，將產(chǎn)生兩個(gè)平面彎曲的組合變形。13.2斜彎曲一、內(nèi)力的換算在距自由端為x的橫截面m-m上，兩個(gè)分力Fy和Fz所引起的彎矩值分別為其中M=F·x，它表示力F對(duì)截面m-m所引起的總彎矩13.2斜彎曲二、應(yīng)力分析如圖13-4a、b所示，距自由端為x的橫截面m-m上任意點(diǎn)處（坐標(biāo)為y、z），由Mz和My所引起的正應(yīng)力分別為它們?cè)诮孛嫔系姆植既鐖D所示。σ/、σ//在截面上各區(qū)間的正負(fù)號(hào)如圖所示。13.2斜彎曲由疊加原理可知m-m截面上任意點(diǎn)處的總應(yīng)力應(yīng)是σ/和σ//疊加，即式中Iy、Iz分別橫截面對(duì)形心主軸z和y的慣性矩；y、z則表示計(jì)算截面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)值。應(yīng)用上式計(jì)算任意一點(diǎn)處的應(yīng)力時(shí),應(yīng)將該點(diǎn)的坐標(biāo),連同符號(hào)代入,便可得該點(diǎn)應(yīng)力的代數(shù)值。也可通過(guò)平面彎曲的變形情況直接判斷正應(yīng)力σ的正負(fù)號(hào)。正值和負(fù)值分別表示拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。13.2斜彎曲由式（13-2）可見(jiàn)，應(yīng)力σ是坐標(biāo)y、z的線性函數(shù)，所以它是一個(gè)平面方程。正應(yīng)力σ在橫截面上的分布規(guī)律可用一傾斜平面表示（如圖）。斜平面與橫截面的交線就是中性軸，它是橫截面上正應(yīng)力等于零的各點(diǎn)的連線，這條連線也稱為零線。零線在危險(xiǎn)截面上的位置可由應(yīng)力σ=0的條件確定，即：即有：所以：13.2斜彎曲式中的y0、z0為中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)y0=0、z0

=0代入時(shí)，方程可以滿足，由此可知，零線是一條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線。它與y軸的夾角為只有當(dāng)Iz=Iy，tan

=-tan

。可見(jiàn)，零線與力的作用線不垂直。13.2斜彎曲為了進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，必須找出構(gòu)件上的危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)?？梢?jiàn)，對(duì)前圖所示懸臂梁，固定端就是危險(xiǎn)截面，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)A和C就是危險(xiǎn)點(diǎn)。其中A有最大拉應(yīng)力，C有最大壓應(yīng)力。其應(yīng)力的絕對(duì)值為【注】斜彎曲時(shí)，梁內(nèi)剪應(yīng)力很小，通常不予計(jì)算。13.2斜彎曲三、強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算,首先要確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。對(duì)于前圖所示的懸臂梁,固定端截面的彎矩值最大,是危險(xiǎn)截面。對(duì)矩形、工字形等具有兩個(gè)對(duì)稱軸及棱角的截面，最大正應(yīng)力必定發(fā)生在角點(diǎn)上。將角點(diǎn)坐標(biāo)代入式（13－2）式便可求得任意截面上的最大正應(yīng)力值。若材料的抗拉和抗壓強(qiáng)度相等，則斜彎曲的強(qiáng)度條件為13.2斜彎曲公式（13－3）根據(jù)這一強(qiáng)度條件，同樣可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可荷載。但是，在設(shè)計(jì)截面尺寸時(shí)，要遇到Wz和Wy兩個(gè)未知量，可以先假設(shè)一個(gè)的比值，再根據(jù)強(qiáng)度條件式（13－3）計(jì)算出桿件所需的Wz值，從而確定截面的尺寸及計(jì)算出Wy值，再按式（13－3）進(jìn)行強(qiáng)度校核。

通常對(duì)矩形截面取,對(duì)工字形截面取對(duì)槽形截面取。13.2斜彎曲四、變形的分析自由端因Fy所引起的撓度為fy

，因Fz所引起的撓度為fz

由疊加原理，自由端的總撓度是兩個(gè)方向撓度的矢量和，即

13.2斜彎曲若總撓度f(wàn)與y軸的夾角為

，則從上式可見(jiàn)，對(duì)于Iy

Iz的截面，

。這說(shuō)明變形后梁的撓曲線與集中力F不在同一縱向平面內(nèi)，故稱為斜彎曲，如圖所示。13.2斜彎曲式（13－5）有些截面，如圓形或方形截面，其Iy

=Iz，則有

=

，表明撓曲線與集中力F仍在同一縱向平面內(nèi)，仍然是平面彎曲。13.2斜彎曲例13-1

如圖所示，屋架上的木檁條采用100mm×140mm的矩形截面，跨度l=4m，簡(jiǎn)支在屋架上，承受屋面荷載q=1kN/m（包括檁條自重）。木材的許用拉應(yīng)力[σ]=10MPa，試驗(yàn)算檁條強(qiáng)度。13.2斜彎曲解：據(jù)題意將檁條簡(jiǎn)化為一簡(jiǎn)支梁，其最大彎矩發(fā)生在跨中點(diǎn)截面：由截面尺寸算得13.2斜彎曲由Mmax的方向可判別出，截面下邊緣的C點(diǎn)處拉應(yīng)力最大所以檁條滿足強(qiáng)度要求。13.2斜彎曲例13-2

如圖所示吊車梁由工字鋼制成，材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa，l=4m，F(xiàn)=30kN，現(xiàn)因某種原因使F偏離縱向?qū)ΨQ面，與y軸的夾角

=5°。試選擇工字鋼的型號(hào)。13.2斜彎曲解：（1）荷載分解和內(nèi)力計(jì)算吊車荷載F位于梁跨中時(shí),吊車梁處于最不利的受力狀態(tài),梁的跨中截面彎矩最大,是危險(xiǎn)截面。先將荷載F沿y、z軸分解，得13.2斜彎曲由Fy引起在Oxy平面內(nèi)的平面彎曲，中性軸為z軸?？缰械淖畲髲澗貫橛蒄z引起在Oxz平面內(nèi)的平面彎曲，中性軸為y軸，跨中的最大彎矩為（2）選擇截面。先設(shè)Wz/Wy=8，將強(qiáng)度條件式（13－3）變換為13.2斜彎曲所以查型鋼表，選取用22b工字鋼，其相關(guān)數(shù)據(jù)Wz=325cm3=325×103mm3，Wy=42.7cm3=42.7×103mm3。(3)強(qiáng)度校核按選用的型號(hào)，根據(jù)強(qiáng)度條件式（13－3）進(jìn)行校核。所以選用22b工字鋼是合適的。13.3壓縮(拉伸)與彎曲組合13.3壓縮(拉伸)與彎曲