押題05 第18題 統(tǒng)計(jì)與概率（八大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專用）含解析

押題05第18題統(tǒng)計(jì)與概率（八大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)押題模擬預(yù)測(cè)卷（新高考專用）押題05第18題統(tǒng)計(jì)與概率（八大題型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．2．（2021·全國(guó)·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．押題05統(tǒng)計(jì)與概率高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1最值問(wèn)題1-3題型2列聯(lián)表4-5題型3數(shù)列在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用6-9題型4導(dǎo)數(shù)在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用10-11題型5證明題12-16題型6線性回歸綜合17-18題型7正態(tài)分布綜合19題型8二項(xiàng)分布綜合20-21題型1：最值問(wèn)題1．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為.(1)若，求；(2)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（取）2．（2024·廣東廣州·一模）某校開展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場(chǎng)，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過(guò)第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場(chǎng)闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)且闖過(guò)第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.3．（2024·甘肅蘭州·一模）2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，多選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有錯(cuò)誤選擇或不選擇得0分．(1)已知某同學(xué)對(duì)其中4道單選題完全沒(méi)有答題思路，只能隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，且每題的解答相互獨(dú)立，記該同學(xué)在這4道單選題中答對(duì)的題數(shù)為隨機(jī)變量X．（i）求；（ii）求使得取最大值時(shí)的整數(shù)；(2)若該同學(xué)在解答最后一道多選題時(shí)，除確定B，D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇之外沒(méi)有答題思路，只能隨機(jī)選擇若干選項(xiàng)作答．已知此題正確答案是兩選項(xiàng)與三選項(xiàng)的概率均為，求該同學(xué)在答題過(guò)程中使得分期望最大的答題方式，并寫出得分的最大期望．題型2：列聯(lián)表4．（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.

年齡次數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過(guò)2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8285．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求．(1)現(xiàn)在對(duì)學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？性別就餐區(qū)域合計(jì)南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計(jì)711788(2)張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635題型3：數(shù)列在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）這個(gè)冬季，哈爾濱文旅持續(xù)火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花紛飛，成為無(wú)數(shù)南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴(yán)寒冰雪與熱情服務(wù)碰撞出火花，吸引海內(nèi)外游客紛至沓來(lái)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年元旦假期，哈爾濱市累計(jì)接待游客304.79萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達(dá)到歷史峰值．現(xiàn)對(duì)某一時(shí)間段冰雪大世界的部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中的游客計(jì)劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計(jì)劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人．每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來(lái)冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂(lè)公園大雪人是相互獨(dú)立的，用頻率估計(jì)概率．(1)從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)記n個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)的概率為，求的前n項(xiàng)和；(3)從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取100人，這些游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為n個(gè)的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求n的值．7．（2024·廣東江門·一模）將2024表示成5個(gè)正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對(duì)于上述的五元有序數(shù)組，當(dāng)時(shí)，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請(qǐng)求出該常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問(wèn)是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙?丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中．(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求證：．9．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時(shí)尚．甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，低碳環(huán)?！碧?hào)召，他們計(jì)劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種．他們之間的出行互不影響，其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為，乙每天選擇“共享單車”的概率為，丙在每月第一天選擇“共享單車”的概率為，從第二天起，若前一天選擇“共享單車”，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為，若前一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為，如此往復(fù)．(1)若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)求丙在3月份第天選擇“共享單車”的概率，并幫丙確定在3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù)．題型4：導(dǎo)數(shù)在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用10．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體育教師詹姆士·奈史密斯博士，借鑒其他球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的．起初，他將兩只桃籃釘在健身房?jī)?nèi)看臺(tái)的欄桿上，桃籃上沿離地面約米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定比賽勝負(fù)．在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來(lái)籃球界就將此日定為國(guó)際籃球日．甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分．已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和p，且每人進(jìn)球與否互不影響．(1)若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；(2)若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？11．（2023·新疆·一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會(huì)獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲?yàn)橐惠?，一輪游戲結(jié)束后，計(jì)算本輪游戲總積分．(1)求某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的概率（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率取得最大值時(shí)，求一輪游戲累計(jì)積分的數(shù)學(xué)期望．題型5：證明題12．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗(yàn)的規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)小球，從第一輪開始，若試驗(yàn)者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗(yàn)成功，并停止試驗(yàn).否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).(1)若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功，也停止試驗(yàn)），記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第輪不成功，也停止試驗(yàn)），記乙在第輪使得試驗(yàn)成功的概率為，則乙能試驗(yàn)成功的概率為，證明：.13．（2024·廣東·一模）某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的名學(xué)生全都來(lái)自A，B，C三所學(xué)校，其中來(lái)自A校的學(xué)生人數(shù)為.該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼，按面試號(hào)碼由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A校的概率.(2)若，，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)（從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間），是的數(shù)學(xué)期望，證明：.14．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱是上的二維離散型隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量．設(shè)的一切可能取值為，，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．(1)將三個(gè)相同的小球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記1號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，2號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，則是一個(gè)二維隨機(jī)變量．①寫出該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值；②若是①中的值，求（結(jié)果用，表示）；(2)稱為二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．15．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過(guò)程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.16．（2023·全國(guó)·三模）國(guó)學(xué)小組有編號(hào)為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為，每個(gè)同學(xué)的答題過(guò)程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該生答對(duì)第二題，則比賽在第輪結(jié)束；若該生未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．(1)令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列；(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，第號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．①求隨機(jī)變量的分布列；②證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且小于3．題型6：線性回歸綜合17．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，?。?參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)100999693908885838077知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)29016022020065709010060270學(xué)生編號(hào)11121314151617181920數(shù)學(xué)成績(jī)75747270686660503935知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)4535405025302015105計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是，知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是，并且，，．(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）．(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．（i）記，．證明：．（ii）用（i）的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（精確到）．(3)比較（1）和（2）（ii）的計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì)．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．題型7：正態(tài)分布綜合19．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.題型8：二項(xiàng)分布綜合20．（2023·遼寧丹東·二模）某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣某項(xiàng)指標(biāo)X值滿足12.2≤X≤21.8時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行X值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過(guò)疫苗小白鼠的總體，設(shè)．(1)求，；(2)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過(guò)疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作為N的估計(jì)值）；(3)對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的X值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組n（n≤50）只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)n只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，n只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為n+9元．試給出n的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．附：若，則，．參考數(shù)據(jù)：，，，．21．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若，當(dāng)時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為Y（單位：元）.（i）請(qǐng)用表示；（ii）設(shè)備升級(jí)后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過(guò)增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來(lái)提高利潤(rùn).押題05第18題統(tǒng)計(jì)與概率（八大題型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．2．（2021·全國(guó)·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）利用公式計(jì)算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.【解析】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.押題05統(tǒng)計(jì)與概率高考模擬題型分布表題型序號(hào)題型內(nèi)容題號(hào)題型1最值問(wèn)題1-3題型2列聯(lián)表4-5題型3數(shù)列在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用6-9題型4導(dǎo)數(shù)在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用10-11題型5證明題12-16題型6線性回歸綜合17-18題型7正態(tài)分布綜合19題型8二項(xiàng)分布綜合20-21題型1：最值問(wèn)題1．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為.(1)若，求；(2)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（取）【答案】(1)；(2)的最大值為，此時(shí)的值為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用有限制條件的排列求出古典概率.（2）利用全概率公式求出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.【解析】（1）依題意，4個(gè)番石榴的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有種情況，要摘到那個(gè)最大的番石榴，有以下兩種情況：①最大的番石榴是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況；②最大的番石榴是最后1個(gè)，第二大的番石榴是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況，所以所求概率為.（2）記事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第個(gè)，則，由全概率公式知：，當(dāng)時(shí)，最大的番石榴在前個(gè)中，不會(huì)被摘到，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，最大的番石榴被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前個(gè)番石榴中的最大一個(gè)在前個(gè)之中時(shí)，此時(shí)，因此，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，此時(shí)的值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：全概率公式是將復(fù)雜事件A的概率求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率求和問(wèn)題.2．（2024·廣東廣州·一模）某校開展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場(chǎng)，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過(guò)第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場(chǎng)闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)且闖過(guò)第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.【答案】(1)；(2)7.【分析】（1）求出的所有可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，再求出期望.（2）利用互斥事件的概率公式，求出第位成員闖過(guò)第二關(guān)的概率，再列出不等式求解即得.【解析】（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.（2）令，若前位玩家都沒(méi)有通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，其概率為，若前位玩家中第位玩家才通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，則前面位玩家無(wú)人通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，其概率為，第位玩家通過(guò)第一關(guān)測(cè)試，但沒(méi)有通過(guò)第二關(guān)測(cè)試，其概率為，第位玩家到第位玩家都沒(méi)有通過(guò)第二關(guān)測(cè)試，其概率為，所以前面位玩家中恰有一人通過(guò)第一關(guān)測(cè)試的概率為：，因此第位成員闖過(guò)第二關(guān)的概率，由，得，解得，則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.3．（2024·甘肅蘭州·一模）2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分，多選題每題四個(gè)選項(xiàng)，有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有錯(cuò)誤選擇或不選擇得0分．(1)已知某同學(xué)對(duì)其中4道單選題完全沒(méi)有答題思路，只能隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，且每題的解答相互獨(dú)立，記該同學(xué)在這4道單選題中答對(duì)的題數(shù)為隨機(jī)變量X．（i）求；（ii）求使得取最大值時(shí)的整數(shù)；(2)若該同學(xué)在解答最后一道多選題時(shí)，除確定B，D選項(xiàng)不能同時(shí)選擇之外沒(méi)有答題思路，只能隨機(jī)選擇若干選項(xiàng)作答．已知此題正確答案是兩選項(xiàng)與三選項(xiàng)的概率均為，求該同學(xué)在答題過(guò)程中使得分期望最大的答題方式，并寫出得分的最大期望．【答案】(1)（i）；（ii）(2)該同學(xué)選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分【分析】（1）（i）易知服從二項(xiàng)分布，據(jù)此計(jì)算；（ii）令，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式得到不等式組，解得的取值范圍，再由為整數(shù)確定取值；（2）算出單選、雙選和三選條件下的數(shù)學(xué)期望，比較大小即可.【解析】（1）（i）因?yàn)?，所以．（ii）因?yàn)椋李}意，即，解得，又為整數(shù)，所以，即時(shí)取最大值.（2）由題知，選項(xiàng)不能同時(shí)選擇，故該同學(xué)可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項(xiàng)的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項(xiàng)的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率為．若該同學(xué)做出的決策是單選，則得分的期望如下：（分），（分），若該同學(xué)做出的決策是雙選，則得分的期望如下：（分），（分）．若該同學(xué)做出的決策是三選，則得分的期望如下：（分）．經(jīng)比較，該同學(xué)選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)正確答案的所有可能結(jié)果，對(duì)答題情況進(jìn)行分類討論，計(jì)算每種答題情況的得分期望值，選擇最優(yōu)方案.題型2：列聯(lián)表4．（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.

年齡次數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過(guò)2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析；期望為(3)【分析】（1）求出卡方值并與臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)步驟列出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【解析】（1）零假設(shè)：體育鍛煉頻率的高低與年齡無(wú)關(guān)，由題得列聯(lián)表如下：青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，即認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第3問(wèn)的解決關(guān)鍵是熟練掌握全概率公式，從而得解.5．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求．(1)現(xiàn)在對(duì)學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？性別就餐區(qū)域合計(jì)南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計(jì)711788(2)張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)沒(méi)有關(guān)聯(lián)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)卡方計(jì)算公式計(jì)算，與臨界值比較即可求解，（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率，結(jié)合全概率公式即可求解（?。鶕?jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解（ⅱ）.【解析】（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)．（2）設(shè)“第天去甲餐廳用餐”，“第天去乙餐廳用餐”，“第天去丙餐廳用餐”，則兩兩獨(dú)立，．根據(jù)題意得，．（?。┯?，結(jié)合全概率公式，得，因此，張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為．（ⅱ）記第天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為，則，由全概率公式，得故

①同理

②

③

④由①②，，由④，，代入②，得：，即，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，所以于是，當(dāng)時(shí)綜上所述：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累加法求解；（4）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求解.題型3：數(shù)列在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）這個(gè)冬季，哈爾濱文旅持續(xù)火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花紛飛，成為無(wú)數(shù)南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴(yán)寒冰雪與熱情服務(wù)碰撞出火花，吸引海內(nèi)外游客紛至沓來(lái)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年元旦假期，哈爾濱市累計(jì)接待游客304.79萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達(dá)到歷史峰值．現(xiàn)對(duì)某一時(shí)間段冰雪大世界的部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中的游客計(jì)劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計(jì)劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人．每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來(lái)冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂(lè)公園大雪人是相互獨(dú)立的，用頻率估計(jì)概率．(1)從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)記n個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)的概率為，求的前n項(xiàng)和；(3)從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取100人，這些游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為n個(gè)的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求n的值．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為；(2)；(3)125.【分析】（1）根據(jù)給定信息可得的取值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，得的分布列及數(shù)學(xué)期望．（2）根據(jù)給定條件，求出，再利用錯(cuò)位相減法求和．（3）設(shè)抽取的100人中只游覽冰雪大世界的人數(shù)為，再求出，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式求出最大時(shí)的即可得解.【解析】（1）據(jù)題意，每位游客只游覽冰雪大世界的概率為，得到1份文旅紀(jì)念品；既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人的概率為，獲得2份文旅紀(jì)念品，則的可能取值為3，4，5，6，其中，，，，所以的分布列為3456.（2）因?yàn)閚個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)，則只有1人既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人，于是，則，于是，兩式相減，得，所以.（3）設(shè)只游覽冰雪大世界的人數(shù)為x，則既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人的人數(shù)為，因此游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)，此時(shí)，假定取最大值，必有，于是，即，整理得，解得，而，則，所以當(dāng)取最大值時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．7．（2024·廣東江門·一模）將2024表示成5個(gè)正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對(duì)于上述的五元有序數(shù)組，當(dāng)時(shí)，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請(qǐng)求出該常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問(wèn)是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)不存在，理由見(jiàn)解析(2)(3)存在，最小值為.【分析】（1）若等于同一常數(shù)，則構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，推出矛盾即可得解；（2）依題意時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，，即可求出，，，，中有個(gè)，個(gè)，從而得解；（3）由方差公式得到（為方差），從而得到當(dāng)方差取最小值時(shí)取最小值，從而推出是密集，即可求出的最小值.【解析】（1）若等于同一常數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得構(gòu)成等差數(shù)列，所以，解得，與矛盾，所以不存在一組解，使得等于同一常數(shù)；（2）因?yàn)?，依題意時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，，設(shè)有個(gè)，則有個(gè)，由，解得，所以，，，，中有個(gè)，個(gè)，所以方程①的解共有組.（3）因?yàn)槠骄鶖?shù)，又方差，即，所以，因?yàn)闉槌?shù)，所以當(dāng)方差取最小值時(shí)取最小值，又當(dāng)時(shí)，即，方程無(wú)正整數(shù)解，故舍去；當(dāng)時(shí)，即是密集時(shí)，取得最小值，且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題關(guān)鍵是理解題意，第三問(wèn)的關(guān)鍵是方差公式的應(yīng)用.8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙?丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中．(1)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，求證：．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)傳球游戲的規(guī)則，可得，再根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，求解概率，再結(jié)合分布列公式，即可求數(shù)學(xué)期望；（2）首先題意，可得關(guān)于數(shù)列的遞推公式，，再通過(guò)構(gòu)造求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）首先根據(jù)（2）的結(jié)果，求，并利用放縮法證明不等式.【解析】（1）由題意知，．所以隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.（2）由于投擲次骰子后球不在乙手中的概率為，此時(shí)無(wú)論球在甲手中還是球在丙手中，均有的概率傳給乙，故有．變形為．又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）由（2）可得，則，所以．又因?yàn)椋裕C上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于數(shù)列的遞推公式，從而可以利用數(shù)列的知識(shí)解決問(wèn)題，第三問(wèn)的關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)合理的放縮，從而可以求和，證明不等式.9．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時(shí)尚．甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，低碳環(huán)保”號(hào)召，他們計(jì)劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種．他們之間的出行互不影響，其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為，乙每天選擇“共享單車”的概率為，丙在每月第一天選擇“共享單車”的概率為，從第二天起，若前一天選擇“共享單車”，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為，若前一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為，如此往復(fù)．(1)若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)求丙在3月份第天選擇“共享單車”的概率，并幫丙確定在3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù)．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；期望為(3)；2天【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式與條件概率公式進(jìn)行求解即可；（2）依題意得到的所有可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，從而求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）由題意，求得與的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列求出，再由求出對(duì)應(yīng)的，即可求解．【解析】（1）記甲、乙、丙三人3月1日選擇“共享單車”出行分別為事件，記三人中恰有兩人選擇“共享單車”出行為事件，則，又，所以，即若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，丙選擇“共享單車”的概率為．（2）由題意可知，的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123故，即的數(shù)學(xué)期望為．（3）由題意得，則，所以，所以．又因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．由題意知，3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率需滿足，即，則，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式可變?yōu)?，?dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，不成立．又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，不成立，所以只有在第1天和第3天時(shí)，，所以丙在3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù)只有2天．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)關(guān)鍵是得到遞推公式，再由構(gòu)造法得到的通項(xiàng).題型4：導(dǎo)數(shù)在統(tǒng)計(jì)概率中的應(yīng)用10．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體育教師詹姆士·奈史密斯博士，借鑒其他球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的．起初，他將兩只桃籃釘在健身房?jī)?nèi)看臺(tái)的欄桿上，桃籃上沿離地面約米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定比賽勝負(fù)．在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來(lái)籃球界就將此日定為國(guó)際籃球日．甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分．已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和p，且每人進(jìn)球與否互不影響．(1)若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；(2)若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？【答案】(1)；(2).【分析】（1）分別求得甲和乙在每一輪比賽中投進(jìn)球?qū)?yīng)的概率，再結(jié)合題意，求出乙在一輪比賽中獲得1個(gè)積分的概率即可；（2）先求得乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的概率，設(shè)隨機(jī)變量表示輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式求得，進(jìn)而根據(jù)題意，列出不等關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得結(jié)果.【解析】（1）設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，則，，，；，，，；若乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分，則乙勝利次，故其概率.（2）設(shè)事件表示乙每場(chǎng)比賽至少要超甲2個(gè)球，則；設(shè)隨機(jī)變量表示輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，顯然，故，要滿足題意，則，即，又，故，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又的最大值為，則的最大值為，的最小值為，而，故理論上至少要進(jìn)行輪比賽.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)出隨機(jī)變量，利用二項(xiàng)分布的期望求解公式，解得；同時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值；屬綜合困難題.11．（2023·新疆·一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會(huì)獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲?yàn)橐惠啠惠営螒蚪Y(jié)束后，計(jì)算本輪游戲總積分．(1)求某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的概率（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率取得最大值時(shí)，求一輪游戲累計(jì)積分的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的情況，利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式，結(jié)合組合的思想即可得解.（2）依題意得到累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)滿足題意，進(jìn)而得到的所有可能取值，求得對(duì)應(yīng)的概率，從而得解.【解析】（1）某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過(guò)25分的情況為：①三次游戲都獲得5分；②兩次游戲獲得5分，一次游戲獲得10分；③一次游戲獲得5分，兩次游戲獲得10分；所以其概率為：.（2）依題意，記一輪游戲累計(jì)積分為，而某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的情況有分和分兩種情況，則，，記某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率為，則，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；此時(shí)每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，由題意可知的所有可能取值為，，，，，，，，，，則的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的難點(diǎn)是分析得各個(gè)累計(jì)積分時(shí)的概率，從而得解.題型5：證明題12．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗(yàn)的規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)小球，從第一輪開始，若試驗(yàn)者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗(yàn)成功，并停止試驗(yàn).否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).(1)若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功，也停止試驗(yàn)），記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第輪不成功，也停止試驗(yàn)），記乙在第輪使得試驗(yàn)成功的概率為，則乙能試驗(yàn)成功的概率為，證明：.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由條件確定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（2）由（1）中的結(jié)論及結(jié)合題意寫出每一輪的概率，結(jié)合概率乘法公式從而求解.【解析】（1）由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗(yàn)者每次抽到白球的概率為，，依題意，在第二輪中，盒中有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學(xué)期望.（2）證明：當(dāng)時(shí)，不難知道，，，由（1）可知，又，，.即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是得到，再利用裂項(xiàng)求和即可證明出不等式.13．（2024·廣東·一模）某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的名學(xué)生全都來(lái)自A，B，C三所學(xué)校，其中來(lái)自A校的學(xué)生人數(shù)為.該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼，按面試號(hào)碼由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A校的概率.(2)若，，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)（從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間），是的數(shù)學(xué)期望，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）按古典概型的計(jì)算方法求解.（2）先確定來(lái)自各校的學(xué)生人數(shù)，再利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算.（3）先求出分布列，再按期望的公式進(jìn)行化簡(jiǎn).【解析】（1）記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A?！睘槭录嗀，將A校n名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2，其他名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故．（2）設(shè)B校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得，解得．所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名．記“最后面試的學(xué)生來(lái)自B?！睘槭录﨎，“最后面試的學(xué)生來(lái)自C?！睘槭录﨏，顯然事件B，C互斥．記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D，則．當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，只需考慮A，C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自C校，則．當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A，B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自B校，則．所以．（3）由題知隨機(jī)變量X的取值為，，…，，則隨機(jī)變量X的分布列為，，，…，N．所以隨機(jī)變量X的期望．所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第三問(wèn)的證明過(guò)程中，利用組合數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.14．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱是上的二維離散型隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量．設(shè)的一切可能取值為，，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．(1)將三個(gè)相同的小球等可能地放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記1號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，2號(hào)盒子中的小球個(gè)數(shù)為，則是一個(gè)二維隨機(jī)變量．①寫出該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值；②若是①中的值，求（結(jié)果用，表示）；(2)稱為二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．【答案】(1)①；②；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）①根據(jù)題意直接寫出所有可能取值；②利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率公式及獨(dú)立事件的概率公式列式化簡(jiǎn)即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【解析】（1）①該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為：.②依題意，，，顯然，則，所以.（2）由定義及全概率公式知，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用全概率公式求隨機(jī)事件B的概率問(wèn)題，把事件B分拆成兩個(gè)互斥事件與的和，再利用條件概率公式計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.15．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過(guò)程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.由全概率公式可求出，繼而可求，再由全概率公式計(jì)算第二題得分分布列的各種情況，并根據(jù)公式計(jì)算期望；（2）根據(jù)（1）中由第一題到第二題正確選項(xiàng)數(shù)概率的計(jì)算理解，由全概率公式可以得出一般性的結(jié)論化簡(jiǎn)可得，可知為等比數(shù)列,求通項(xiàng)可得；（3）根據(jù)（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，計(jì)算出,則結(jié)論可證.【解析】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.設(shè)事件表示選項(xiàng)“C”為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變量表示第二題得分.依題得，可能取值為.因?yàn)椋?，所以所以的分布列?所以.（2）依題得，，所以，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，.（3）由（2）可知，，.依題得，可能取值為.，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高中階段的馬爾科夫鏈類型的概率問(wèn)題解決關(guān)鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式，然后用數(shù)列手段去處理求解.16．（2023·全國(guó)·三模）國(guó)學(xué)小組有編號(hào)為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為，每個(gè)同學(xué)的答題過(guò)程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該生答對(duì)第二題，則比賽在第輪結(jié)束；若該生未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．(1)令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列；(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，第號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．①求隨機(jī)變量的分布列；②證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且小于3．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)①分布列見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題設(shè)有，可取值為1，2，3，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列；（2）①應(yīng)用二項(xiàng)分布概率公式求取值1，2，…，對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列；②由①分布列得（，），定義法判斷單調(diào)性，累加法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式，即可證結(jié)論.【解析】（1）由題設(shè)，可取值為1，2，3，，，，因此的分布列為123（2）①可取值為1，2，…，，每位同學(xué)兩題都答對(duì)的概率為，則答題失敗的概率均為：，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的分布列為：123……②由①知：（，）．，故單調(diào)遞增；由上得，故，∴，故．題型6：線性回歸綜合17．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，?。?參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】（1）每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元（2）（i）（ii）該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi).【分析】（1）分別求出三類產(chǎn)品的頻率，求出分布列及其數(shù)學(xué)期望即可；（2）（i）利用公式求出相關(guān)系數(shù)，即可求出回歸方程；（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，求出，設(shè)，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最大值.【解析】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；（2）（i）由得，，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，所以，，即，因?yàn)?，所以，故所求的回歸方程為；（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為768，即該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題，求回歸直線方程的步驟：（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）計(jì)算的值；（3）計(jì)算回歸系數(shù)；（4）寫出回歸直線方程.18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)100999693908885838077知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)29016022020065709010060270學(xué)生編號(hào)11121314151617181920數(shù)學(xué)成績(jī)75747270686660503935知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)4535405025302015105計(jì)算可得數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值是，知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均值是，并且，，．(1)求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）．(2)設(shè)，變量和變量的一組樣本數(shù)據(jù)為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關(guān)系數(shù)．（i）記，．證明：．（ii）用（i）的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（精確到）．(3)比較（1）和（2）（ii）的計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時(shí)的優(yōu)勢(shì)．注：參考公式與參考數(shù)據(jù)．；；．【答案】(1)0.70(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）（i）根據(jù)題意即相關(guān)系數(shù)的公式進(jìn)行計(jì)算即可證明；（ii）利用表格寫出對(duì)應(yīng)的與得值，然后用“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”的公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）只要能說(shuō)出斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)與一般的樣本相關(guān)系數(shù)相比的優(yōu)勢(shì)即可【解析】（1）由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)為（2）（i）證明：因?yàn)楹投际?，2，，的一個(gè)排列，所以，，從而和的平均數(shù)都是．因此，，同理可得，由于，所以；（ii）由題目數(shù)據(jù)，可寫出與的值如下：同學(xué)編號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)排名12345678910知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排學(xué)編號(hào)11121314151617181920數(shù)學(xué)成績(jī)排名11121314151617181920知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名12141311161517181920所以，并且．因此這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是（3）答案①：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)于異常值不太敏感，如果數(shù)據(jù)中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)比用樣本相關(guān)系數(shù)更能刻畫某種線性關(guān)系；答案②：斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫的是樣本數(shù)據(jù)排名的樣本相關(guān)系數(shù)，與具體的數(shù)值無(wú)關(guān)，只與排名有關(guān)．如果一組數(shù)據(jù)有異常值，但排名依然符合一定的線性關(guān)系，則可以采用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)刻畫線性關(guān)系．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.題型7：正態(tài)分布綜合19．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.【答案】(1)0.02275；證明見(jiàn)解析.(2)（?。┓植剂幸?jiàn)解析（ⅱ）能，.【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得結(jié)果；（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出，再利用離散型隨機(jī)變量及其分布列即可求得結(jié)果.【解析】（1），又，所以.因?yàn)?，根?jù)正態(tài)曲線對(duì)稱性，，又因