靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析-三鉸拱（建筑力學(xué)）

靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析一、概述拱是桿軸線為曲線并且在豎向荷載作用下會產(chǎn)生水平推力的結(jié)構(gòu)。常見拱的形式有三鉸拱、兩鉸拱和無鉸拱，如圖10-12所示。三鉸拱是靜定的，而后兩種拱是超靜定的。在豎向荷載作用下是否產(chǎn)生水平推力是區(qū)別梁與拱的主要標志。如圖10-13（a）所示，雖然結(jié)構(gòu)的軸線是曲線，但在豎向荷載作用下，支座并不產(chǎn)生水平反力，所以它不是拱式結(jié)構(gòu)，而是梁式結(jié)構(gòu)，通常稱為曲梁。由于水平推力的存在，拱的各個截面彎矩比相應(yīng)的簡支梁彎矩要小得多，以承受壓力為主。因此，拱比梁更適用于大跨度的結(jié)構(gòu)。拱的

三鉸拱靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析優(yōu)點就是能充分發(fā)揮材料的抗壓強度，所以可采用抗壓性能較好的磚、石等廉價材料，廣泛應(yīng)用于水利工程、房屋建筑和橋梁工程中。但拱結(jié)構(gòu)也有缺點，如拱曲線外形增加施工難度；拱對基礎(chǔ)作用的水平推力要求具有比較堅固的基礎(chǔ)。為了減輕基礎(chǔ)的推力影響，可在拱的兩支座間設(shè)置拉桿，如圖10-13(b)所示的結(jié)構(gòu)，在豎向荷載作用下，拉桿將產(chǎn)生拉力，代替支座承受的水平推力，這種形式稱為帶拉桿的拱。拱的各部分名稱如圖10-13（c）所示。其中，拱的兩端支座稱為拱趾，兩拱趾之間的水平距離稱為拱的跨度，拱軸線上的最高點稱為拱頂，拱頂?shù)絻晒爸核骄€的豎向距離稱為拱高。拱高與跨度之比f/l稱為高跨比。靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析三、合理拱軸線在給定的荷載作用下，使拱上所有截面的彎矩為零而只有軸力的軸線，稱為合理拱軸線。由于只有軸力作用，截面上的正應(yīng)力是均勻分布的，材料能得到充分的利用，相應(yīng)的拱截面尺寸最小。合理拱軸線可根據(jù)各截面彎矩為零的條件來確定。在豎向荷載作用下，三鉸拱合理拱軸線方程由下式求得

M=M0-Fxy=0

由此，得y=M0/Fx（10-3）式(10-3)表明，在給定的豎向荷載作用下，三鉸拱合理拱軸線的豎標y與相應(yīng)簡支梁的彎矩成正比。當拱所受的荷載已知時，只要先求出相應(yīng)簡支梁的彎矩方程式，然后除以水平推力，便可得到合理拱軸線方程式。靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析二、三鉸拱的計算在此僅討論在豎向荷載作用下，對稱的三鉸平拱支座反力和內(nèi)力的計算方法。（一）支座反力計算如圖10-14（a）所示三鉸拱。由整體平衡方程可求出支座反力FAy、FBy的值以及FAx和FBx的關(guān)系，再取半跨拱結(jié)構(gòu)對C鉸取矩，利用平衡方程∑MC=0,即可解出FAx和FBx的值。（1）取整體，由平衡條件∑MB=0FAy=（F1b1+F2b2）/l（a）∑MA=0FBy=（F1a1+F2a2）/l

（b）∑Fx=0FAx=FBx=Fx（2）取左半邊拱，由平衡方程∑MC=0FAx=1/f[FAy×l/2-F1×（l/2-a1）]（c）為了便于比較，取與三鉸拱同跨度、同荷載的相應(yīng)簡支梁，稱為代梁，如圖10-14(b)所示，其內(nèi)力和反力的右上角加零以示區(qū)別。由梁的平衡條件可得：，即拱的豎向支座反力與代梁的豎向支座反力相同。而代梁截面C的彎矩。所以，三鉸拱支座反力的計算公式可歸納為

（10-1）由式（10-1）可知，水平推力只與荷載及三鉸的位置有關(guān)，而與拱軸線的形狀無關(guān)，當荷載與拱跨不變時，水平推力Fx的大小與拱高f成反比，拱越扁平，F(xiàn)x值越大。（二）內(nèi)力計算三鉸拱任一截面上的內(nèi)力有彎矩、剪力和軸力。內(nèi)力正負號的規(guī)定：彎矩以使拱內(nèi)側(cè)受拉為正，反之為負；剪力與梁的正負號規(guī)定相同；由于拱以受壓為主，故規(guī)定軸力以受壓為正。內(nèi)力計算的方法用截面法或直接法。拱上任一截面k的位置可用截面形心的坐標（xk,yk）和截面處拱軸線切線與水平線的夾角φk來表示。當截面在左半拱時，φ取正值；在右半拱時，φ取負值。以上幾何參數(shù)可由拱軸線方程y=f(x)及其導(dǎo)數(shù)dy/dx=tanφ求出。如圖10-15（a）所示，求任一橫截面k的內(nèi)力，可取如圖10-15（b）所示的脫離體。1.彎矩計算由∑Mk=0Mk=［FAyx-F1(x-a)］-FAxy

由于FAy=，而相應(yīng)簡支梁圖10-15（c）中截面k的彎矩=FAyx-F1(x-a)，故可得拱截面k的彎矩計算公式

Mk=-FAxy（a）即拱內(nèi)任一截面的彎矩M等于相應(yīng)簡支梁對應(yīng)截面的彎矩M0減去推力所引起的彎矩FAxy。說明由于推力的存在，拱的彎矩比同荷載作用同跨度的梁要小。2.剪力計算由于任一截面k的剪力Q等于該截面一側(cè)所有外力在該截面切線方向上的投影代數(shù)和，由圖10-15（b）可得Qk=FAycosφk-F1cosφk-Fxsinφk=(FAy-F1)cosφk-Fxsinφk即Qk=cosφk-Fxsinφk

（b）式中，=FAy-F1，為相應(yīng)簡支梁k截面的剪力。3.軸力計算應(yīng)用直接法，任一截面k的軸力等于該截面一側(cè)所有外力在該截面軸線方向上的投影代數(shù)和。由圖10-15（b）可得

Nk=(FAy-F1)sinφk+Fxcosφk即Nk=sinφk+Fxcosφk（c）綜上所述，三鉸拱在豎向荷載作用下的內(nèi)力計算公式可寫為