概率、隨機(jī)變量及其分布列 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題

概率、隨機(jī)變量及其分布列考情預(yù)覽

明確考向1.[古典概型](2023·全國(guó)甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為(

)√2.[條件概率](2023·全國(guó)甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4√3.[相互獨(dú)立事件](2022·全國(guó)乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則(

)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大√解析:法一設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為p甲,在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為p乙,在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為p丙,由題意可知,p甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,p乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,p丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以p丙-p甲=2p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=2p1(p3-p2)>0,所以p丙最大.故選D.法二(特殊值法)不妨設(shè)p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,則該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率p乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率p丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以p丙最大.故選D.5.[隨機(jī)變量的分布列、均值與方差](2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;解:(1)甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,可以得到兩個(gè)學(xué)校每場(chǎng)比賽獲勝的概率如表.第一場(chǎng)比賽第二場(chǎng)比賽第三場(chǎng)比賽甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2甲學(xué)校要獲得冠軍,需要在3場(chǎng)比賽中至少獲勝2場(chǎng),①甲學(xué)校3場(chǎng)全勝,概率為P1=0.5×0.4×0.8=0.16;②甲學(xué)校獲勝2場(chǎng)敗1場(chǎng),概率為P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44.所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P=P1+P2=0.6.(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.解:(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,則X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.考法聚焦講練突破熱點(diǎn)一相互獨(dú)立事件、古典概型典例1

(1)(2023·全國(guó)乙卷)某學(xué)校舉辦作文比賽,共6個(gè)主題,每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為(

)√√(1)求古典概型的概率關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí).求解時(shí)要注意兩點(diǎn):①對(duì)于較復(fù)雜的題目,列出事件數(shù)時(shí)要正確分類,分類時(shí)要做到不重不漏;②當(dāng)直接求解有困難時(shí),可考慮求其對(duì)立事件的概率.(2)求相互獨(dú)立事件的概率的兩種方法①直接法:正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題,然后用相應(yīng)概率公式求解.②間接法:當(dāng)復(fù)雜事件正面情況較多,反面情況較少時(shí),可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解,“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解.√√熱點(diǎn)二條件概率與全概率公式典例2

(1)(2023·安徽淮南統(tǒng)考一模)某周末,甲、乙兩名市民準(zhǔn)備從A,B,C,D4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩,記事件M:甲和乙至少一人選擇B,事件N:甲和乙選擇的景點(diǎn)不同,則P(N|M)等于(

)√(2)(2023·湖南校聯(lián)考二模)人群中患肺癌的概率約為0.1%,在人群中有15%是吸煙者,他們患肺癌的概率約為0.5%,則不吸煙者中患肺癌的概率是

.(用分?jǐn)?shù)表示)

應(yīng)用全概率公式求概率的步驟(1)根據(jù)題意找出完備事件組,即滿足全概率公式的Ω的一個(gè)劃分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)來表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.熱點(diǎn)訓(xùn)練2

(1)(2023·重慶沙坪壩區(qū)模擬)某區(qū)有A,B兩所學(xué)校,其中A校有男教師10人,女教師5人,B校有男教師3人,女教師6人.為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,實(shí)現(xiàn)教育資源的優(yōu)化和均衡,決定從A校隨機(jī)抽一名教師調(diào)到B校,然后在B校的10名教師中隨機(jī)抽一名教師去培訓(xùn)學(xué)習(xí).在從B校抽出來的參與培訓(xùn)學(xué)習(xí)的為男教師的條件下,從A校調(diào)到B校的教師為女教師的概率是(

)√√熱點(diǎn)三隨機(jī)變量的分布列、均值與方差(3)正態(tài)分布解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)①對(duì)稱軸x=μ.②樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ.③分布區(qū)間:利用3σ原則求概率時(shí),要注意利用μ,σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為與之有關(guān)的特殊區(qū)間.考向1二項(xiàng)分布典例3為了加強(qiáng)食品安全監(jiān)管,某縣市場(chǎng)監(jiān)管局計(jì)劃添購一批食品檢測(cè)儀器,符合這次采購要求的檢測(cè)儀器只有甲、乙兩種型號(hào),該縣市場(chǎng)監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表所示.使用年限1年2年3年4年合計(jì)甲型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái)287320乙型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái)396220以頻率估計(jì)概率.(1)從以往使用的甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器中各隨機(jī)抽取一臺(tái),求甲型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限比乙型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限恰好多1年的概率;(2)若該縣市場(chǎng)監(jiān)管局購買甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器各2臺(tái),記2年后仍可使用的檢測(cè)儀器的臺(tái)數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值.所以ξ的分布列為考向2超幾何分布典例4

(2023·陜西銅川校考一模)某品牌手機(jī)廠為了更好地提升手機(jī)的性能,進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷滿分為100分,現(xiàn)從中選出具有代表性的50份調(diào)查問卷加以研究.現(xiàn)將這50份問卷按成績(jī)分成如下五組:第一組[0,20),3份;第二組[20,40),8份;第三組[40,60);第四組[60,80);第五組[80,100],4份.已知其中得分高于60分的問卷份數(shù)為20.(1)在第二組與第四組問卷中任取兩份,求這兩份問卷成績(jī)分差不低于20分的概率;(2)如果在這50份調(diào)查問卷中隨機(jī)取4份,其中及格份數(shù)記為隨機(jī)變量X,寫出X的分布列(結(jié)果只要求用組合數(shù)表示),并求出數(shù)學(xué)期望E(X).X的分布列為考向3正態(tài)分布典例5

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;解:(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,故X～B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=16×0.0026=0.0416.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;解:(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)超幾何分布的應(yīng)用條件:①考察對(duì)象分兩類;②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù);③從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.(2)利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題,涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,及曲線與x軸之間的面積為1,注意下面三個(gè)結(jié)論的靈活運(yùn)用:①對(duì)任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).②P(X<x0)=1-P(X≥x0).③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).熱點(diǎn)訓(xùn)練3

(1)(2023·山東臨沂統(tǒng)考一模)某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí),發(fā)現(xiàn)株高(單位:cm)服從正態(tài)分布N(100,102),若測(cè)量10000株水稻,株高在[80,90)的約有

株.(若X～N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)

1359(2)(2023·山東棗莊模擬)已知有一道四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題,某同學(xué)知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng).但根據(jù)得分規(guī)則:全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.這樣,他在做多項(xiàng)選擇題時(shí),可能選擇一個(gè)選項(xiàng),也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng),但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng).(3)據(jù)調(diào)查,目前對(duì)于已經(jīng)近視的小學(xué)生,有兩種佩戴眼鏡的方式可供選擇,一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡;另一種是佩戴角膜塑形鏡.A市從當(dāng)?shù)匦W(xué)生中隨機(jī)抽取容量為100的樣本,其中因近視佩戴眼鏡的有24人(其中佩戴角膜塑形鏡的8人中,2名是男生,6名是女生).①若從樣本中