2023-2024學(xué)年湖北省黃岡市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖北省黃岡市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線/：(“+l)x-3ay+“+4=0與V軸垂直，則。為()

A.-1B.0C.-4D.-1或0

【正確答案】A

【分析】由直線與V軸垂直得到方程和不等式，求出。的值.

【詳解】因為/：(a+l)x-3砂+。+4=0與y軸垂直，

所以直線/的斜率為0,

所以a+1=0,且—3a二0,解得a=—1.

故選：A.

2.已知等比數(shù)列｛對｝的前"項和為，，$2=4,且邑=4%+q，則S$=()

A.40B.120C.121D.363

【正確答案】C

【分析】由題目條件求出公比和首項，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.

【詳解】設(shè)公比為夕,由53=402+。1,可得4+%+%=4%+。1，

所以%=3%，所以4=2=3,

a2

由S2=4,可得％+/夕=4,即4%=4,所以4=1,

4(1-01-35

所以§5==121.

1-4

故選：C.

3.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了李生素數(shù)(注：素數(shù)也叫做質(zhì)數(shù))猜想的一個弱化形式,

攣生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素

數(shù)P使得P+2是素數(shù)，素數(shù)對(p,p+2)稱為攣生素數(shù).從10以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能

構(gòu)成攣生素數(shù)的概率為()

1112

A.6-B.3-2-D.3-

【正確答案】B

【分析】列舉出10以內(nèi)的素數(shù)，以及任取兩個不同的素數(shù)構(gòu)成的數(shù)對，確定攣生素數(shù)的個

數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】10以內(nèi)的素數(shù)有2、3、5、7,

任取兩個不同的素數(shù)有（2,3）、（2,5）、（2,7）、（3,5）、（3,7）、（5,7）,共6個，

71

其中攣生素數(shù)有（3,5）、（5,7）,共2個，故所求概率為尸

故選：B.

4.如圖，已知空間四邊形O/8C,M,N分別是邊OZ,8c的中點，點G滿足話=2麗,

設(shè)總=不，礪=B，oc^c＜貝|J5S=（）

O

1111

一

1--一--

C力-D4hC

6-66-6-6-

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運算一步步將向量加化為關(guān)于萬，OB，0C，即可整理得出答

案.

【詳解】而=而+礪=上為礪=一方+4礪+方+麗）,

2323、）

=-04+-1-04+0^-04+]-BC\,

23（22）

=那+翡E+麗樂+厚一利,

1—1—1—

=一。4+—。8+—。。，

633

1-1-1-

=—。+—匕+—c.

633

故選：B.

5.已知/（TO）,8（1,0）,若直線＞y=%（x-2）上存在點P,使得乙4P8=90。，則實數(shù)上的

取值范圍為（）

「"PT

c13可

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意分析可得直線丁=%（》-2）與圓O：x2+/=i有公共點（公共點不能是A、

5）,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析運算.

【詳解】若乙4尸8=90。，則點P在以4（7,0）,8（1,0）為直徑的圓上（點P不能是A、B）,

?.?以/（-1,0）,8（1,0）為直徑的圓的圓心為0（0,0）,半徑r=l,則圓。的方程為一+/=1,

即直線y=Mx-2）與圓。：》2+/=1有公共點（公共點不能是A、B）,

當直線y=M*-2）與圓O：f+y2=i有公共點時，則4I解得h-y,y；

當直線y=Mx-2）與圓。：/+/=1的公共點為4或8時，則直線y=Mx-2）即為x軸,

即左=0；

綜上所述：實數(shù)人的取值范圍為一與0ujo,中.

_7\.

故選：B.

6.已知P是雙曲線捺-￡=1（“>0,6>0）右支上一點，記P到雙曲線左焦點耳的距離為4,

p到雙曲線一條漸近線的距離為W，若4+4的最小值等于雙曲線的焦距長，則雙曲線的漸

近線方程為（）

4,354

A.y=±—xB.y-±-xC.y=±-xD.y=±—x

3435

【正確答案】A

【分析】由雙曲線定義得到4=1尸用+2a,故4+4=1尸閭+4+2。,數(shù)形結(jié)合得到當點P

為線段入”與雙曲線的交點時，此時|PK|+W取得最小值，從而列出方程，求出4“=36,

得到漸近線方程.

【詳解】由雙曲線定義可知：歸用-|產(chǎn)目=2"，

故4=1*+2。,故4+4=附|+&+2。,

當點P為線段與雙曲線的交點時，此時|尸乙|+出取得最小值,

最小值即為EM，

兩邊平方得：b2+4ab+4a2=4c2,

又/+/=。2,

所以4a=36,

b4

漸近線方程為》=±-x=士；x.

a3

故選：A

jr

7.已知在大小為§的二面角a一/-4中，Aea,/Cl/于點C,BD人I于點、D,

且。=O8=2/C=2,則直線48與CO所成角的余弦為（）

A亞B.mc.叵D.；

11772

【正確答案】B

【分析】以C。、80為鄰邊作平行四邊形C08E,連接/E,計算出/E、5E的長，證明

出8E_L4E,利用勾股定理可求得力8的長，即可求解

【詳解】如下圖所示，以CD、5。為鄰邊作平行四邊形C05E,連接4E,

因為8DJ.CD,CE//BD,則CE_LCZ),

又因為4CLC。，/Cua,CEu。,故二面角a-/-￡的平面角為44CE=；,

因為四邊形CD8E為平行四邊形，則CE=8O=2,BE=CD=2,

所以在/VICE中，AE2=AC2+CE2-2ACCEcosy,則/E=5

BE//CD,則8EJ_CE,BEA.AC,-：AC^CE=C,ZC,CEu平面/CE,

故8E_L平面/CE,

因為/Eu平面/CE,則BE_LRE,故=《AE?+BE。=".

vBEHCD,所以直線ZB與CD所成角相當于直線48與5E所成角，即/Z8E,

所以cos/Z8E=4==空，

V77

故選：B

r2v2

8.已知橢圓0:]+方=l(a>b>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過馬的直線交橢圓于/,

_________科

8兩點，AF2=AF2B,且4耳/5=0,橢圓。的離心率為手，則實數(shù)4=()

A.|B.2C.-D.3

【正確答案】D

【分析】設(shè)|麗|叫所卜P>0),根據(jù)橢圓的定義求出|陽=2"f,阿|=2"/利用

AF,，/5即可求解.

【詳解】因為羽=彳瓦瓦設(shè)R同叫冗耳=9>0),由橢圓的定義可得：|淚+|/周=2°,

則|"K|=2"f,因為斯.存=0,所以陽_L4^,

所以6「+|/周2=|打工『，即(2°—)2+/=4°2,又因為橢圓C的離心率為自，

所以〃=缶，則有(2a-r)2+*=4/=2/,

所以/=&,則4所卜叫貝川郎=:，

由忸周+忸周=2%所以忸用=2”?，因為西.正=0,所以“百上/巴，

A

所以M與「+網(wǎng)2=忸耳|2,即〃2+2+；)2

a(1=(2a--)2,解得：4=3,

A

故選.D

二、多選題

9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件4="第一次出現(xiàn)3點”，

8="第二次的點數(shù)小于5點”，C="兩次點數(shù)之和為奇數(shù)“，力="兩次點數(shù)之和為10”,則

下列說法正確的有()

A.4與8不互斥且相互獨立B.4與?；コ馇也幌嗷オ毩?/p>

C.8與C不互斥且相互獨立D.8與?；コ馇也幌嗷オ毩?/p>

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件，求出事件4,B,C,。的概率，再利用互斥事件、相互獨立事件

的定義判斷作答.

【詳解】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的試驗結(jié)果有：(1,果(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36個不同結(jié)果，

事件4所含的結(jié)果有:(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共6個，

事件8所含的結(jié)果有24個，事件C所含的結(jié)果有18個，事件。所含的結(jié)果有：

(4,6),(5,5),(6,4),共3個，

因此P⑷=裊如⑻=普=|?，尸(C)=詈=白尸(0=Z,

3oOJo3362Jo12

對于A,事件4與8都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共4個結(jié)果，即事件/與8可以同時發(fā)

生，

41

而打/㈤二0二彳二口⑷尸出)，/與8不互斥且相互獨立，A正確；

369

對于B,事件4與。不能同時發(fā)生，P(AD)=0^P(A)P(D),/與?；コ馇也幌嗷オ毩ⅲ珺

正確；

對于C,事件8與C都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3),

共12個結(jié)果，

121

即事件8與C可以同時發(fā)生，P(BC)=-=-=P(B)P(C),8與C不互斥且相互獨立，C

363

正確;

121

對于D,事件8與。都含有(6,4),即8與?？梢酝瑫r發(fā)生，P(BD)=-^-x—=P(B)P(D),

36312

因此8與。不互斥且不相互獨立，D錯誤.

故選：ABC

10.已知等差數(shù)列｛q｝的前”項和為S,,且56<幾<<，4,=---,數(shù)列也｝的前〃項

anan+\an+2

和為兀則下列說法正確的有()

A.%<0，%>0B.當且僅當"=9時，5“取得最小值

C.當S“<0時，〃的最大值為17D.當且僅當"=8時，7；取得最大值

【正確答案】ABD

【分析】由S6<，3<S5結(jié)合等差數(shù)列的角標性質(zhì)判斷ABC；由裂項相消求和法判斷D.

【詳解】對于A：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,因為S6<S”<Ss，所以S$-$5=4<。，

因為SI3-&=%+%+a9+aio+aU+《2+ai3=>0，所以《0>0.

因為S|3_Ss=43+42+41+40+%+〃8改7乜=4(?0也)<°，所以％<)+為<0.

由Ko〉。，al0+a9<0'nJ^a9<0,(/>0,因為g=。9-〃<0，所以仇=------>。，故A正

。8a9%o

確；

對于B：因為的<0,d>0,a,0>0,所以當且僅當”=9時?，S,,取得最小值，故B正確；

對于C：臬<0,即當號<0時，〃的最大值不是17,故C錯誤;

樂見+口“+22d(a“q向a,l+la?+2J

因為d>0,所以當一--最小時，最大.

當〃=8時，出<0,?,0>0,止匕時一--最小，即當"=8時，。取得最大值，故D正確；

an+\an+2

故選：ABD

11.如圖，直四棱柱N8CD-43CQ的底面是邊長為2的正方形，CC1=f,點。是棱CG的

中點，點P在底面/5CO內(nèi)運動(包括邊界)，則下列說法正確的有()

A.存在點P使得4P〃平面8CGA

B.當f=2時，存在點P使得直線4尸與平面/8CZ）所成的角為自JT

6

c.當，=2時，滿足4尸，尸。的點P有且僅有兩個

D.當/=氈時，滿足4尸，P。的點P的軌跡長度為邁

39

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)判斷A,建立空間直角坐標系，利用空間向量

判斷B、C、D.

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系。-肛z,則4（2,0/）,gl0,2,-I,￡＞（0,0,0）,8（2,2,0）,

對于A：由直棱柱的性質(zhì)可知平面4。。/〃平面當時4P〃平面BCG%

故A正確;

對于B：當f=2時，設(shè)尸(x,y,0),x,y&[0,2],則福=(x-2,%-2),

顯然平面/8CZ）的法向量可以為〃=（0,0,1）,

\A,P-n\

設(shè)直線4P與平面/8C。所成的角為0,則sin。=標謂［=1==2

廣+/+4

21

若直線4P與平面N8C。所成的角為聿，則s'°=了不號::=5,即

^(x-2)-+y2+4=4,

所以(X-2)“2=12,因為x,yw[0,2],所以(x-Z7.0,4],/e[0,4],

所以(x-2)2+Ve[o,8],故不存在x/e[0,2]使得(X-2)2+J?=12,

JT

即不存在點P使得直線4P與平面力88所成的角為￡,故B錯誤;

6

對于C：由芾=(x-2,y,-2),PQ=(-x,2-y,1),

因為4P_LP。，所以羽?而=T(X-2)+M2-9-2=0,

，工一1

所以（x-iy+（y-i）2=o,所以f二]，即「a1,。），所以滿足4P，尸。的點尸有且僅有1個,

故C錯誤；

對于D：當時，42,0,2^,4P=PQ=f2-乃孚），

因為4尸J-PQ,所以4戶.PQ=-x（x-2）+y（2-j）-28x^-=0，即（》-1）~+（3一1）2=：,

333

由

又x/e[0,2],則圓心E（l,l）,半徑為2叵的圓與x軸、y軸分別交于點、

3I，，

過點E作E產(chǎn)工ZZ）交/。于點尸，則心=@,所以sin/ME尸=如=,，則/旌/=二,

3ME26

7T

又4DEF=一，

4

7T71

所以N.MED=NDEF—NMEF=—,所以NMEN=2NMED=-,

126

圓弧MN的長度/=巴、2叵=叵，所以點尸的軌跡長度為迫，故D正確；

6399

12.已知拋物線/=4x的焦點為尸，過尸的直線/與拋物線交于48兩點，點7（2,0）,直

線17,87與拋物線的另一個交點分別為C,。，則下列說法正確的有（）

A.直線C。過定點（3,0）

B.與△C7。的面積之比為1:4

C.若直線CD斜率都存在，且分別為尢，k2,則

KI乙

D.7尸與△C77）的面積之和的最小值為4后

【正確答案】BCD

【分析】可通過特殊情況，直線/斜率不存在時求得直線不過定點（3,0）,排除A,也可

以通過設(shè)出/C,8。,工3的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得4鳳C,。縱坐標關(guān)系，兩點式寫出

CO方程，化簡整理可得方程過定點（4,0）,用4B,C,O縱坐標表示兩個三角形面積之比，

直線CO斜率化簡可判斷B,C正確，△4TF與△C7D的面積之和用48,C,?？v坐標

表示，化簡后利用基本不等式可求得最小值.

【詳解】當/與x垂直時，1（1,2）,8（1,-2）,又?.?7（2,0）,

AT:y=-2x+4,BT：y=2x-4,

[y=-2x+4

/T與拋物線方程聯(lián)立2,，得C（4,-4）,

[y=4x

fy=2x-4

87與拋物線方程聯(lián)立1,，得。（4,4）,

[y=4x

:.CD,x=4,不過定點（3,0）,所以A錯誤.

如圖:

設(shè)4（國,乂）,3（程巧網(wǎng)工3，%）。（工4，%），CD交X軸于E,

|x=/y+2、

設(shè)4C：x=ty+2,zJ2_4X，得歹—4卬_8=0,

則JM=一8,乂=—,

%

[x=my+2,,

設(shè)8。：x=w+2,「.jy2―彳工，得y—4次y-8=0,

c-8

則歹2居=-8,歹2=一

x=肛+16

設(shè)：

IBx=ny+1,.,.y2=4x'得y-4^-4=0,

則乂力=-4,必=」，

%

-8-864

?*-y]y2=(—)(—)=—=—4,%居=-16,

必居為筋

x-x4=(%-%)(x-X4)=4(X-X4)

直線—一；(義_用)一%+居

4（4-4）?y=4卜-乙）+居優(yōu)+兒）_4kf%一力+筋2

%+乂4%+幾為+乂

4(X-X4)-16+4X4_4x-16_4(x-4)

%+乂8+居%+乂

所以直線CD過定點（4,0）

88

m上2?口(Z-!)，!-8(%一%).]

S_--為------M-------=%乂=-----4--=---4-?zz—1

飛DTCg(y4-%>TE仇-九>2-----d-%>294-164

所以B正確.

g八一

xx

h=匕_*3=y4-y32-i=%-%4、--

k\%X4-X3y2fy2-yt

x,一再4

—8—8

---1---

%+X乂%=8=，,

乂+%”+%%.%2

所以C正確.

+S

SATFCTD=gxlx必+^-x2x(y4-%)

,1-8-16-20

=；+居一%=]X—+----8=-----%,

22%乃乃

-20)(-%)=4石,

乃<0,..SATF+SDD=%22

必

所以D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.｛。,&c｝是空間向量的一組基底，OA^2a+mb+c>OB=a+2b>OC=a+b+c>已知

點。在平面/8C內(nèi)，則機=.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)空間向量共面定理可得存在4與〃使得無=工而+〃礪,從而可求解.

【詳解】因為點O在平面N8C內(nèi)，所以HLOB,反共面，

所以存在2與〃使得反=2萬+〃礪，

即a+b+c=A^2a+mb+cj+〃(a+20=(2A+JLI)Am+2/^b+A),

22+〃=12=1

所以，力%+2〃=1,解得，〃=T.

2=1加=3

故加=3.

故答案為:3.

14.已知圓。被直線/所截得的兩段圓弧的弧長之比為1:2,且圓。上恰有三個不同的點到

直線/的距離為1,則直線/被圓。所截得的弦長為

【正確答案】2石

【分析】設(shè)圓c的半徑為「，作出圖形，計算出圓心c到直線/的距離為為;，根據(jù)題意可

得出關(guān)于，?的等式，解出，?的值，利用勾股定理可求得直線/被圓C所截得的弦長.

【詳解】設(shè)圓。的半徑為「，因為圓C被直線/所截得的兩段圓弧的弧長之比為1:2,

則劣弧所對的圓心角為120',所以，圓心C到直線/的距離為d=rcos也=2,

22

將直線/平移，使得平移后的直線與直線/之間的距離為1,如下圖所示:

假設(shè)平移后的直線為4、i2,則這兩條直線一條與圓c相切，一條與圓c相交，

不妨設(shè)直線4與圓c相切，則直線/與4之間的距離為一1=1,可得廠=2,

所以，直線/截圓C所得弦長為2卜?=28

故答案為.26

15.已知￡,匕分別為橢圓［+4=1（。>6>0）的左、右焦點，焦距為8,過耳的直線與

ab~

1Q

該橢圓交于陽，N兩點,若|MN|的最小值為］,則居"N周長為.

【正確答案】20

1Q

【分析】根據(jù)焦距為8,|MN|的最小值為了可得：。=4,a=5,結(jié)合橢圓的定義進而求解.

'2c=8

L2io

【詳解】由題意可知：一=?,解得：c=4,。=5,

a5

a2^b2+c2

由橢圓的定義可得：巴仰周長為4“=20,

故答案為.20

16.已知｛%｝的前〃項和為S“，勺,+(T)竽氏=",S'。：600,則可+出=.

【正確答案】-12

【分析】根據(jù)題意令〃=4R+3,%eN和"=4%+4,%eN,代入整理可得

。軟+6+%*+5+4x+%川=81+7.利用并項求和結(jié)合等差數(shù)列求和運算求解.

【詳解】當〃=4%+3,%eN時，則當辿=(4無+3乂2左+2)為偶數(shù)，

1————^=(24+2)(4左+5)為偶數(shù)，

—pze〃5+1)(〃+1)(〃+2)

2

可倚4+2+(-1)?！?%h5+4〃+3=4%+3,an+3+(-1)2an+]=a4M+a4M=4k+4^

兩式相加可得：。4人6+。必+5+。必+4+。4撲3=84+7,

故

S50=a\+°2+…+。50=(q+。2)+(〃3+4+〃5+6)+(%+〃8+〃9+〃10)+…+(%7+。48+。49+為0)

/\/\12(7+95)/、

=(67,+a2)+74-15+...+95=(a,+%)+~----=+a2)+612=600,

a

解得\+〃2=-12.

故答案為?-12

方法點睛：本題中出現(xiàn)(—1)竽，故應(yīng)討論當由的奇偶性，根據(jù)題意把相鄰的四項合并

為一項，組成一個新的數(shù)列，再進行求和運算，同時注意對％+%的處理.

四、解答題

17.某公司招聘考試分筆試與面試兩部分進行，每部分成績只記“合格”與“不合格”，兩部分

成績都合格者則被公司錄取.甲、乙、丙三人在筆試部分合格的概率分別為二4，彳2，;3，在

534

1?3

面試部分合格的概率分別為pP所有考試是否合格相互之間沒有影響.

(1)假設(shè)甲、乙、丙三人都同時參加了筆試和面試，誰被錄取的可能性最大？

(2)當甲、乙、丙三人都參加了筆試和面試之后，不考慮其它因素，求三人中至少有一人被

錄取的概率.

【正確答案】(1)丙

【分析】（1）記甲、乙、丙三人被錄取分別為事件/,B,C,且4,B,C相互獨立，甲、

乙、丙三人被錄取即三人即通過筆試部分又通過面試部分，由獨立事件概率的乘法公式計算

得出P（/）,P⑻,P（C）,比較概率的大小即可得出答案；

（2）記三人中至少有一人被錄取為事件。，則。與7n豆ne互為對立事件，從而根據(jù)對立

事件的計算公式與獨立事件概率的乘法公式計算得出答案.

【詳解】（1）記甲、乙、丙三人被錄取分別為事件B,C,則4B,C相互獨立，

?.?P(J)<P(5)<P(C),

，丙被錄取的可能性最大.

（2）記三人中至少有一人被錄取為事件。,

則。與7n5n6互為對立事件,

49

P(D)=i-p(^nBnc)==i-

60,

18.已知直線4：（2"2）x-y-2a=0,l2Ax-ay+a-\=Q,且乙〃以

⑴求4與4之間的距離；

（2）一束光線從62,3）出發(fā)經(jīng)人反射后平行于x軸射出，求入射光線所在的直線方程.

【正確答案】（1）祗

(2)4x+3y-17=0

【分析】（1）由平行條件得出。的值，再由距離公式求解；

（2）由尸（2,3）關(guān)于4的對稱點P1x。,外）得出反射光線的方程，并與直線4聯(lián)立得出入射點,

進而由兩點式寫出方程.

【詳解】（1）由］〃，2可得:（2?-2）（-?）-（-1）-4=0,解得：。=2或-1

—

當Q=-1時，—y+2=0,/2:4x+y—2=0,此時乙與4重合，舍去

當a=2時，4：2x-y-4=0,/2:4x-2j^+1=0,此時/[〃如符合題意

_卜8-1|975

故4與4之間的距離為"

心+(-2『1F-

（2）設(shè)＞（2,3）關(guān)于4的對稱點為尸'（如”）,則

29

2x-y-4=0x=一

10

聯(lián)立9，解得：,，，入射點為

9

7=?

故入射光線所在的直線方程為匕1=^—

即4x+3y-17=0.

x-2絲_2

10

19.已知數(shù)列｛““｝的前〃項和為S“，且q=l,a2=|,數(shù)列｛4〃S,,+（2"+3”“｝是等差數(shù)列.

（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列：

（2）求E,.

【正確答案】（1）證明見解析

八、96〃+9n丫

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式整理可得5,=-與±%+g,由。,與s”的

4n4

關(guān)系整理得%=2?七■（"NZ）,根據(jù)等比數(shù)列的定義分析理解；

n3n-\

（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得見=言，法一：根據(jù)題意直接代入運算；法二：利用錯

位相減法求和：法三：整理可得%=歲+0[]〃+1川（『，利用裂項相消法

求和.

【詳解】（1）對于等差數(shù)列｛4〃邑+（2〃+3）對｝可得：

當〃=1時，貝ij4百+5q=9；當〃=2時，貝ij8s2+7。2=8。]+15%=18；

{4〃S.+（2〃+3”,}是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列,

貝ij4〃S〃+(2〃+3”〃=9+9(〃-1)=9〃，即S〃=一^^4+】①,

4〃4

2〃+19G

當〃22時，加-----十:②，

4〃一44

2〃+32〃+1

①-②得：a“=—F%+n%

整理得：合;?若（〃溝，且卜山

是以;=1為首項，（為公比的等比數(shù)歹I.

（2）方法一：由（1）可知，?=卜（；），則4=擊

.02〃+392"+3〃992"+311Y-'

方法二：由（1）可知，%=1（1],則4=總

n⑶3

氐=11￡|+2.1)+3也+…/一嗚)+〃gj②,

①一②得:

3

方法三：由（1）可知，^=i-f-T1,則?！?磊，

n⑶3

設(shè)%=（'+呢）一兇〃+1）+喘）=臣〃+|?吟嗯）=叫

」

-A=34

a2

比較系數(shù)得:，解得:

-B--A=O

.334

調(diào)2俁+

96n+9pY

4--4~[3}

20.在如圖所示的多面體/8CDEF中，四邊形4BC。為菱形，在梯形N8EF中，AF//BE,

AFVAB,AB=BE=2AF=2,平面N5EFJ_平面Z8CD.

（1）證明：8。_1_平面/3；

（2）若直線DA與平面ACF所成的角為60°,求平面ACF與平面CEF所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）當

4

【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，從而得到結(jié)合得到線面垂

直；

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到直線D4與平面ZCF所成的角為ND40,故ND4O=60。，

建立空間直角坐標系，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明：?.?平面NBEF_L平面/8CZ）,AF1AB,4Fu平面43EF,平面/BEFc

平面ABCD=AB,

/尸平面ABCD,又8。u平面ABCD,

二AFA.BD,

?.?四邊形N8CD為菱形,

BDLAC,

又n尸n/c=/,//,/。＜=平面力。9，

二8。_1平面/。下；

（2）設(shè)4Cn8O=O,由（1）可知，OOL平面/C尸，則直線在面/C尸內(nèi)的射影為。4,

故直線DA與平面ACF所成的角為ND/O,

二ZDAO=6Q0,

/C。和△4CB均為邊長為2的等邊三角形，

以。為原點，OC,OB為x,N軸建立空間直角坐標系，如下圖：

由平面ZCF,可得平面/CF的法向量為1=（0,1,0）,而“1,0,0）,F（-l,0,l）,

￡（0,73,2）,

ACF=（-2,0,1）,醞=（-1,百,2）,

uin^-CF=-2x+z=0

設(shè)平面CE尸的法向量〃2=（3,z）,貝叫二一廠，

一'n2-CE=-x+y/3y+^=0

取x=l,可得z=2,y=-VJ,故“2=（1'-6’2）,

平面ACF與平面CEF夾角的余弦值為卜os/，.一閩,=￡.

1

、/I|?l|-|n2|1J1+3+44

21.侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一

個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上.設(shè)外圍第一個

正方形的面積為q=l,往里第二個正方形4JGA的面積為《，…，往里第〃個

正方形48,C2的面積為明.

⑴求｛“,｝的通項公式；

（2）已知他,｝滿足4+殳+…+%=2/-M〃eN*）,問他,｝是否存在最大項?若存在，求出最

a\a2an

大項；若不存在，請說明理由.

【正確答案】⑴（weN,）

25

（2）存在，b2=b3=—

由圖形可得（向;丫=（；向，+（|阮）即％」=京”，則｛叫為等比數(shù)列,

【分析】（1）

結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求解即可；

（2）當〃22時，豆+—+…+上=2（"-1）2結(jié)合題設(shè)條件可得%=4〃-3,從

%a2a?-i%

而得出"，然后利用數(shù)列的單調(diào)性求出結(jié)果.

【詳解】（1）由圖形可得：（苑二）2=（；?:+^向］,即。向=￡?！?/p>

???｛%｝是以1為首項，焉為公比的等比數(shù)列

5

9

Ab%=2"2_〃①

(2)—+—2+???+

a】a2

b

當〃=1時，-L=1,/.4=1

4

當“22時，—+-^-+---+—=2(〃-1)2-(?T)②

一qa2%

b